Eigenvalues and eigenvectors

In linear algebra, an eigenvector (/ˈaɪɡən-/EYE-gən-) or characteristic vector is a (nonzero) vector that has its direction unchanged (or reversed) by a given linear transformation. More precisely, an eigenvector ${\displaystyle \mathbf {v} }$ of a linear transformation ${\displaystyle T}$ is scaled by a constant factor${\displaystyle \lambda }$ when the linear transformation is applied to it: ⁠${\displaystyle T\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$⁠. The corresponding eigenvalue, characteristic value, or characteristic root is the multiplying factor ${\displaystyle \lambda }$ (possibly a negative or complex number).

Geometrically, vectors are multi-dimensional quantities with magnitude and direction, often pictured as arrows. A linear transformation rotates, stretches, or shears the vectors upon which it acts. A linear transformation's eigenvectors are those vectors that are only stretched or shrunk, with neither rotation nor shear. The corresponding eigenvalue is the factor by which an eigenvector is stretched or shrunk. If the eigenvalue is negative, then the eigenvector's direction is reversed.^[1]

The eigenvectors and eigenvalues of a linear transformation serve to characterize it, and so they play important roles in all areas where linear algebra is applied, from geology to quantum mechanics. In particular, it is often the case that a system is represented by a linear transformation whose outputs are fed as inputs to the same transformation (feedback). In such an application, the largest eigenvalue is of particular importance, because it governs the long-term behavior of the system after many applications of the linear transformation, and the associated eigenvector is the steady state of the system.

Para una matriz ⁠ ⁠ y un vector ⁠ ⁠ ⁠ distinto de cero , si al multiplicar ⁠ ⁠ por (denotado ⁠ ⁠ ) simplemente se escala por un factor ⁠ ⁠ , donde ⁠ ⁠ es un escalar , entonces se denomina vector propio de ⁠ ⁠ , y ⁠ ⁠ es el valor propio correspondiente. Esta relación se puede expresar como: ⁠ ⁠ . ^{[ 2 ]}${\displaystyle n{\times }n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle A\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$

Dado un espacio vectorial de dimensión ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ y una base elegida , existe una correspondencia directa entre las transformaciones lineales del espacio vectorial en sí mismo y las matrices cuadradas ⁠ ⁠${\displaystyle n\times n}$ . Por lo tanto, en un espacio vectorial de dimensión finita, es equivalente definir los autovalores y autovectores utilizando el lenguaje de las transformaciones lineales o el lenguaje de las matrices . ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Los autovalores y autovectores ocupan un lugar destacado en el análisis de transformaciones lineales. El prefijo eigen- se adopta del alemán eigen ( cognado de la palabra inglesa own ) que significa 'propio', 'característico', 'propio'. ^{[ 5 ] [ 6 ]} Originalmente utilizados para estudiar los ejes principales del movimiento de rotación de cuerpos rígidos , los autovalores y autovectores tienen una amplia gama de aplicaciones, por ejemplo en el análisis de estabilidad , el análisis de vibraciones , los orbitales atómicos , el reconocimiento facial y la diagonalización de matrices .

En esencia, un vector propio v de una transformación lineal T es un vector distinto de cero que, al aplicarle T , no cambia de dirección. Al aplicar T al vector propio, este solo se escala por el valor escalar λ , denominado valor propio. Esta condición se puede expresar mediante la ecuación conocida como ecuación de valores propios o ecuación de valores propios . En general, λ puede ser cualquier escalar . Por ejemplo, λ puede ser negativo, en cuyo caso el vector propio invierte su dirección como parte del escalado, o puede ser cero o complejo . $${\displaystyle T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} ,}$$

El ejemplo que se presenta aquí, basado en la Mona Lisa , ofrece una ilustración sencilla. Cada punto de la pintura se puede representar como un vector que apunta desde el centro de la pintura hasta ese punto. La transformación lineal en este ejemplo se denomina transformación de cizallamiento . Los puntos de la mitad superior se desplazan hacia la derecha, y los de la mitad inferior hacia la izquierda, en proporción a su distancia del eje horizontal que pasa por el centro de la pintura. Por lo tanto, los vectores que apuntan a cada punto de la imagen original se inclinan hacia la derecha o hacia la izquierda, y su longitud aumenta o disminuye debido a la transformación. Los puntos a lo largo del eje horizontal no se mueven en absoluto al aplicar esta transformación. En consecuencia, cualquier vector que apunte directamente hacia la derecha o hacia la izquierda sin componente vertical es un vector propio de esta transformación, ya que la transformación no altera su dirección. Además, todos estos vectores propios tienen un valor propio igual a uno, puesto que la transformación tampoco altera su longitud.

Las transformaciones lineales pueden adoptar muchas formas diferentes, mapeando vectores en una variedad de espacios vectoriales, por lo que los autovectores también pueden adoptar muchas formas. Por ejemplo, la transformación lineal podría ser un operador diferencial como ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}}$ , en cuyo caso los autovectores son funciones llamadas autofunciones que son escaladas por ese operador diferencial, como Alternativamente, la transformación lineal podría tomar la forma de una matriz n × n , en cuyo caso los autovectores son matrices n × 1. Si la transformación lineal se expresa en la forma de una matriz n × n A , entonces la ecuación de autovalores para una transformación lineal anterior se puede reescribir como la multiplicación de matrices donde el autovector v es una matriz n × 1. Para una matriz, los autovalores y los autovectores se pueden usar para descomponer la matriz , por ejemplo, diagonalizándola . $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{\lambda x}=\lambda e^{\lambda x}.}$$$${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v},}$$

Los valores propios y los vectores propios dan lugar a muchos conceptos matemáticos estrechamente relacionados, y el prefijo "eigen-" se aplica con frecuencia al nombrarlos:

• El conjunto de todos los autovectores de una transformación lineal, cada uno emparejado con su autovalor correspondiente, se denomina sistema de autovectores de dicha transformación. ^{[ 7 ] [ 8 ]}
• El conjunto de todos los autovectores de T que corresponden al mismo autovalor, junto con el vector cero, se denomina autoespacio , o espacio característico de T asociado a ese autovalor. ^{[ 9 ]}
• Si un conjunto de autovectores de T forma una base del dominio de T , entonces esta base se denomina autobase .

Los valores propios se introducen a menudo en el contexto del álgebra lineal o la teoría de matrices . Sin embargo, históricamente surgieron en el estudio de las formas cuadráticas y las ecuaciones diferenciales .

En el siglo XVIII, Leonhard Euler estudió el movimiento de rotación de un cuerpo rígido y descubrió la importancia de los ejes principales . ^{[ a ]} Joseph-Louis Lagrange se dio cuenta de que los ejes principales son los vectores propios de la matriz de inercia. ^{[ 10 ]}

A principios del siglo XIX, Augustin-Louis Cauchy vio cómo su trabajo podía usarse para clasificar las superficies cuádricas y lo generalizó a dimensiones arbitrarias. ^{[ 11 ]} Cauchy también acuñó el término racine caractéristique (raíz característica), para lo que ahora se llama valor propio ; su término sobrevive en la ecuación característica . ^{[ b ]}

Más tarde, Joseph Fourier utilizó el trabajo de Lagrange y Pierre-Simon Laplace para resolver la ecuación del calor mediante la separación de variables en su tratado de 1822, La teoría analítica del calor (Théorie analytique de la chaleur) . ^{[ 12 ]} Charles-François Sturm desarrolló aún más las ideas de Fourier y las presentó a Cauchy, quien las combinó con sus propias ideas y llegó a la conclusión de que las matrices simétricas reales tienen valores propios reales. ^{[ 11 ]} Esto fue extendido por Charles Hermite en 1855 a lo que ahora se denominan matrices hermíticas . ^{[ 13 ]}

Casi al mismo tiempo, Francesco Brioschi demostró que los autovalores de matrices ortogonales se encuentran en el círculo unitario ^{[ 11 ]} , y Alfred Clebsch halló el resultado correspondiente para matrices antisimétricas ^{[ 13 ]} . Finalmente, Karl Weierstrass aclaró un aspecto importante en la teoría de la estabilidad iniciada por Laplace, al darse cuenta de que las matrices defectuosas pueden causar inestabilidad ^{[ 11 ] .}

Mientras tanto, Joseph Liouville estudió problemas de valores propios similares a los de Sturm; la disciplina que surgió de su trabajo se denomina ahora teoría de Sturm-Liouville . ^{[ 14 ]} Schwarz estudió el primer valor propio de la ecuación de Laplace en dominios generales hacia finales del siglo XIX, mientras que Poincaré estudió la ecuación de Poisson unos años más tarde. ^{[ 15 ]}

A principios del siglo XX, David Hilbert estudió los autovalores de los operadores integrales considerando dichos operadores como matrices infinitas. ^{[ 16 ]} Fue el primero en utilizar la palabra alemana eigen , que significa "propio", ^{[ 6 ]} para denotar autovalores y autovectores en 1904, ^{[ c ]} aunque es posible que estuviera siguiendo un uso similar de Hermann von Helmholtz . Durante un tiempo, el término estándar en inglés fue "valor propio", pero el término más distintivo "autovalor" es el estándar en la actualidad. ^{[ 17 ]}

El primer algoritmo numérico para calcular valores y vectores propios apareció en 1929, cuando Richard von Mises publicó el método de potencias . Uno de los métodos más populares en la actualidad, el algoritmo QR , fue propuesto independientemente por John GF Francis ^{[ 18 ]} y Vera Kublanovskaya ^{[ 19 ]} en 1961. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

Los valores y vectores propios se introducen frecuentemente a los estudiantes en el contexto de cursos de álgebra lineal centrados en matrices. ^{[ 22 ] [ 23 ]} Además, las transformaciones lineales sobre un espacio vectorial de dimensión finita pueden representarse mediante matrices, ^{[ 3 ] [ 4 ]} lo cual es especialmente común en aplicaciones numéricas y computacionales. ^{[ 24 ]}

Consideremos dos vectores de ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -dimensiones que se forman como una lista de ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ escalares, como los vectores tridimensionales Estos vectores se denominan múltiplos escalares entre sí, o paralelos , o colineales , si existe un escalar ⁠ ⁠ tal que En este ejemplo, ⁠ ⁠ . $${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1\\-3\\4\end{bmatrix}}\quad {\mbox{y}}\quad \mathbf {y} ={\begin{bmatrix}-20\\60\\-80\end{bmatrix}}.}$$${\displaystyle \lambda }$$${\displaystyle \mathbf {y} =\lambda \mathbf {x}.}$$${\displaystyle \lambda =-20}$

Ahora consideremos la transformación lineal de vectores de dimensión ${\displaystyle n}$-definidos por una matriz : o${\displaystyle n\times n}$ donde , para cada fila, ${\displaystyle A}$$${\displaystyle A\mathbf {v} =\mathbf {w},}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle w_{i}=A_{i1}v_{1}+A_{i2}v_{2}+\cdots +A_{in}v_{n}=\sum _{j=1}^{n}A_{ij}v_{j}.}$$

Si ocurre que ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {v} }$ y ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {w} }$ son múltiplos escalares, es decir, si

entonces ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {v} }$ es un vector propio de la transformación lineal ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ y el factor de escala ⁠ ⁠${\displaystyle \lambda }$ es el valor propio correspondiente a ese vector propio. La ecuación ( 1 ) es la ecuación de valores propios para la matriz ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ .

La ecuación ( 1 ) puede expresarse de forma equivalente como

donde ⁠ ⁠${\displaystyle I}$ es la ⁠ ⁠ ${\displaystyle n\times n}$matriz identidad y ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {0} }$ es el vector cero.

La ecuación ( 2 ) tiene una solución no nula v si y solo si el determinante de la matriz ( A − λI ) es cero. Por lo tanto, los valores propios de A son valores de λ que satisfacen la ecuación.

Utilizando la fórmula de Leibniz para determinantes , el lado izquierdo de la ecuación ( 3 ) es una función polinómica de la variable λ y el grado de este polinomio es n , el orden de la matriz A. Sus coeficientes dependen de las entradas de A , excepto que su término de grado n es siempre (−1) ⁿ λ ⁿ . Este polinomio se llama polinomio característico de A. La ecuación ( 3 ) se llama ecuación característica o ecuación secular de A.

El polinomio característico de una matriz A de n × n , al ser un polinomio de grado n , tiene como máximo n raíces complejas , las cuales se pueden encontrar factorizando el polinomio característico o numéricamente mediante la búsqueda de raíces. El polinomio característico se puede factorizar en el producto de n términos lineales:

donde los números complejos λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n , cada uno de los cuales es un valor propio, pueden repetirse. (El número de veces que un valor propio aparece en el polinomio característico se conoce como su multiplicidad algebraica ).

Como ejemplo breve, que se describe con más detalle en la sección de ejemplos posterior, considere la matriz Tomando el determinante de ( A − λI ) , el polinomio característico de A es Igualando el polinomio característico a cero, tiene raíces en λ = 1 y λ = 3 , que son los dos autovalores de A . Los autovectores correspondientes a cada autovalor λ se pueden encontrar resolviendo para las componentes de v en la ecuación ( A − λI ) v = 0 . En este ejemplo, los autovectores son cualquier múltiplo escalar distinto de cero de $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.}$$$${\displaystyle \det(A-\lambda I)={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}=3-4\lambda +\lambda ^{2}.}$$$${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}.}$$

Si las entradas de la matriz A son todas números reales, entonces los coeficientes del polinomio característico también serán números reales, pero los autovalores aún pueden tener partes imaginarias distintas de cero. Por lo tanto, las entradas de los autovectores correspondientes también pueden tener partes imaginarias distintas de cero. De manera similar, los autovalores pueden ser números irracionales incluso si todas las entradas de A son números racionales o incluso si todas son números enteros. Sin embargo, si las entradas de A son todas números algebraicos , incluidos los racionales, entonces los autovalores también deben ser números algebraicos.

Las raíces no reales de un polinomio real con coeficientes reales se pueden agrupar en pares de conjugados complejos , es decir, donde los dos miembros de cada par tienen partes imaginarias que difieren solo en signo y la misma parte real. Si el grado es impar, entonces, por el teorema del valor intermedio, al menos una de las raíces es real. Por lo tanto, cualquier matriz real de orden impar tiene al menos un valor propio real, mientras que una matriz real de orden par puede no tener ningún valor propio real. Los vectores propios asociados a estos valores propios complejos también son complejos y aparecen en pares de conjugados complejos.

El espectro de una matriz es la lista de sus valores propios, repetidos según sus multiplicidades; en una notación más corta, el conjunto de sus valores propios con sus multiplicidades indicadas.

Una magnitud importante asociada al espectro de una matriz es el valor absoluto máximo de todos sus autovalores. Esto se conoce como el radio espectral de la matriz en cuestión.

Sea λ _i un valor propio de una matriz A de n × n . La multiplicidad algebraica μ _A ( λ _i ) del valor propio es su multiplicidad como raíz del polinomio característico, es decir, el mayor entero k tal que ( λ _i − λ ) ^k divide exactamente a dicho polinomio. ^{[ 9 ] [ 25 ] [ 26 ]}

Supongamos que una matriz A tiene orden n y d ≤ n autovalores distintos. Mientras que la ecuación ( 4 ) factoriza el polinomio característico de A en el producto de n términos lineales con algunos términos que potencialmente se repiten, el polinomio característico también puede escribirse como el producto de d términos, cada uno correspondiente a un autovalor distinto y elevado a la potencia de la multiplicidad algebraica: Si d = n , entonces el lado derecho es el producto de n términos lineales, y esto es lo mismo que la ecuación ( 4 ). El tamaño de la multiplicidad algebraica de cada autovalor está relacionado con la dimensión n como Si μ _A ( λ _i ) = 1 , entonces se dice que λ _i es un autovalor simple . ^{[ 26 ]} Si μ _A ( λ _i ) es igual a la multiplicidad geométrica de λ _i (denotada por γ _A ( λ _i ) y definida en la siguiente sección), entonces se dice que λ _i es un valor propio semisimple . $${\displaystyle \det(A-\lambda I)=(\lambda _{1}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{1})}(\lambda _{2}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{2})}\cdots (\lambda _{d}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{d})}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}1&\leq \mu _{A}(\lambda _{i})\leq n,\\\mu _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\mu _{A}\left(\lambda _{i}\right)=n.\end{aligned}}}$$

Dado un valor propio particular ⁠ ⁠${\displaystyle \lambda }$ de la ⁠ ⁠${\displaystyle n\times n}$ matriz ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ , definimos el conjunto ⁠ ⁠${\displaystyle E}$ como todos los vectores ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {v} }$ que satisfacen la ecuación ( 2 ): Por un lado, ⁠ ⁠ es precisamente el núcleo o espacio nulo de la matriz ⁠ ⁠ . Por otro lado, por definición, cualquier vector no nulo que satisface esta condición es un vector propio de ⁠ ⁠ asociado con ⁠ ⁠ ; por lo tanto , ⁠ ⁠ es la unión del vector cero con el conjunto de todos los vectores propios de ⁠ ⁠ asociados con ⁠ ⁠ . El espacio ⁠ ⁠ se llama espacio propio o espacio característico de ⁠ ⁠ asociado con ⁠ ⁠ . ^{[ 27 ] [ 9 ]} En general, ⁠ ⁠ es un número complejo y los autovectores son matrices complejas ( vectores columna). Debido a que cada espacio nulo es un subespacio lineal del dominio, ⁠ ⁠ es un subespacio lineal de ⁠ ⁠ . $${\displaystyle E=\left\{\mathbf {v} :\left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} \right\}.}$$${\displaystyle E}$${\displaystyle A-\lambda I}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle n\times 1}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Debido a que el espacio propio ⁠ ⁠${\displaystyle E}$ es un subespacio lineal, es cerrado bajo la suma. Es decir, si dos vectores ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {u} }$ y ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {v} }$ pertenecen al conjunto ⁠ ⁠${\displaystyle E}$ , escrito ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in E}$ , entonces ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} \in E}$ , o equivalentemente ⁠ ⁠${\displaystyle A(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=\lambda (\mathbf {u} +\mathbf {v} )}$ . Esto se puede comprobar usando la propiedad distributiva de la multiplicación de matrices. De manera similar, debido a que ⁠ ⁠${\displaystyle E}$ es un subespacio lineal, es cerrado bajo la multiplicación escalar. Es decir, si ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {v} \in E}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ , entonces ⁠ ⁠${\displaystyle \alpha \mathbf {v} \in E}$ , o equivalentemente ⁠ ⁠${\displaystyle A(\alpha \mathbf {v} )=\lambda (\alpha \mathbf {v} )}$ . Esto se puede comprobar observando que la multiplicación de matrices complejas por números complejos es conmutativa . Siempre que ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} }$ y ⁠ ⁠${\displaystyle \alpha \mathbf {v} }$ no sean cero, también son autovectores de ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ asociados con ⁠ ⁠${\displaystyle \lambda }$ .

La dimensión del espacio propio ⁠ ⁠${\displaystyle E}$ asociado con ⁠ ⁠${\displaystyle \lambda }$ , o equivalentemente el número máximo de vectores propios linealmente independientes asociados con ⁠ ⁠${\displaystyle \lambda }$ , se denomina multiplicidad geométrica del valor propio y se denota por ⁠ ⁠${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )}$ . Dado que ⁠ ⁠${\displaystyle E}$ es también el espacio nulo de ⁠ ⁠${\displaystyle A-\lambda I}$ , la multiplicidad geométrica de ⁠ ⁠${\displaystyle \lambda }$ es la dimensión del espacio nulo de ⁠ ⁠${\displaystyle A-\lambda I}$ , también llamada nulidad de ⁠ ⁠${\displaystyle A-\lambda I}$ . Esta cantidad está relacionada con el tamaño y el rango de ⁠ ⁠${\displaystyle A-\lambda I}$ mediante la ecuación: Debido a la definición de valores propios y vectores propios, la multiplicidad geométrica de un valor propio debe ser al menos uno, es decir, cada valor propio tiene al menos un vector propio asociado. Además, la multiplicidad geométrica de un valor propio no puede exceder su multiplicidad algebraica. Adicionalmente, recuerde que la multiplicidad algebraica de un valor propio no puede exceder ⁠ ⁠ . En resumen, $${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )=n-\operatorname {rank} (A-\lambda I).}$$${\displaystyle n}$$${\displaystyle 1\leq \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )\leq n.}$$

Demostración de la desigualdad : Sea${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )}$ B = A − λI , donde λ es un número complejo fijo, y el espacio propio asociado a λ es el espacio nulo de B. Sea la dimensión de ese espacio propio . Esto significa que las últimas k filas de la forma escalonada de B son cero. Por lo tanto, hay una matriz invertible E proveniente de la reducción de Gauss-Jordan, tal que Por lo tanto, las últimas k filas de EB − tE son (− t ) veces las últimas k filas de E. Por lo tanto, el polinomio t ^k divide exactamente al polinomio det( EB − tE ) , debido a las propiedades básicas de los determinantes (homogeneidad). Por otro lado, det( EB − tE ) = det E det( B − tI ) = p _A ( t + λ ) det E , por lo que ( t − λ ) ^k divide a p _A ( t ) , y por lo tanto la multiplicidad algebraica de λ es al menos ⁠ ⁠ . QED ${\displaystyle k=\gamma _{A}(\lambda )}$$${\displaystyle EB={\begin{bmatrix}*&*\\\mathbf {0} _{k\times (n-k)}&\mathbf {0} _{k\times k}\end{bmatrix}}.}$$${\displaystyle k}$

Supongamos que A tiene d ≤ n autovalores distintos λ ₁ , ... , λ _d , donde la multiplicidad geométrica de λ _i es γ _A ( λ _i ) . La multiplicidad geométrica total de A es la dimensión de la suma de todos los autoespacios de los autovalores de A , o equivalentemente el número máximo de autovectores linealmente independientes de A . Por construcción, ⁠ ⁠ . Si ⁠ ⁠ , entonces: $${\displaystyle \gamma _{A}=\sum _{i=1}^{d}\gamma _{A}(\lambda _{i}),}$$${\displaystyle d\leq \gamma _{A}\leq n}$${\displaystyle \gamma _{A}=n}$

• La suma directa de los espacios propios de todos los valores propios de A es todo el espacio vectorial ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ .
• Se puede formar una base a partir de n autovectores linealmente independientes de A ; dicha base se denomina autobase .${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• Cualquier vector en se puede escribir como una combinación lineal de vectores propios de A.${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Let A be an arbitrary n × n matrix of complex numbers with eigenvalues λ₁, ..., λ_n. Each eigenvalue appears μ_A(λ_i) times in this list, where μ_A(λ_i) is the eigenvalue's algebraic multiplicity. The following are properties of this matrix and its eigenvalues:

• The trace of ⁠${\displaystyle A}$⁠, defined as the sum of its diagonal elements, is also the sum of all its eigenvalues:^[28][29][30]$${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}.}$$
• The determinant of ⁠${\displaystyle A}$⁠ is the product of all its eigenvalues:^[28][31][32]$${\displaystyle \det(A)=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.}$$
• For any positive integer ⁠${\displaystyle k}$⁠, the eigenvalues of the ⁠${\displaystyle k}$⁠th power of ⁠${\displaystyle A}$⁠, that is, ⁠${\displaystyle A^{k}}$⁠, are ⁠${\displaystyle \lambda _{1}^{k},\ldots ,\lambda _{n}^{k}}$⁠.
• The eigenvalues of matrix ⁠${\displaystyle A+I}$⁠ (where ⁠${\displaystyle I}$⁠ is the identity matrix) are ⁠${\displaystyle \lambda _{1}+1,\ldots ,\lambda _{n}+1}$⁠. Moreover, for any ⁠${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$⁠, the eigenvalues of matrix ⁠${\displaystyle A+\alpha I}$⁠ are ⁠${\displaystyle \lambda _{1}+\alpha ,\ldots ,\lambda _{n}+\alpha }$⁠.
• More generally, for any polynomial ⁠${\displaystyle P}$⁠, the eigenvalues of matrix ⁠${\displaystyle P(A)}$⁠ are ⁠${\displaystyle P(\lambda _{1}),\ldots ,P(\lambda _{n})}$⁠.
• ⁠${\displaystyle A}$⁠ is invertible if and only if every eigenvalue ⁠${\displaystyle \lambda _{i}}$⁠ is nonzero.
• If ⁠${\displaystyle A}$⁠ is invertible, then the eigenvalues of ⁠${\displaystyle A^{-1}}$⁠ are ${\textstyle {\frac {1}{\lambda _{1}}},\ldots ,{\frac {1}{\lambda _{n}}}}$ and for each pair of corresponding eigenvalues, the geometric multiplicities ⁠${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda _{i})}$⁠ and ${\textstyle \gamma _{A^{-1}}({1 \over \lambda _{i}})}$ coincide. Moreover, since the characteristic polynomial of the inverse is the reciprocal polynomial of the original up to a scalar factor, for each pair of corresponding eigenvalues, the algebraic multiplicities ⁠${\displaystyle \mu _{A}(\lambda _{i})}$⁠ and ${\textstyle \mu _{A^{-1}}({1 \over \lambda _{i}})}$ coincide.
• Si ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ es igual a su transpuesta conjugada ⁠ ⁠${\displaystyle A^{*}}$ , es decir, ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ es hermitiana , entonces cada valor propio ⁠ ⁠${\displaystyle \lambda _{i}}$ es real. Lo mismo ocurre con cualquier matriz real simétrica .
• Si ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ no solo es hermitiana sino también definida positiva , semidefinida positiva, definida negativa o semidefinida negativa, entonces cada valor propio ⁠ ⁠${\displaystyle \lambda _{i}}$ es positivo, no negativo, negativo o no positivo, respectivamente.
• Si ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ es unitaria , entonces cada valor propio ⁠ ⁠${\displaystyle \lambda _{i}}$ tiene un valor absoluto ⁠ ⁠${\displaystyle \vert \lambda _{i}\vert =1}$ .

Muchas disciplinas tradicionalmente representan los vectores como matrices con una sola columna en lugar de como matrices con una sola fila. Por esa razón, la palabra "vector propio" en el contexto de matrices casi siempre se refiere a un vector propio derecho , es decir, un vector columna que multiplica por la derecha la matriz n × n A en la ecuación de definición, ecuación ( 1 ). El problema del valor propio y del vector propio también se puede definir para vectores fila que multiplican por la izquierda la matriz A. En esta formulación, la ecuación de definición es donde κ es un escalar y u es una matriz de 1 × n . Cualquier vector fila u que satisfaga esta ecuación se llama vector propio izquierdo de A , y κ todavía se llama su valor propio asociado. Tomando la transpuesta de esta ecuación, $${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} .}$$$${\displaystyle \mathbf {u} A=\kappa \mathbf {u} ,}$$$${\displaystyle A^{\mathsf {T}}\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}=\kappa \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}.}$$

Comparando esta ecuación con la ecuación ( 1 ), se deduce inmediatamente que un vector propio izquierdo de ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ es igual a la transpuesta de un vector propio derecho de ⁠ ⁠${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$ , con el mismo valor propio. Además, dado que el polinomio característico de ⁠ ⁠${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$ es igual al polinomio característico de ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ , los vectores propios izquierdo y derecho de ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ están asociados con los mismos valores propios.

A matrix has the same eigenvalues as its transpose, as can be directly seen as follows. Assume ⁠${\displaystyle \lambda }$⁠ is an eigenvalue of an ⁠${\displaystyle n\times n}$⁠ matrix ⁠${\displaystyle A}$⁠ with eigenvector ⁠${\displaystyle x}$⁠. Then ⁠${\displaystyle Ax=\lambda x}$⁠; equivalently, ⁠${\displaystyle (A-\lambda I)x=0}$⁠.

Thus, the columns of ⁠${\displaystyle (A-\lambda I)}$⁠ are linearly dependent. Equivalently, the rank of the matrix is less than ⁠${\displaystyle n}$⁠.

But as column rank = row rank, the rows are also linearly dependent. Hence, there are numbers ⁠${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}}$⁠, not all zero, such that ${\textstyle \sum _{i=1}^{i=n}y_{i}R_{i}=0,}$ where the ⁠${\displaystyle R_{i}}$⁠'s are the rows of ⁠${\displaystyle (A-\lambda I)}$⁠. Let the row vector⁠${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$⁠; then ⁠${\displaystyle y\,(A-\lambda I)=0}$⁠. Taking the transpose, ⁠${\displaystyle (A^{\mathsf {T}}-\lambda I)\,y^{\mathsf {T}}=0}$⁠. Moreover, ⁠${\displaystyle y^{\mathsf {T}}}$⁠ is not the zero vector; so ⁠${\displaystyle \lambda }$⁠ is also an eigenvalue of ⁠${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$⁠.

Furthermore, this argument shows that the eigenvalues of ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$ have the same geometric multiplicity (since column nullity = row nullity).

Suppose the eigenvectors of A form a basis of ⁠${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$⁠, or equivalently A has n linearly independent eigenvectors v₁, v₂, ..., v_n (with associated eigenvalues λ₁, λ₂, ..., λ_n). The eigenvectors need not be orthogonal to one another, and the eigenvalues need not be distinct. Define the square matrixQ whose columns are the n linearly independent eigenvectors of A, $${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}.}$$ Since each column of Q is an eigenvector of A, right multiplying A by Q scales each column of Q by its associated eigenvalue: $${\displaystyle AQ={\begin{bmatrix}\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}&\lambda _{2}\mathbf {v} _{2}&\cdots &\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}.}$$

Teniendo esto en cuenta, definimos la matriz diagonal Λ donde cada elemento diagonal Λ _ii es el valor propio asociado con la i -ésima columna de Q. Entonces, debido a que las columnas de Q son linealmente independientes, Q es invertible. Multiplicando por la derecha ambos lados de la ecuación por Q ⁻¹ , o bien multiplicando por la izquierda ambos lados por Q ⁻¹ , A puede descomponerse en una matriz compuesta por sus vectores propios, una matriz diagonal con sus valores propios a lo largo de la diagonal y la inversa de la matriz de vectores propios. Esto se denomina descomposición en valores propios ; es una transformación de semejanza . Se dice que dicha matriz A es similar a la matriz diagonal Λ , o diagonalizable . La matriz Q es la matriz de cambio de base de la transformación de semejanza. Esencialmente, las matrices A y Λ representan la misma transformación lineal expresada en dos bases diferentes. Los vectores propios se utilizan como base al representar la transformación lineal como Λ . $${\displaystyle AQ=Q\varLambda .}$$$${\displaystyle A=Q\varLambda Q^{-1};}$$$${\displaystyle Q^{-1}AQ=\varLambda .}$$

Por el contrario, supongamos que una matriz A es diagonalizable. Sea P una matriz cuadrada no singular tal que P ⁻¹ AP es alguna matriz diagonal D. Multiplicando por la izquierda ambas por P se obtiene AP = PD . Por lo tanto, cada columna de P debe ser un vector propio de A cuyo valor propio es el elemento diagonal correspondiente de D. Dado que las columnas de P deben ser linealmente independientes para que P sea invertible, existen n vectores propios linealmente independientes de A.

En conclusión, los autovectores de ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ forman una base de ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ si y solo si ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ es diagonalizable.

Una matriz que no es diagonalizable se denomina defectuosa . Para matrices defectuosas, la noción de autovectores se generaliza a autovectores generalizados y la matriz diagonal de autovalores se generaliza a la forma normal de Jordan . Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, cualquier matriz A tiene una forma normal de Jordan y, por lo tanto, admite una base de autovectores generalizados y una descomposición en autoespacios generalizados .

En el caso hermitiano , los autovalores pueden caracterizarse variacionalmente. El mayor autovalor de H es el valor máximo de la forma cuadrática x ^T H x / x ^T x . Un valor de x que alcanza ese máximo es un autovector.

Consideremos la matriz La figura de la derecha muestra el efecto de esta transformación en las coordenadas de los puntos en el plano. Los autovectores v de esta transformación satisfacen la ecuación ( 1 ), y los valores de λ para los cuales el determinante de la matriz ( A − λI ) es igual a cero son los autovalores. $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.}$$

Tomando el determinante para hallar el polinomio característico de A , igualando el polinomio característico a cero, tiene raíces en λ = 1 y λ = 3 , que son los dos autovalores de A.$${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A-\lambda I)&=\left|{\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}\\[6pt]&=3-4\lambda +\lambda ^{2}\\[6pt]&=(\lambda -3)(\lambda -1).\end{aligned}}}$$

Para λ = 1 , la ecuación ( 2 ) se convierte en: Cualquier vector no nulo con v ₁ = − v ₂ resuelve esta ecuación. Por lo tanto, es un vector propio de A correspondiente a λ = 1 , al igual que cualquier múltiplo escalar de este vector. $${\displaystyle {\begin{aligned}(A-I)\mathbf {v} _{\lambda =1}&={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}\\1v_{1}+1v_{2}&=0\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}v_{1}\\-v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}}$$

Para λ = 3 , la ecuación ( 2 ) se convierte en Cualquier vector no nulo con v ₁ = v ₂ resuelve esta ecuación. Por lo tanto, es un vector propio de A correspondiente a λ = 3 , al igual que cualquier múltiplo escalar de este vector. Así, los vectores v _{λ =1} y v _{λ =3} son vectores propios de A asociados con los valores propios λ = 1 y λ = 3 , respectivamente. $${\displaystyle {\begin{aligned}(A-3I)\mathbf {v} _{\lambda =3}&={\begin{bmatrix}-1&{\hphantom {-}}1\\{\hphantom {-}}1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}\\-1v_{1}+1v_{2}&=0;\\1v_{1}-1v_{2}&=0\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$$

Consideremos la matriz El polinomio característico de A es $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0&0\\0&3&4\\0&4&9\end{bmatrix}}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A-\lambda I)&=\left|{\begin{bmatrix}2&0&0\\0&3&4\\0&4&9\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &0&0\\0&3-\lambda &4\\0&4&9-\lambda \end{vmatrix}},\\[6pt]&=(2-\lambda ){\bigl [}(3-\lambda )(9-\lambda )-16{\bigr ]}=-\lambda ^{3}+14\lambda ^{2}-35\lambda +22.\end{aligned}}}$$

Las raíces del polinomio característico son 2, 1 y 11, que son los únicos tres autovalores de A. Estos autovalores corresponden a los autovectores [1 0 0] ^T , [0 −2 1] ^T y [0 1 2] ^T , o cualquier múltiplo distinto de cero de los mismos.

Consideremos la matriz de permutación cíclica.$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}.}$$

Esta matriz desplaza las coordenadas del vector una posición hacia arriba y mueve la primera coordenada hacia abajo. Su polinomio característico es 1 − λ ³ , cuyas raíces son donde i es una unidad imaginaria con i ² = −1 . $${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=1\\\lambda _{2}&=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\lambda _{3}&=\lambda _{2}^{*}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{aligned}}}$$

Para el valor propio real λ ₁ = 1 , cualquier vector con tres entradas no nulas iguales es un vector propio. Por ejemplo, $${\displaystyle A{\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}.}$$

Para el par conjugado complejo de autovalores imaginarios, entonces y $${\displaystyle \lambda _{2}\lambda _{3}=1,\quad \lambda _{2}^{2}=\lambda _{3},\quad \lambda _{3}^{2}=\lambda _{2}.}$$$${\displaystyle A{\begin{bmatrix}1\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{2}\\\lambda _{3}\\1\end{bmatrix}}=\lambda _{2}\cdot {\begin{bmatrix}1\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle A{\begin{bmatrix}1\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{3}\\\lambda _{2}\\1\end{bmatrix}}=\lambda _{3}\cdot {\begin{bmatrix}1\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.}$$

Por lo tanto, los otros dos autovectores de A son complejos y son v _{λ 2} = [1 λ ₂ λ ₃ ] ^T y v _{λ 3} = [1 λ ₃ λ ₂ ] ^T con autovalores λ ₂ y λ ₃ , respectivamente. Los dos autovectores complejos también aparecen en un par conjugado complejo, $${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda _{2}}=\mathbf {v} _{\lambda _{3}}^{*}.}$$

Las matrices con entradas solo en la diagonal principal se llaman matrices diagonales . Los valores propios de una matriz diagonal son los elementos diagonales mismos. Consideremos la matriz El polinomio característico de A es que tiene las raíces λ ₁ = 1 , λ ₂ = 2 , y λ ₃ = 3 . Estas raíces son los elementos diagonales así como los valores propios de  A . $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}}.}$$$${\displaystyle \det(A-\lambda I)=(1-\lambda )(2-\lambda )(3-\lambda ),}$$

Cada elemento diagonal corresponde a un vector propio cuya única componente no nula se encuentra en la misma fila que dicho elemento diagonal. En el ejemplo, los valores propios corresponden a los vectores propios, respectivamente, así como a los múltiplos escalares de estos vectores. $${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda _{1}}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},}$$

Una matriz cuyos elementos por encima de la diagonal principal son todos cero se denomina matriz triangular inferior , mientras que una matriz cuyos elementos por debajo de la diagonal principal son todos cero se denomina matriz triangular superior . Al igual que con las matrices diagonales, los valores propios de las matrices triangulares son los elementos de la diagonal principal.

Consideremos la matriz triangular inferior, $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&0\\1&2&0\\2&3&3\end{bmatrix}}.}$$

El polinomio característico de A es que tiene las raíces λ ₁ = 1 , λ ₂ = 2 , y λ ₃ = 3 . Estas raíces son los elementos diagonales así como los valores propios de  A . $${\displaystyle \det(A-\lambda I)=(1-\lambda )(2-\lambda )(3-\lambda ),}$$

Estos valores propios corresponden a los vectores propios, respectivamente, así como a los múltiplos escalares de estos vectores. $${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda _{1}}={\begin{bmatrix}1\\-1\\{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}0\\1\\-3\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},}$$

Como en el ejemplo anterior, la matriz triangular inferior tiene un polinomio característico que es el producto de sus elementos diagonales, $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0&0&0\\1&2&0&0\\0&1&3&0\\0&0&1&3\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle \det(A-\lambda I)={\begin{vmatrix}2-\lambda &0&0&0\\1&2-\lambda &0&0\\0&1&3-\lambda &0\\0&0&1&3-\lambda \end{vmatrix}}=(2-\lambda )^{2}(3-\lambda )^{2}.}$$

Las raíces de este polinomio, y por lo tanto los autovalores, son 2 y 3. La multiplicidad algebraica de cada autovalor es 2; en otras palabras, ambos son raíces dobles. La suma de las multiplicidades algebraicas de todos los autovalores distintos es μ A ₌ 4 = n , el orden del polinomio característico y la dimensión de A.

Por otro lado, la multiplicidad geométrica del autovalor 2 es solo 1, ya que su autoespacio está generado por un único vector [0 1 −1 1] ^T y, por lo tanto, es unidimensional. De manera similar, la multiplicidad geométrica del autovalor 3 es 1 porque su autoespacio está generado por un único vector [0 0 0 1] ^T. La multiplicidad geométrica total γ _A es 2, que es la mínima posible para una matriz con dos autovalores distintos. Las multiplicidades geométricas se definen en una sección posterior.

Para una matriz hermitiana A , la norma al cuadrado de la α -ésima componente de un vector propio normalizado se puede calcular utilizando únicamente los valores propios de la matriz y los valores propios de la matriz menor correspondiente , donde ⁠ ⁠ es la submatriz formada al eliminar la fila y columna α -ésimas de la matriz original. ^{[ 33 ] [ 34 ]} Esta identidad también se extiende a matrices diagonalizables . Se descubrió en ^{[ 35 ]} y se redescubrió muchas veces en la literatura (véase, por ejemplo, ^{[ 34 ] [ 36 ]} ). $${\displaystyle |v_{i\alpha }|^{2}={\frac {\prod _{k}{(\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A_{\alpha }))}}{\prod _{k\neq i}{(\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A))}}},}$$${\displaystyle A_{\alpha }}$

Las definiciones de autovalor y autovectores de una transformación lineal T siguen siendo válidas incluso si el espacio vectorial subyacente es un espacio de Hilbert o Banach de dimensión infinita . Una clase ampliamente utilizada de transformaciones lineales que actúan sobre espacios de dimensión infinita son los operadores diferenciales sobre espacios de funciones . Sea D un operador diferencial lineal sobre el espacio de funciones reales infinitamente diferenciables de un argumento real t . La ecuación de autovalores para D es la ecuación diferencial Las funciones que satisfacen esta ecuación son autovectores de D y se denominan comúnmente autofunciones . ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$$${\displaystyle Df(t)=\lambda f(t)}$$

Consideremos el operador de derivada con ecuación de autovalores. Esta ecuación diferencial se puede resolver multiplicando ambos lados por dt / f ( t ) e integrando . Su solución, la función exponencial , es la autofunción del operador de derivada. En este caso, la autofunción es a su vez una función de su autovalor asociado. En particular, para λ = 0, la autofunción f ( t ) es constante. ${\displaystyle {\tfrac {d}{dt}}}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(t)=\lambda f(t).}$$$${\displaystyle f(t)=f(0)e^{\lambda t},}$$

El concepto de autovalores y autovectores se extiende naturalmente a transformaciones lineales arbitrarias en espacios vectoriales arbitrarios. Sea V un espacio vectorial cualquiera sobre algún cuerpo K de escalares , y sea T una transformación lineal que mapea V en V , $${\displaystyle T\colon V\to V.}$$

Decimos que un vector no nulo v ∈ V es un vector propio de T si y solo si existe un escalar λ ∈ K tal que

Esta ecuación se denomina ecuación de autovalores para T , y el escalar λ es el autovalor de T correspondiente al autovector v . T ( v ) es el resultado ^de aplicar la transformación T al vector v , mientras que λv es el producto del escalar λ con v . ^{[ 37 ]} [ ^{38 ]}

Dado un valor propio λ , consideremos el conjunto que es la unión del vector cero con el conjunto de todos los vectores propios asociados con  λ . E se llama espacio propio o espacio característico de T asociado con  λ . ^{[ 39 ]} Es el núcleo de la transformación lineal T − λI . $${\displaystyle E=\left\{\mathbf {v} :T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} \right\},}$$

Por definición de una transformación lineal, para x , y ∈ V y α ∈ K. Por lo tanto, si u y v son autovectores de T asociados con el autovalor λ , es decir u , v ∈ E , entonces Por lo tanto, tanto u + v como αv son o bien cero o autovectores de T asociados con λ , es decir u + v , αv ∈ E , y E es cerrado bajo la suma y la multiplicación escalar. El autoespacio ^E asociado con λ es , por lo tanto , un subespacio lineal de V. ^{[ 40 ]} Si ese subespacio tiene dimensión 1, a veces se le llama autolínea . [ ^{41 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}T(\mathbf {x} +\mathbf {y} )&=T(\mathbf {x} )+T(\mathbf {y} ),\\T(\alpha \mathbf {x} )&=\alpha T(\mathbf {x} ),\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )&=\lambda (\mathbf {u} +\mathbf {v} ),\\T(\alpha \mathbf {v} )&=\lambda (\alpha \mathbf {v} ).\end{aligned}}}$$

La multiplicidad geométrica γ _T ( λ ) de un valor propio λ es la dimensión del espacio propio asociado con λ , es decir, el número máximo de vectores propios linealmente independientes asociados con ese valor propio. ^{[ 42 ]} Por definición de valores propios y vectores propios, γ _T ( λ ) ≥ 1 porque cada valor propio tiene al menos un vector propio.

Los autoespacios de T siempre forman una suma directa . En consecuencia, los autovectores de diferentes autovalores son siempre linealmente independientes. Por lo tanto, la suma de las dimensiones de los autoespacios no puede exceder la dimensión n del espacio vectorial sobre el que opera T , y no puede haber más de n autovalores distintos. ^{[ d ]}

Cualquier subespacio generado por los autovectores de T es un subespacio invariante de T , y la restricción de T a dicho subespacio es diagonalizable. Además, si todo el espacio vectorial V puede ser generado por los autovectores de T , o equivalentemente, si la suma directa de los autoespacios asociados a todos los autovalores de T es todo el espacio vectorial V , entonces se puede formar una base de V , denominada autobase , a partir de autovectores linealmente independientes de T. Cuando T admite una autobase, T es diagonalizable.

Si λ es un valor propio de T , entonces el operador ( T − λI ) no es biyectivo y, por lo tanto, su inverso ( T − λI ) ⁻¹ no existe. Lo contrario es cierto para espacios vectoriales de dimensión finita, pero no para espacios vectoriales de dimensión infinita. En general, el operador ( T − λI ) puede no tener inverso incluso si λ no es un valor propio.

Por esta razón, en el análisis funcional , los autovalores pueden generalizarse al espectro de un operador lineal T como el conjunto de todos los escalares λ para los cuales el operador ( T − λI ) no tiene inverso acotado . El espectro de un operador siempre contiene todos sus autovalores, pero no se limita a ellos.

Se puede generalizar el objeto algebraico que actúa sobre el espacio vectorial, reemplazando un operador individual que actúa sobre dicho espacio por una representación algebraica  : un álgebra asociativa que actúa sobre un módulo . El estudio de tales acciones constituye el campo de la teoría de la representación .

El concepto de peso, propio de la teoría de la representación, es análogo a los valores propios, mientras que los vectores de peso y los espacios de peso son análogos a los vectores propios y los espacios propios, respectivamente.

El haz propio de Hecke es un tensor múltiplo de sí mismo y se considera en la correspondencia de Langlands .

The simplest difference equations have the form $${\displaystyle x_{t}=a_{1}x_{t-1}+a_{2}x_{t-2}+\cdots +a_{k}x_{t-k}.}$$ The solution of this equation for x in terms of t is found by using its characteristic equation $${\displaystyle \lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0,}$$ which can be found by stacking into matrix form a set of equations consisting of the above difference equation and the k – 1 equations x_t–1 = x_t–1, ..., x_t–k+1 = x_t–k+1, giving a k-dimensional system of the first order in the stacked variable vector [x_t  ⋅⋅⋅  x_t–k+1] in terms of its once-lagged value, and taking the characteristic equation of this system's matrix. This equation gives k characteristic roots λ₁, ... , λ_k, for use in the solution equation $${\displaystyle x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{k}\lambda _{k}^{t}.}$$

A similar procedure is used for solving a differential equation of the form $${\displaystyle {\frac {d^{k}x}{dt^{k}}}+a_{k-1}{\frac {d^{k-1}x}{dt^{k-1}}}+\cdots +a_{1}{\frac {dx}{dt}}+a_{0}x=0.}$$

The calculation of eigenvalues and eigenvectors is a topic where theory, as presented in elementary linear algebra textbooks, is often very far from practice.

The classical method is to first find the eigenvalues, and then calculate the eigenvectors for each eigenvalue. It is in several ways poorly suited for non-exact arithmetics such as floating-point.

The eigenvalues of a matrix A can be determined by finding the roots of the characteristic polynomial. This is easy for 2 × 2 matrices, but the difficulty increases rapidly with the size of the matrix.

In theory, the coefficients of the characteristic polynomial can be computed exactly, since they are sums of products of matrix elements; and there are algorithms that can find all the roots of a polynomial of arbitrary degree to any required accuracy.^[43] However, this approach is not viable in practice because the coefficients would be contaminated by unavoidable round-off errors, and the roots of a polynomial can be an extremely sensitive function of the coefficients (as exemplified by Wilkinson's polynomial).^[43] Even for matrices whose elements are integers the calculation becomes nontrivial, because the sums are very long; the constant term is the determinant, which for an n × n matrix is a sum of n! different products.^[e]

Explicit algebraic formulas for the roots of a polynomial exist only if the degree n is 4 or less. According to the Abel–Ruffini theorem there is no general, explicit and exact algebraic formula for the roots of a polynomial with degree 5 or more. (Generality matters because any polynomial with degree n is the characteristic polynomial of some companion matrix of order n.) Therefore, for matrices of order 5 or more, the eigenvalues and eigenvectors cannot be obtained by an explicit algebraic formula, and must therefore be computed by approximate numerical methods. Even the exact formula for the roots of a degree 3 polynomial is numerically impractical.

Once the (exact) value of an eigenvalue is known, the corresponding eigenvectors can be found by finding nonzero solutions of the eigenvalue equation, that becomes a system of linear equations with known coefficients. For example, once it is known that 6 is an eigenvalue of the matrix $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}4&1\\6&3\end{bmatrix}}}$$ we can find its eigenvectors by solving the equation Av = 6v, that is $${\displaystyle {\begin{bmatrix}4&1\\6&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=6\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$ This matrix equation is equivalent to two linear equations$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}4x+{\hphantom {3}}y&=6x\\6x+3y&=6y\end{aligned}}\right.}$$ that is, $${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}-2x+{\hphantom {3}}y&=0\\6x-3y&=0\end{aligned}}\right.}$$

Both equations reduce to the single linear equation y = 2x. Therefore, any vector of the form [a  2a]^T, for any nonzero real number a, is an eigenvector of A with eigenvalue λ = 6.

La matriz A anterior tiene otro valor propio λ = 1. Un cálculo similar muestra que los vectores propios correspondientes son las soluciones no nulas de 3 x + y = 0 , es decir, cualquier vector de la forma [ b   −3 b ] ^T , para cualquier número real no nulo b .

El enfoque inverso, que consiste en buscar primero los autovectores y luego determinar cada autovalor a partir de su autovector, resulta ser mucho más manejable para las computadoras. El algoritmo más sencillo consiste en elegir un vector inicial arbitrario y luego multiplicarlo repetidamente por la matriz (opcionalmente normalizando el vector para mantener sus elementos de tamaño razonable); esto hace que el vector converja hacia un autovector. Una variación consiste en multiplicar el vector por ( A − μI ) ⁻¹ ; esto hace que converja a un autovector del autovalor más cercano a .${\displaystyle \mu \in \mathbb {C} }$

Si v es (una buena aproximación de) un vector propio de A , entonces el valor propio correspondiente se puede calcular como donde v ^∗ denota la transpuesta conjugada de v . $${\displaystyle \lambda ={\frac {\mathbf {v} ^{*}A\mathbf {v} }{\mathbf {v} ^{*}\mathbf {v} }}}$$

Hasta que se diseñó el algoritmo QR en 1961 , no se conocían métodos eficientes y precisos para calcular los autovalores y autovectores de matrices arbitrarias. ^{[ 43 ]} La combinación de la transformación de Householder con la descomposición LU da como resultado un algoritmo con mejor convergencia que el algoritmo QR. Para matrices dispersas hermíticas grandes , el algoritmo de Lanczos es un ejemplo de un método iterativo eficiente para calcular los autovalores y autovectores, entre otras posibilidades. ^{[ 43 ]}

La mayoría de los métodos numéricos que calculan los valores propios de una matriz también determinan un conjunto de vectores propios correspondientes como resultado secundario del cálculo, aunque a veces quienes los implementan optan por descartar la información de los vectores propios tan pronto como ya no sea necesaria.

Los autovectores y autovalores pueden ser útiles para comprender las transformaciones lineales de figuras geométricas. La siguiente tabla presenta algunos ejemplos de transformaciones en el plano junto con sus matrices de 2 × 2 , autovalores y autovectores.

La ecuación característica de una rotación es una ecuación cuadrática con discriminante D = −4(sin θ ) ² , que es un número negativo siempre que θ no sea un múltiplo entero de π (180°). Por lo tanto, salvo en estos casos especiales, los dos autovalores son números complejos, cos θ ± i sin θ ; y todos los autovectores tienen entradas no reales. En efecto, salvo en esos casos especiales, una rotación cambia la dirección de todo vector distinto de cero en el plano.

Una transformación lineal que convierte un cuadrado en un rectángulo de la misma área (una transformación de compresión ) tiene valores propios recíprocos.

La descomposición en valores propios de una matriz simétrica semidefinida positiva (PSD) produce una base ortogonal de vectores propios, cada uno con un valor propio no negativo. La descomposición ortogonal de una matriz PSD se utiliza en el análisis multivariante , donde las matrices de covarianza muestrales son PSD. Esta descomposición ortogonal se denomina análisis de componentes principales (ACP) en estadística. El ACP estudia las relaciones lineales entre variables. El ACP se realiza sobre la matriz de covarianza o la matriz de correlación (en la que cada variable se escala para que su varianza muestral sea igual a uno). Para la matriz de covarianza o correlación, los vectores propios corresponden a los componentes principales y los valores propios a la varianza explicada por los componentes principales. El análisis de componentes principales de la matriz de correlación proporciona una base ortogonal para el espacio de los datos observados: en esta base, los valores propios más grandes corresponden a los componentes principales que están asociados con la mayor parte de la covariabilidad entre varios datos observados.

El análisis de componentes principales se utiliza como método de reducción de dimensionalidad en el estudio de grandes conjuntos de datos , como los que se encuentran en bioinformática . En la metodología Q , los autovalores de la matriz de correlación determinan el criterio del metodólogo Q sobre la significación práctica (que difiere de la significación estadística de la prueba de hipótesis ; véase criterios para determinar el número de factores ). De forma más general, el análisis de componentes principales puede utilizarse como método de análisis factorial en el modelado de ecuaciones estructurales .

En la teoría espectral de grafos , un autovalor de un grafo se define como un autovalor de la matriz de adyacencia del grafo A , o (de forma creciente) de la matriz laplaciana del grafo debido a su operador laplaciano discreto , que es D − A (a veces llamado laplaciano combinatorio ) o I − D ^−1/2 AD ^−1/2 (a veces llamado laplaciano normalizado ), donde D es una matriz diagonal con D _ii igual al grado del vértice v _i , y en D ^−1/2 , la i -ésima entrada diagonal es . El k -ésimo autovector principal de un grafo se define como el autovector correspondiente al k -ésimo autovalor más grande o al k -ésimo autovalor más pequeño del laplaciano. El primer autovector principal del grafo también se denomina simplemente autovector principal. ${\textstyle 1/{\sqrt {\deg(v_{i})}}}$

El vector propio principal se utiliza para medir la centralidad de sus vértices. Un ejemplo es el algoritmo PageRank de Google . El vector propio principal de una matriz de adyacencia modificada del grafo de la World Wide Web proporciona los PageRank como sus componentes. Este vector corresponde a la distribución estacionaria de la cadena de Markov representada por la matriz de adyacencia normalizada por filas; sin embargo, la matriz de adyacencia debe modificarse previamente para garantizar la existencia de una distribución estacionaria. El segundo vector propio más pequeño puede utilizarse para particionar el grafo en clústeres mediante agrupamiento espectral . También existen otros métodos para el agrupamiento.

Una cadena de Markov se representa mediante una matriz cuyas entradas son las probabilidades de transición entre los estados de un sistema. En particular, las entradas son no negativas y la suma de cada fila de la matriz es igual a uno, siendo esta la suma de las probabilidades de transición de un estado a otro del sistema. El teorema de Perron-Frobenius proporciona condiciones suficientes para que una cadena de Markov tenga un único valor propio dominante, que determina la convergencia del sistema a un estado estacionario.

Los problemas de valores propios ocurren naturalmente en el análisis de vibraciones de estructuras mecánicas con muchos grados de libertad . Los valores propios son las frecuencias naturales (o autofrecuencias ) de vibración, y los vectores propios son las formas de estos modos de vibración. En particular, la vibración no amortiguada se rige por o $${\displaystyle m{\ddot {x}}+kx=0}$$$${\displaystyle m{\ddot {x}}=-kx}$$

Es decir, la aceleración es proporcional a la posición (es decir, esperamos que x sea sinusoidal en el tiempo).

En n dimensiones, m se convierte en una matriz de masa y k en una matriz de rigidez . Las soluciones admisibles son entonces una combinación lineal de soluciones al problema generalizado de valores propios donde ω ² es el valor propio y ω es la frecuencia angular (imaginaria). Los modos de vibración principales son diferentes de los modos de compliancia principales, que son los vectores propios de k solamente. Además, la vibración amortiguada , gobernada por conduce a un llamado problema de valores propios cuadrático , Este puede reducirse a un problema generalizado de valores propios mediante manipulación algebraica a costa de resolver un sistema más grande. $${\displaystyle kx=\omega ^{2}mx}$$$${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0}$$$${\displaystyle \left(\omega ^{2}m+\omega c+k\right)x=0.}$$

Las propiedades de ortogonalidad de los autovectores permiten desacoplar las ecuaciones diferenciales, de modo que el sistema puede representarse como una suma lineal de los autovectores. El problema de autovalores de estructuras complejas se suele resolver mediante análisis de elementos finitos , pero generaliza con precisión la solución a problemas de vibración escalares.

En mecánica , los autovectores del tensor de momento de inercia definen los ejes principales de un cuerpo rígido . El tensor de momento de inercia es una magnitud clave necesaria para determinar la rotación de un cuerpo rígido alrededor de su centro de masa .

En mecánica de sólidos , el tensor de tensiones es simétrico y, por lo tanto, puede descomponerse en un tensor diagonal con los autovalores en la diagonal y los autovectores como base. Debido a su simetría diagonal, en esta orientación, el tensor de tensiones no tiene componentes de cizallamiento ; las únicas que tiene son las componentes principales.

Un ejemplo de una ecuación de autovalores donde la transformación T se representa en términos de un operador diferencial es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en mecánica cuántica : donde el hamiltoniano H es un operador diferencial de segundo orden , y la función de onda ψ _E es una de sus autofunciones correspondiente al autovalor E , interpretado como su energía . $${\displaystyle H\psi _{E}=E\psi _{E}}$$

Sin embargo, cuando solo interesan las soluciones de estado ligado de la ecuación de Schrödinger, se busca ψ _E dentro del espacio de funciones de cuadrado integrable . Dado que este espacio es un espacio de Hilbert con un producto escalar bien definido , se puede introducir un conjunto base en el que ψ _E y H se pueden representar como un vector unidimensional y una matriz, respectivamente. Esto permite representar la ecuación de Schrödinger en forma matricial.

La notación bra-ket se usa frecuentemente en este contexto. Un vector, que representa un estado del sistema, en el espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable se representa por |Ψ _E ⟩ . En esta notación, la ecuación de Schrödinger es: donde |Ψ _E ⟩ es un autoestado de H , y E representa el autovalor. H es un operador autoadjunto observable , el análogo de dimensión infinita de las matrices hermíticas. Como en el caso de la matriz, en la ecuación anterior H |Ψ _E ⟩ se entiende como el vector obtenido al aplicar la transformación H a |Ψ _E ⟩ . $${\displaystyle H|\Psi _{E}\rangle =E|\Psi _{E}\rangle }$$

La luz , las ondas acústicas y las microondas se dispersan aleatoriamente numerosas veces al atravesar un sistema desordenado estático . Aunque la dispersión múltiple aleatoriza repetidamente las ondas, en última instancia el transporte coherente de ondas a través del sistema es un proceso determinista que puede describirse mediante una matriz de transmisión de campo t . ^{[ 44 ] [ 45 ]} Los autovectores del operador de transmisión t ^† t forman un conjunto de frentes de onda de entrada específicos del desorden que permiten que las ondas se acoplen a los autocanales del sistema desordenado: las vías independientes que las ondas pueden recorrer a través del sistema. Los autovalores, τ , de t ^† t corresponden a la transmitancia de intensidad asociada con cada autocanal. Una de las propiedades notables del operador de transmisión de los sistemas difusivos es su distribución bimodal de autovalores con τ _max = 1 y τ _min = 0 . ^{[ 45 ]} Además, una de las propiedades más llamativas de los eigencanales abiertos, más allá de la transmitancia perfecta, es el perfil espacial estadísticamente robusto de los eigencanales. ^{[ 46 ]}