Matriz diagonalizable

En álgebra lineal , una matriz cuadrada${\displaystyle A}$ Se denomina diagonalizable o no defectuosa si es similar a una matriz diagonal . Es decir, si existe una matriz invertible.${\displaystyle P}$ y una matriz diagonal${\displaystyle D}$de tal manera que${\displaystyle P^{-1}AP=D}$Esto es equivalente a${\displaystyle A=PDP^{-1}}$. (Semejante${\displaystyle P}$,${\displaystyle D}$no son únicos.) Esta propiedad existe para cualquier aplicación lineal: para un espacio vectorial de dimensión finita${\displaystyle V}$, un mapa lineal${\displaystyle T:V\to V}$ se denomina diagonalizable si existe una base ordenada de${\displaystyle V}$ que consiste en vectores propios de${\displaystyle T}$Estas definiciones son equivalentes: si${\displaystyle T}$ tiene una representación matricial${\displaystyle A=PDP^{-1}}$como arriba, entonces los vectores columna de${\displaystyle P}$ formen una base que consiste en vectores propios de${\displaystyle T}$y las entradas diagonales de${\displaystyle D}$ son los valores propios correspondientes de${\displaystyle T}$; con respecto a esta base de autovectores,${\displaystyle T}$ está representado por${\displaystyle D}$.

La diagonalización es el proceso de encontrar lo anterior${\displaystyle P}$ y${\displaystyle D}$y facilita muchos cálculos posteriores. Se puede elevar una matriz diagonal.${\displaystyle D}$ a una potencia simplemente elevando los elementos diagonales a esa potencia. El determinante de una matriz diagonal es simplemente el producto de todos los elementos diagonales. Estos cálculos se generalizan fácilmente a${\displaystyle A=PDP^{-1}}$.

La transformación geométrica representada por una matriz diagonalizable es una dilatación no homogénea (o escalamiento anisotrópico ). Es decir, puede escalar el espacio de forma diferente en distintas direcciones. La dirección de cada vector propio se escala mediante un factor dado por el valor propio correspondiente.

Una matriz cuadrada que no es diagonalizable se llama defectuosa . Puede ocurrir que una matriz${\displaystyle A}$con entradas reales es defectuoso sobre los números reales, lo que significa que${\displaystyle A=PDP^{-1}}$es imposible para cualquier invertible${\displaystyle P}$y diagonal${\displaystyle D}$con entradas reales, pero es posible con entradas complejas , de modo que${\displaystyle A}$es diagonalizable sobre los números complejos. Por ejemplo, este es el caso de una matriz de rotación genérica .

Muchos resultados para matrices diagonalizables solo son válidos sobre un cuerpo algebraicamente cerrado (como los números complejos). En este caso, las matrices diagonalizables son densas en el espacio de todas las matrices, lo que significa que cualquier matriz defectuosa puede deformarse en una matriz diagonalizable mediante una pequeña perturbación ; y la descomposición de Jordan-Chevalley establece que cualquier matriz es únicamente la suma de una matriz diagonalizable y una matriz nilpotente . Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, las matrices diagonalizables son equivalentes a matrices semisimples .

Un cuadrado${\displaystyle n\times n}$matriz${\displaystyle A}$con entradas en un campo${\displaystyle F}$Se denomina diagonalizable o no defectuoso si existe un${\displaystyle n\times n}$matriz invertible (es decir, un elemento del grupo lineal general)${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {F} )}$),${\displaystyle P}$, de tal manera que${\displaystyle P^{-1}AP}$es una matriz diagonal.

El hecho fundamental sobre las aplicaciones y matrices diagonalizables se expresa de la siguiente manera:

• Un${\displaystyle n\times n}$matriz${\displaystyle A}$sobre un campo${\displaystyle F}$es diagonalizable si y solo si la suma de las dimensiones de sus autoespacios es igual a${\displaystyle n}$, lo cual es el caso si y solo si existe una base de${\displaystyle F^{n}}$que consiste en vectores propios de${\displaystyle A}$Si se ha encontrado dicha base, se puede formar la matriz.${\displaystyle P}$teniendo estos vectores base como columnas, y${\displaystyle P^{-1}AP}$será una matriz diagonal cuyas entradas diagonales son los valores propios de${\displaystyle A}$La matriz${\displaystyle P}$se conoce como una matriz modal para${\displaystyle A}$.
• Un mapa lineal${\displaystyle T:V\to V}$es diagonalizable si y solo si la suma de las dimensiones de sus autoespacios es igual a${\displaystyle \dim(V)}$, lo cual es el caso si y solo si existe una base de${\displaystyle V}$que consiste en vectores propios de${\displaystyle T}$. Con respecto a dicha base,${\displaystyle T}$estará representada por una matriz diagonal. Las entradas diagonales de esta matriz son los valores propios de${\displaystyle T}$.

La siguiente condición suficiente (pero no necesaria) suele ser útil.

• Un${\displaystyle n\times n}$matriz${\displaystyle A}$es diagonalizable sobre el campo${\displaystyle F}$si tiene${\displaystyle n}$valores propios distintos en${\displaystyle F}$, es decir, si su polinomio característico tiene${\displaystyle n}$raíces distintas en${\displaystyle F}$Sin embargo, lo contrario puede ser falso. Consideremos$${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&3&-1\\-3&5&-1\\-3&3&1\end{bmatrix}},}$$que tiene autovalores 1, 2, 2 (no todos distintos) y es diagonalizable con forma diagonal ( similar a${\displaystyle A}$)$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}}}$$y cambio de matriz base${\displaystyle P}$:$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&-1\\1&1&0\\1&0&3\end{bmatrix}}.}$$Lo contrario falla cuando${\displaystyle A}$tiene un espacio propio de dimensión mayor que 1. En este ejemplo, el espacio propio de${\displaystyle A}$El valor propio asociado al 2 tiene dimensión 2.
• Un mapa lineal${\displaystyle T:V\to V}$con${\displaystyle n=\dim(V)}$es diagonalizable si tiene${\displaystyle n}$valores propios distintos, es decir, si su polinomio característico tiene${\displaystyle n}$raíces distintas en${\displaystyle F}$.

Dejar${\displaystyle A}$ser una matriz sobre${\displaystyle F}$. Si${\displaystyle A}$Si es diagonalizable, entonces también lo es cualquier potencia de ella. Por el contrario, si${\displaystyle A}$es invertible,${\displaystyle F}$es algebraicamente cerrado, y${\displaystyle A^{n}}$es diagonalizable para algunos${\displaystyle n}$que no es un múltiplo entero de la característica de${\displaystyle F}$, entonces${\displaystyle A}$es diagonalizable. Prueba: Si${\displaystyle A^{n}}$es diagonalizable, entonces${\displaystyle A}$es aniquilado por algún polinomio${\displaystyle \left(x^{n}-\lambda _{1}\right)\cdots \left(x^{n}-\lambda _{k}\right)}$, que no tiene raíz múltiple (ya que${\displaystyle \lambda _ {j}\neq 0}$) y se divide por el polinomio mínimo de${\displaystyle A}$.

Sobre los números complejos${\displaystyle \mathbb {C} }$Casi todas las matrices son diagonalizables. Más precisamente: el conjunto de matrices complejas${\displaystyle n\times n}$matrices que no son diagonalizables sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$, considerado como un subconjunto de${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$, tiene medida de Lebesgue cero. También se puede decir que las matrices diagonalizables forman un subconjunto denso con respecto a la topología de Zariski : las matrices no diagonalizables se encuentran dentro del conjunto nulo del discriminante del polinomio característico, que es una hipersuperficie . De ello se deduce también la densidad en la topología usual ( fuerte ) dada por una norma . Lo mismo no es cierto sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$.

La descomposición de Jordan-Chevalley expresa un operador como la suma de su parte semisimple (es decir, diagonalizable) y su parte nilpotente . Por lo tanto, una matriz es diagonalizable si y solo si su parte nilpotente es cero. Dicho de otro modo, una matriz es diagonalizable si cada bloque en su forma de Jordan no tiene parte nilpotente; es decir, cada "bloque" es una matriz bidimensional.

Consideremos las dos bases arbitrarias siguientes.${\displaystyle E=\{{{\boldsymbol {e}}_{i}|\forall i\in [n]}\}}$y${\displaystyle F=\{{{\boldsymbol {\alpha }}_{i}|\forall i\in [n]}\}}$Supongamos que existe una transformación lineal representada por una matriz.${\displaystyle A_{E}}$que está escrita con respecto a la base E. Supongamos también que existe la siguiente ecuación de autovalores:

${\displaystyle A_{E}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,i}}$

Los autovectores alfa también se escriben con respecto a la base E. Dado que el conjunto F es a la vez un conjunto de autovectores para la matriz A y abarca algún espacio vectorial arbitrario, decimos que existe una matriz${\displaystyle D_{F}}$que es una matriz diagonal similar a${\displaystyle A_{E}}$. En otras palabras,${\displaystyle A_{E}}$es una matriz diagonalizable si la matriz está escrita en la base F. Realizamos el cálculo del cambio de base utilizando la matriz de transición.${\displaystyle S}$, que cambia de base de E a F de la siguiente manera:

${\displaystyle D_{F}=S_{E}^{F}\ A_{E}\ S_{E}^{-1F}}$,

dónde${\displaystyle S_{E}^{F}}$es la matriz de transición de la base E a la base F. La inversa se puede igualar a una nueva matriz de transición.${\displaystyle P}$lo que cambia la base de F a E en su lugar y por lo tanto tenemos la siguiente relación  :

${\displaystyle S_{E}^{-1F}=P_{F}^{E}}$

Ambos${\displaystyle S}$y${\displaystyle P}$Las matrices de transición son invertibles. Por lo tanto, podemos manipular las matrices de la siguiente manera:$${\displaystyle {\begin{aligned}D=S\ A_{E}\ S^{-1}\\D=P^{-1}\ A_{E}\ P\end{aligned}}}$$La matriz${\displaystyle A_{E}}$se denotará como${\displaystyle A}$, que todavía está en la base E. De manera similar, la matriz diagonal está en la base F.

Si una matriz${\displaystyle A}$puede diagonalizarse, es decir,

${\displaystyle P^{-1}AP={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}=D,}$

entonces:

${\displaystyle AP=P{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}.}$

La matriz de transición S tiene los vectores de la base E como columnas escritas en la base F. Inversamente, la matriz de transición inversa P tiene vectores de la base F.${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{i}}$escrito en la base E de manera que podamos representar P en forma de matriz de bloques de la siguiente manera:

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}},}$

Como resultado podemos escribir:$${\displaystyle {\begin{aligned}A{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}D.\end{aligned}}}$$

En forma de matriz de bloques, podemos considerar la matriz A como una matriz de dimensiones 1x1, mientras que P es una matriz de dimensiones 1xn. La matriz D se puede escribir en su forma completa con todos los elementos diagonales como una matriz de dimensiones nxn:

${\displaystyle A{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}.}$

Al realizar la multiplicación de matrices anterior, obtenemos el siguiente resultado:$${\displaystyle {\begin{aligned}A{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}{\boldsymbol {\alpha }}_{1}&\lambda _{2}{\boldsymbol {\alpha }}_{2}&\cdots &\lambda _{n}{\boldsymbol {\alpha }}_{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$Tomando cada componente de la matriz de bloques individualmente en ambos lados, obtenemos lo siguiente:

${\displaystyle A{\boldsymbol {\alpha }}_{i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {\alpha }}_{i}\qquad (i=1,2,\dots ,n).}$

Entonces los vectores columna de${\displaystyle P}$son autovectores derechos de${\displaystyle A}$y la entrada diagonal correspondiente es el valor propio correspondiente . La invertibilidad de${\displaystyle P}$También sugiere que los autovectores son linealmente independientes y forman una base de${\displaystyle F^{n}}$. Esta es la condición necesaria y suficiente para la diagonalizabilidad y el enfoque canónico de diagonalización. Los vectores fila de${\displaystyle P^{-1}}$son los autovectores izquierdos de${\displaystyle A}$.

Cuando una matriz compleja${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$es una matriz hermitiana (o más generalmente una matriz normal ), vectores propios de${\displaystyle A}$se pueden elegir para formar una base ortonormal de${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, y${\displaystyle P}$puede elegirse para que sea una matriz unitaria . Si además,${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$es una matriz simétrica real , entonces sus autovectores pueden elegirse para ser una base ortonormal de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y${\displaystyle P}$puede elegirse para que sea una matriz ortogonal .

En la mayoría de los trabajos prácticos, las matrices se diagonalizan numéricamente mediante software informático. Existen numerosos algoritmos para lograrlo.

Se dice que un conjunto de matrices es diagonalizable simultáneamente si existe una única matriz invertible.${\displaystyle P}$de tal manera que${\displaystyle P^{-1}AP}$es una matriz diagonal para cada${\displaystyle A}$en el conjunto. El siguiente teorema caracteriza las matrices simultáneamente diagonalizables: Un conjunto de matrices diagonalizables conmuta si y solo si el conjunto es simultáneamente diagonalizable. ^{[ 1 ] : pág. 64}

El conjunto de todos${\displaystyle n\times n}$matrices diagonalizables (sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$) con${\displaystyle n>1}$no es diagonalizable simultáneamente. Por ejemplo, las matrices

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

son diagonalizables pero no simultáneamente diagonalizables porque no conmutan.

Un conjunto consta de matrices normales conmutativas si y solo si es diagonalizable simultáneamente por una matriz unitaria ; es decir, existe una matriz unitaria.${\displaystyle U}$de tal manera que${\displaystyle U^{*}AU}$es diagonal para cada${\displaystyle A}$en el conjunto.

En el lenguaje de la teoría de Lie , un conjunto de matrices diagonalizables simultáneamente genera un álgebra de Lie toral .

La diagonalización se puede utilizar para calcular eficientemente las potencias de una matriz.${\displaystyle A=PDP^{-1}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{k}&=\left(PDP^{-1}\right)^{k}=\left(PDP^{-1}\right)\left(PDP^{-1}\right)\cdots \left(PDP^{-1}\right)\\&=PD\left(P^{-1}P\right)D\left(P^{-1}P\right)\cdots \left(P^{-1}P\right)DP^{-1}=PD^{k}P^{-1},\end{aligned}}}$

y este último es fácil de calcular ya que solo involucra las potencias de una matriz diagonal. Por ejemplo, para la matriz${\displaystyle A}$con valores propios${\displaystyle \lambda =1,1,2}$En el ejemplo anterior calculamos:

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{k}=PD^{k}P^{-1}&=\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}1^{k}&0&0\\0&1^{k}&0\\0&0&2^{k}\end{bmatrix}}\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\\[1em]&={\begin{bmatrix}2-2^{k}&-1+2^{k}&2-2^{k+1}\\0&1&0\\-1+2^{k}&1-2^{k}&-1+2^{k+1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Este enfoque se puede generalizar a la exponencial matricial y otras funciones matriciales que se pueden definir como series de potencias. Por ejemplo, definiendo${\textstyle \exp(A)=I+A+{\frac {1}{2!}}A^{2}+{\frac {1}{3!}}A^{3}+\cdots }$, tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(A)=P\exp(D)P^{-1}&=\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}e^{1}&0&0\\0&e^{1}&0\\0&0&e^{2}\end{bmatrix}}\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\\[1em]&={\begin{bmatrix}2e-e^{2}&-e+e^{2}&2e-2e^{2}\\0&e&0\\-e+e^{2}&e-e^{2}&-e+2e^{2}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Esto es particularmente útil para encontrar expresiones de forma cerrada para términos de secuencias recursivas lineales , como los números de Fibonacci .

En los cálculos de mecánica cuántica y química cuántica, la diagonalización de matrices es uno de los procesos numéricos más utilizados. La razón fundamental es que la ecuación de Schrödinger, independiente del tiempo , es una ecuación de valores propios, aunque en la mayoría de las situaciones físicas se da en un espacio de Hilbert de dimensión infinita .

Una aproximación muy común consiste en truncar (o proyectar) el espacio de Hilbert a una dimensión finita, tras lo cual la ecuación de Schrödinger puede formularse como un problema de valores propios de una matriz simétrica real o una matriz hermitiana compleja. Formalmente, esta aproximación se basa en el principio variacional , válido para hamiltonianos acotados inferiormente.

La teoría de perturbaciones de primer orden también conduce a un problema de valores propios de matrices para estados degenerados.

Las matrices pueden generalizarse a operadores lineales . Una matriz diagonal puede generalizarse a operadores diagonales en espacios de Hilbert.

Dejar${\displaystyle H}$ser un espacio de Hilbert. Un operador${\displaystyle D:H\to H}$es un operador diagonal si y solo si existe una base ortonormal.${\displaystyle (e_{n})_{n}}$de${\displaystyle H}$, de tal manera que${\displaystyle De_{n}=\lambda _{n}e_{n}}$para algunos${\displaystyle \lambda _{n}\in \mathbb {C} }$.

Para cualquier${\displaystyle p\geq 1}$, definimos la norma p-Schatten de la siguiente manera. Sea${\displaystyle T:H\to H}$ser operador, entonces${\displaystyle \|T\|_{p}:=\operatorname {Tr} (|T|^{p})^{1/p}}$, dónde${\displaystyle \operatorname {Tr} }$es la traza . La clase p-Schatten es el conjunto de todos los operadores con norma p-Schatten finita.

Weyl , ^{[ 3 ]} von Neumann , ^{[ 4 ]} y Kuroda, ^{[ 5 ]} demostraron lo siguiente:

Para cualquier${\displaystyle p>1}$cualquier operador autoadjunto${\displaystyle T}$en un espacio de Hilbert${\displaystyle H}$y cualquier${\displaystyle \epsilon >0}$, existe un operador diagonal${\displaystyle D}$, de tal manera que${\displaystyle \|T-D\|_{p}\leq \epsilon }$.

En otras palabras, cualquier operador autoadjunto es una perturbación infinitesimal de un operador diagonal, donde "infinitesimal" se refiere a la norma p-Schatten. En particular, dado que la clase de operadores de Hilbert-Schmidt es la clase 2-Schatten, esto significa que cualquier operador autoadjunto es diagonalizable tras una perturbación mediante un operador infinitesimal de Hilbert-Schmidt. De hecho, el resultado anterior podría generalizarse aún más:

Para cualquier ideal de norma que no sea la clase traza, con norma${\displaystyle \|\cdot \|_{J}}$cualquier operador autoadjunto${\displaystyle T}$en un espacio de Hilbert${\displaystyle H}$y cualquier${\displaystyle \epsilon >0}$, existe un operador diagonal${\displaystyle D}$, de tal manera que${\displaystyle \|T-D\|_{J}\leq \epsilon }$.

El resultado es falso para${\displaystyle p=1}$(la clase traza ). Este es un corolario simple del teorema ^{XI.8 de Kato [ 6 ]} – Rosenblum ^{[ 7 ] [ 8 ] ,} que establece que si${\displaystyle T}$es autoadjunto y${\displaystyle A}$es una clase de rastreo, entonces${\displaystyle T,T+A}$tienen la misma parte absolutamente continua del espectro . El resultado es nítido, sin embargo, en el sentido de que si${\displaystyle T}$Si no tiene una parte absolutamente continua, puede diagonalizarse después de una perturbación mediante un operador de clase traza infinitesimal. ^{[ 9 ]}

Para la diagonalización simultánea , se sabe que, dada una lista finita de${\displaystyle T_{1},\dots ,T_{n}}$operadores autoadjuntos que conmutan entre sí, para cualquier${\displaystyle \epsilon >0}$, existe una secuencia de operadores diagonales${\displaystyle D_{1},\dots ,D_{n}}$, de tal manera que${\displaystyle \|T_{1}-D_{1}\|_{n}\leq \epsilon ,\dots ,\|T_{n}-D_{n}\|_{n}\leq \epsilon }$, dónde${\displaystyle \|\cdot \|_{n}}$es la norma n-Schatten. Nótese que${\displaystyle n\geq 2}$^{[ 10 ]}

• Matriz defectuosa
• Escalado (geometría)
• Matriz triangular
• Operador semisimple
• Grupo diagonalizable
• Jordan forma normal
• Módulo de pesos : generalización del álgebra asociativa
• diagonalización ortogonal