Centralidad de vector propio

En teoría de grafos , la centralidad de vector propio (también llamada centralidad de vector propio o puntuación de prestigio ^{[ 1 ]} ) es una medida de la influencia de un nodo en una red conectada . Se asignan puntuaciones relativas a todos los nodos de la red basándose en el concepto de que las conexiones a nodos con puntuaciones altas contribuyen más a la puntuación del nodo en cuestión que las conexiones iguales a nodos con puntuaciones bajas. Una puntuación de vector propio alta significa que un nodo está conectado a muchos nodos que, a su vez, tienen puntuaciones altas. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

El PageRank de Google y la centralidad de Katz son variantes de la centralidad de vector propio. ^{[ 4 ]}

Para un gráfico dado${\displaystyle G:=(V,E)}$con${\displaystyle |V|}$vértices deje${\displaystyle A=(a_{v,t})}$sea ​​la matriz de adyacencia , es decir${\displaystyle a_{v,t}=1}$si vértice${\displaystyle v}$está vinculado al vértice${\displaystyle t}$, y${\displaystyle a_{v,t}=0}$de lo contrario. La puntuación de centralidad relativa,${\displaystyle x_{v}}$, de vértice${\displaystyle v}$se puede definir como:

${\displaystyle x_{v}={\frac {1}{\lambda }}\sum _{t\in M(v)}x_{t}={\frac {1}{\lambda }}\sum _{t\in V}a_{v,t}x_{t}}$

dónde${\displaystyle M(v)}$es el conjunto de vecinos de${\displaystyle v}$y${\displaystyle \lambda }$es una constante. Con una pequeña reordenación, esto se puede reescribir en notación vectorial como la ecuación del vector propio .

${\displaystyle \mathbf {Ax} =\lambda \mathbf {x} }$

En general, habrá muchos valores propios diferentes.${\displaystyle \lambda }$para la cual existe una solución de vector propio no nulo. Sin embargo, la suposición de conectividad y el requisito adicional de que todas las entradas en el vector propio sean no negativas implican (por el teorema de Perron-Frobenius ) que solo el mayor valor propio resulta en la medida de centralidad deseada. ^{[ 5 ]} El${\displaystyle v^{\text{th}}}$El componente del vector propio relacionado proporciona entonces la puntuación de centralidad relativa del vértice.${\displaystyle v}$en la red. El vector propio solo está definido hasta un factor común, por lo que solo las razones de las centralidades de los vértices están bien definidas. Para definir una puntuación absoluta, se debe normalizar el vector propio eg de manera que la suma sobre todos los vértices sea 1 o el número total de vértices n . La iteración de potencia es uno de los muchos algoritmos de valores propios que se pueden utilizar para encontrar este vector propio dominante. ^{[ 4 ]} Además, esto se puede generalizar de manera que las entradas en A puedan ser números reales que representen las fuerzas de conexión, como en una matriz estocástica . 

El PageRank de Google se basa en la centralidad de vector propio normalizada, o prestigio normalizado, combinado con una suposición de salto aleatorio. ^{[ 1 ]} El PageRank de un nodo${\displaystyle v}$tiene una dependencia recursiva del PageRank de otros nodos que apuntan a él. La matriz de adyacencia normalizada${\displaystyle N}$se define como:$${\displaystyle N(u,v)={\begin{cases}{1 \over \operatorname {od} (u)},&{\text{if }}(u,v)\in E\\0,&{\text{if }}(u,v)\not \in E\end{cases}}}$$dónde${\displaystyle od(u)}$es el grado de salida del nodo${\displaystyle u}$, o en forma vectorial:

${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {diag} (\mathbf {Ae} )^{-1}\mathbf {A} }$,

dónde${\displaystyle \mathbf {e} }$es el vector de unos, y${\displaystyle \mathbf {diag} (\mathbf {x} )}$es la matriz diagonal del vector${\displaystyle \mathbf {x} }$. ${\displaystyle \mathbf {N} }$es una matriz estocástica por filas.

La puntuación de prestigio del vector propio normalizado se define como:

${\displaystyle p(v)=\sum _{u}{N^{T}(v,u)\cdot p(u)},}$

o en forma vectorial,

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {N} ^{T}\mathbf {p} .}$

La centralidad de vector propio es una medida de la influencia que un nodo tiene en una red. Si un nodo es señalado por muchos nodos (que también tienen una alta centralidad de vector propio), entonces ese nodo tendrá una alta centralidad de vector propio. ^{[ 6 ]}

El primer uso de la centralidad de vector propio se remonta a Edmund Landau en un artículo de 1895 sobre la puntuación de torneos de ajedrez. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Más recientemente, investigadores de diversos campos han analizado aplicaciones, manifestaciones y extensiones de la centralidad de vector propio en una variedad de dominios:

• La centralidad de vector propio es la única medida que satisface ciertos axiomas naturales para un sistema de clasificación. ^{[ 9 ] [ 10 ]}
• En neurociencia , se ha encontrado que la centralidad del vector propio de una neurona en una red neuronal modelo se correlaciona con su tasa de disparo relativa. ^{[ 6 ]}
• La centralidad de vector propio y conceptos relacionados se han utilizado para modelar la influencia de la opinión en sociología y economía, como en el modelo de aprendizaje de DeGroot .
• La definición de centralidad de vector propio se ha extendido a redes multiplex ^{[ 11 ]} y multicapa a través del concepto de versatilidad ^{[ 12 ].}
• En un estudio que utilizó datos de Filipinas, los investigadores demostraron cómo las familias de los candidatos políticos tenían una centralidad de vector propio desproporcionadamente alta en las redes de matrimonios mixtos locales. ^{[ 13 ]}
• La centralidad de vector propio se ha aplicado ampliamente para estudiar resultados económicos, incluida la cooperación en redes sociales. ^{[ 14 ]} En problemas de bienes públicos económicos , la centralidad de vector propio de una persona puede interpretarse como la medida en que las preferencias de esa persona influyen en un resultado social eficiente. ^{[ 15 ]}

• Centralidad