Recíprocos de números primos

Los recíprocos de los números primos han sido de interés para los matemáticos por diversas razones. No tienen una suma finita , como demostró Leonhard Euler en 1737.

Como números racionales , los recíprocos de los números primos tienen representaciones decimales periódicas . En sus últimos años, George Salmon (1819-1904) se dedicó al estudio de los periodos periódicos de estas representaciones decimales de los recíprocos de los números primos. ^{[ 1 ]}

Simultáneamente, William Shanks (1812-1882) calculó numerosos recíprocos de números primos y sus periodos periódicos, y publicó dos artículos titulados "Sobre los periodos en los recíprocos de los números primos" en 1873 ^{[ 2 ]} y 1874. ^{[ 3 ]} En 1874 también publicó una tabla de números primos y los periodos de sus recíprocos, hasta 20 000 (con la ayuda y "comunicada por el reverendo George Salmon"), y señaló los errores en tablas anteriores de otros tres autores. ^{[ 4 ]}

La última parte de la tabla de Shanks de 1874 sobre números primos y sus periodos de repetición. En la fila superior, 6952 debería ser 6592 (el error es fácil de encontrar, ya que el periodo de un primo p debe dividir p − 1 ). En su informe, en el que amplió la tabla a 30 000 en el mismo año, Shanks no mencionó este error, pero sí indicó que en la misma columna, frente a 19841, 1984 debería ser 64. *Otro error que puede haber sido corregido desde la publicación de su trabajo se encuentra frente a 19423: el recíproco se repite cada 6474 dígitos, no cada 3237.

James Whitbread Lee Glaisher dio en 1878 reglas para calcular los períodos de decimales periódicos a partir de fracciones racionales. ^{[ 5 ]} Para un primo p , el período de su recíproco divide a p − 1. ^{[ 6 ]}

La secuencia de periodos de recurrencia de los primos recíprocos (secuencia A002371 en la OEIS ) aparece en el Manual de secuencias de enteros de 1973.

* Los números primos completosestán en cursiva. †Los números primos únicos están resaltados.

Un primo completo repetido , primo completo repetido , primo propio ^{[ 7 ] : 166} o primo largo en base b es un número primo impar p tal que el cociente de Fermat

${\displaystyle q_{p}(b)={\frac {b^{p-1}-1}{p}}}$

(donde p no divide a b ) da un número cíclico con p − 1 dígitos. Por lo tanto, la expansión en base b de  ${\displaystyle 1/p}$repite infinitamente los dígitos del número cíclico correspondiente.

Un primo p (donde p ≠ 2, 5 cuando se trabaja en base 10) se llama único si no hay otro primo q tal que la longitud del período de la expansión decimal de su recíproco , 1/ p , sea igual a la longitud del período del recíproco de q , 1/ q . ^{[ 8 ]} Por ejemplo, 3 es el único primo con período 1, 11 es el único primo con período 2, 37 es el único primo con período 3, 101 es el único primo con período 4, por lo que son primos únicos. El siguiente primo único mayor es 9091 con período 10, aunque el siguiente período mayor es 9 (su primo es 333667). Los primos únicos fueron descritos por Samuel Yates en 1980. ^{[ 9 ]} Un número primo p es único si y solo si existe un n tal que

${\displaystyle {\frac {\Phi _ {n}(10)}{\gcd(\Phi _ {n}(10),n)}}}$

es una potencia de p , donde${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$denota el${\displaystyle n}$polinomio ciclotómico n.º evaluado en${\displaystyle b}$. El valor de n es entonces el período de la expansión decimal de 1/ p . ^{[ 10 ]}

En la actualidad, se conocen más de cincuenta números primos únicos o probables en decimal . Sin embargo, solo hay veintitrés números primos únicos menores que ^10¹⁰⁰ .

Los números primos únicos decimales son

3, 11, 37, 101, 9091, 9901, 333667, 909091, ... (secuencia A040017 en el OEIS ) .

• Parker, Matt (14 de marzo de 2022). "Los recíprocos de los números primos - Numberphile" . YouTube .