Igualando coeficientes

En matemáticas , el método de igualación de coeficientes es una forma de resolver una ecuación funcional de dos expresiones, como polinomios, para un número de parámetros desconocidos . Se basa en el hecho de que dos expresiones son idénticas precisamente cuando los coeficientes correspondientes son iguales para cada tipo de término diferente. Este método se utiliza para transformar fórmulas a la forma deseada.

Supongamos que queremos aplicar la descomposición en fracciones parciales a la expresión:

${\displaystyle {\frac {1}{x(x-1)(x-2)}},\,}$

Es decir, queremos darle la siguiente forma:

${\displaystyle {\frac {A}{x}}+{\frac {B}{x-1}}+{\frac {C}{x-2}},\,}$

en la que los parámetros desconocidos son A , B y C. Multiplicando estas fórmulas por x ( x − 1)( x − 2) ambas se convierten en polinomios, que igualamos:    

${\displaystyle A(x-1)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x-1)=1,\,}$

o, después de expandir y agrupar términos con potencias iguales de x :

${\displaystyle (A+B+C)x^{2}-(3A+2B+C)x+2A=1.\,}$

En este punto es esencial darse cuenta de que el polinomio 1 es de hecho igual al polinomio 0 x² + 0 x + 1, con coeficientes cero para las potencias positivas de x . Igualando los coeficientes correspondientes ^, se obtiene este sistema de ecuaciones lineales :    

${\displaystyle A+B+C=0,\,}$

${\displaystyle 3A+2B+C=0,\,}$

${\displaystyle 2A=1.\,}$

Al resolverlo se obtiene:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}},\,B=-1,\,C={\frac {1}{2}}.\,}$

Un problema similar, que implica igualar términos semejantes en lugar de coeficientes de términos semejantes, surge si deseamos desanidar los radicales anidados.${\displaystyle {\sqrt {a+b{\sqrt {c}}\ }}}$Para obtener una expresión equivalente que no involucre una raíz cuadrada de una expresión que sí la involucra, podemos postular la existencia de parámetros racionales d, e tales que

${\displaystyle {\sqrt {a+b{\sqrt {c}}\ }}={\sqrt {d}}+{\sqrt {e}}.}$

Elevando al cuadrado ambos lados de esta ecuación se obtiene:

${\displaystyle a+b{\sqrt {c}}=d+e+2{\sqrt {de}}.}$

Para hallar d y e igualamos los términos que no involucran raíces cuadradas, por lo que${\displaystyle a=d+e,}$y equiparar las partes que involucran radicales, por lo tanto${\displaystyle b{\sqrt {c}}=2{\sqrt {de}}}$lo cual, al elevarse al cuadrado, implica${\displaystyle b^{2}c=4de.}$Esto nos da dos ecuaciones, una cuadrática y otra lineal, en los parámetros deseados d y e , y estas se pueden resolver para obtener

${\displaystyle e={\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}},}$

${\displaystyle d={\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}},}$

que es un par de soluciones válido si y solo si${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}$es un número racional.

Consideremos este sistema de ecuaciones sobredeterminado (con 3 ecuaciones y solo 2 incógnitas):

${\displaystyle x-2y+1=0,}$

${\displaystyle 3x+5y-8=0,}$

${\displaystyle 4x+3y-7=0.}$

Para comprobar si la tercera ecuación depende linealmente de las dos primeras, postulamos dos parámetros a y b tales que a multiplicado por la primera ecuación más b multiplicado por la segunda ecuación sea igual a la tercera ecuación. Dado que esto siempre se cumple para los lados derechos, que son todos cero, solo necesitamos exigir que también se cumpla para los lados izquierdos:

${\displaystyle a(x-2y+1)+b(3x+5y-8)=4x+3y-7.}$

Igualando los coeficientes de x en ambos lados, igualando los coeficientes de y en ambos lados e igualando las constantes en ambos lados, se obtiene el siguiente sistema con los parámetros deseados a y b :

${\displaystyle a+3b=4,}$

${\displaystyle -2a+5b=3,}$

${\displaystyle a-8b=-7.}$

Resolverlo da como resultado:

${\displaystyle a=1,\ b=1}$

El único par de valores a y b que satisface las dos primeras ecuaciones es ( a , b ) = (1, 1); dado que estos valores también satisfacen la tercera ecuación, de hecho existen a y b tales que a veces la primera ecuación original más b veces la segunda ecuación original es igual a la tercera ecuación original; concluimos que la tercera ecuación depende linealmente de las dos primeras.

Tenga en cuenta que si el término constante en la tercera ecuación original hubiera sido distinto de –7, los valores ( a , b ) = (1, 1) que satisfacían las dos primeras ecuaciones en los parámetros no habrían satisfecho la tercera ( a – 8 b = constante), por lo que no existiría ningún a , b que satisficiera las tres ecuaciones en los parámetros, y por lo tanto la tercera ecuación original sería independiente de las dos primeras.

El método de igualación de coeficientes se usa frecuentemente al trabajar con números complejos . Por ejemplo, para dividir el número complejo a + bi entre el número complejo c + di , postulamos que la razón es igual al número complejo e + fi , y deseamos encontrar los valores de los parámetros e y f para los cuales esto es cierto. Escribimos:

${\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}=e+fi,}$

y multiplica ambos lados por el denominador para obtener

${\displaystyle (ce-fd)+(ed+cf)i=a+bi.}$

Igualar términos reales da como resultado

${\displaystyle ce-fd=a,}$

y al igualar los coeficientes de la unidad imaginaria i se obtiene

${\displaystyle ed+cf=b.}$

Se trata de dos ecuaciones con parámetros desconocidos e y f , que pueden resolverse para obtener los coeficientes deseados del cociente:

${\displaystyle e={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}\quad \quad {\text{y}}\quad \quad f={\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}.}$

• Tanton, James (2005). Enciclopedia de Matemáticas . Datos en archivo. pág . 162. ISBN  0-8160-5124-0.