Algoritmo de valores propios

En el análisis numérico , uno de los problemas más importantes es el diseño de algoritmos eficientes y estables para hallar los valores propios de una matriz . Estos algoritmos de valores propios también pueden hallar los vectores propios.

Valores propios y vectores propios

Dada una matriz cuadrada $A de$ $n \times n$ de números reales o complejos , un valor propio $λ$ y su vector propio generalizado asociado $v$ son un par que obedece la relación ^[¹^].

\left(A-\lambda I\right)^{k}{\mathbf {v} }=0,

donde $v$ es un vector columna $n \times 1 distinto de cero,$ $I$ es la matriz identidad $n \times n$ , $k$ es un entero positivo, y tanto $λ$ como $v$ pueden ser complejos incluso cuando $A$ es real. Cuando $k$ $= 1$ , el vector se llama simplemente un vector propio , y el par se llama un par propio . En este caso, $A$ $v$ $=$ $λ$ $v$ . Cualquier valor propio $λ$ de $A$ tiene vectores propios ordinarios ^[^{nota 1}^] asociados a él, pues si $k$ es el entero más pequeño tal que $($ $A$ $-$ $λI$ $)$ $k$ $v$ $= 0$ para un vector propio generalizado $v$ , entonces $($ $A$ $-$ $λI$ $)$ $k$ $-1$ $v$ es un vector propio ordinario. El valor $k$ siempre puede tomarse como menor o igual que $n$ . En particular, $($ $A$ $-$ $λI$ $)$ $n$ $v$ $= 0$ para todos los vectores propios generalizados $v$ asociados con $λ$ .

Para cada autovalor $λ$ de $A$ , el núcleo $ker(A - λI)$ consta de todos los autovectores asociados con $λ$ (junto con 0), llamado autoespacio de $λ$ , mientras que el espacio vectorial $ker((A - λI) n)$ consta de todos los autovectores generalizados, y se denomina autoespacio generalizado . La multiplicidad geométrica de $λ$ es la dimensión de su autoespacio. La multiplicidad algebraica de $λ$ es la dimensión de su autoespacio generalizado. Esta última terminología se justifica mediante la ecuación

p_{A}\left(z\right)=\det \left(zI-A\right)=\prod _{i=1}^{k}(z-\lambda _{i})^{\alpha _{i}},

donde $det$ es la función determinante , los $λ i$ son todos los autovalores distintos de $A$ y los $α i$ son las multiplicidades algebraicas correspondientes. La función $p A (z)$ es el polinomio característico de $A.$ Por lo tanto, la multiplicidad algebraica es la multiplicidad del autovalor como cero del polinomio característico. Dado que cualquier autovector es también un autovector generalizado, la multiplicidad geométrica es menor o igual que la multiplicidad algebraica. Las multiplicidades algebraicas suman $n$ , el grado del polinomio característico. La ecuación $p A (z) = 0$ se llama ecuación característica , ya que sus raíces son exactamente los autovalores de $A.$ Por el teorema de Cayley-Hamilton , $A$ misma obedece la misma ecuación: $p A (A) = 0.$ [ ^{nota 2 ]} Como consecuencia, las columnas de la matriz ${\textstyle \prod _{i\neq j}(A-\lambda _{i}I)^{\alpha _{i}}}$ deben ser 0 o vectores propios generalizados del valor propio $λ j$ , ya que son aniquilados por $(A-\lambda _{j}I)^{\alpha _{j}}$ . De hecho, el espacio columna es el espacio propio generalizado de $λ j$ .

Cualquier conjunto de autovectores generalizados de autovalores distintos es linealmente independiente, por lo que se puede elegir una base para todos los $C n$ $que consista en autovectores generalizados. Más particularmente, esta base {v i} n i =1$ se puede elegir y organizar de manera que

Si $v i$ y $v j$ tienen el mismo valor propio, entonces también lo tiene $v k$ para cada $k$ entre $i$ y $j$ , y
Si $v i$ no es un vector propio ordinario, y si $λ i$ es su valor propio, entonces $(A - λ i I) v i = v i -1$ (en particular, $v 1$ debe ser un vector propio ordinario).

Si estos vectores base se colocan como vectores columna de una matriz $V = [v 1 v 2 \dots v n]$ , entonces $V$ se puede usar para convertir $A$ a su forma normal de Jordan :

V^{-1}AV={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&\beta _{1}&0&\ldots &0\\0&\lambda _{2}&\beta _{2}&\ldots &0\\0&0&\lambda _{3}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &\lambda _{n}\end{bmatrix}},

donde los $λ i$ son los valores propios, $β i = 1$ si $(A - λ i +1) v i +1 = v i$ y $β i = 0$ en caso contrario.

En términos más generales, si $W$ es cualquier matriz invertible y $λ$ es un valor propio de $A$ con vector propio generalizado $v$ , entonces $(W -1 AW - λI) k W - k v = 0.$ Por lo tanto , $λ$ es un valor propio de $W -1 AW$ con vector propio generalizado $W - k v$ . Es decir, matrices similares tienen los mismos valores propios.

Matrices normales, hermíticas y simétricas reales

El adjunto $M *$ de una matriz compleja $M$ es la transpuesta del conjugado de $M$ : $M * = M T$ . Una matriz cuadrada $A$ se llama normal si conmuta con su adjunto: $A * A = AA *$ . Se llama hermitiana si es igual a su adjunto: $A * = A$ . Todas las matrices hermitianas son normales. Si $A$ tiene solo elementos reales, entonces el adjunto es simplemente la transpuesta, y $A$ es hermitiana si y solo si es simétrica . Cuando se aplica a vectores columna, el adjunto se puede usar para definir el producto interno canónico en $C n$ : $w \cdot v = w * v$ . ^{[ nota 3 ]} Las matrices normales, hermitianas y simétricas reales tienen varias propiedades útiles:

Todo vector propio generalizado de una matriz normal es un vector propio ordinario.
Cualquier matriz normal es similar a una matriz diagonal, ya que su forma normal de Jordan es diagonal.
Los vectores propios de valores propios distintos de una matriz normal son ortogonales.
El espacio nulo y la imagen (o espacio columna) de una matriz normal son ortogonales entre sí.
Para cualquier matriz normal $A$ , $C n$ tiene una base ortonormal que consiste en vectores propios de $A.$ La matriz correspondiente de vectores propios es unitaria .
Los autovalores de una matriz hermitiana son reales, ya que $(λ - λ) v = (A * - A) v = (A - A) v = 0 para un autovector$ $v$ distinto de cero .
Si $A$ es real, existe una base ortonormal para $R n$ que consiste en vectores propios de $A$ si y solo si $A$ es simétrico.

Es posible que una matriz real o compleja tenga todos sus valores propios reales sin ser hermitiana. Por ejemplo, una matriz triangular real tiene sus valores propios en su diagonal, pero en general no es simétrica.

Número de condición

Cualquier problema de cálculo numérico puede verse como la evaluación de una función $f$ para una entrada $x$ . El número de condición $κ (f, x)$ del problema es la razón entre el error relativo en la salida de la función y el error relativo en la entrada, y varía con la función y la entrada. El número de condición describe cómo crece el error durante el cálculo. Su logaritmo en base 10 indica cuántos dígitos de precisión menos hay en el resultado que en la entrada. El número de condición es el mejor escenario posible. Refleja la inestabilidad inherente al problema, independientemente de cómo se resuelva. Ningún algoritmo puede producir resultados más precisos que los indicados por el número de condición, excepto por casualidad. Sin embargo, un algoritmo mal diseñado puede producir resultados significativamente peores. Por ejemplo, como se menciona más adelante, el problema de encontrar los autovalores de matrices normales siempre está bien condicionado. Sin embargo, el problema de encontrar las raíces de un polinomio puede estar muy mal condicionado . Por lo tanto, los algoritmos de valores propios que funcionan encontrando las raíces del polinomio característico pueden estar mal condicionados incluso cuando el problema no lo está.

Para el problema de resolver la ecuación lineal $A v = b$ donde $A$ es invertible, el número de condición matricial $κ (A -1, b)$ viene dado por $|| A || op || A -1 || op$ , donde || || _op es la norma del operador subordinada a la norma euclidiana normal en $C n$ . Dado que este número es independiente de $b$ y es el mismo para $A$ y $A -1$ , se suele llamar simplemente número de condición $κ (A)$ de la matriz $A$ . Este valor $κ (A)$ es también el valor absoluto de la razón entre el mayor valor singular de $A$ y el menor. Si $A$ es unitaria , entonces $|| A || op = || A -1 || op = 1$ , por lo que $κ (A) = 1$ . Para matrices generales, la norma del operador suele ser difícil de calcular. Por esta razón, se suelen utilizar otras normas matriciales para estimar el número de condición.

Para el problema de valores propios, Bauer y Fike demostraron que si $λ$ es un valor propio para una matriz diagonalizable $n \times n$ $A$ con matriz de vectores propios $V$ , entonces el error absoluto en el cálculo de $λ$ está acotado por el producto de $κ (V)$ y el error absoluto en $A$ . ^{[ 2 ]} Como resultado , el número de condición para encontrar $λ$ es $κ (λ, A) = κ (V) = || V || op || V -1 || op$ . Si $A$ es normal, entonces $V$ es unitaria, y $κ (λ, A) = 1$ . Por lo tanto, el problema de valores propios para todas las matrices normales está bien condicionado.

Se ha demostrado que el número de condición para el problema de hallar el espacio propio de una matriz normal $A$ correspondiente a un valor propio $λ es inversamente proporcional a la distancia mínima entre$ $λ$ y los demás valores propios distintos de $A.$ ^{[ 3 ]} En particular, el problema del espacio propio para matrices normales está bien condicionado para valores propios aislados . Cuando los valores propios no están aislados, lo mejor que se puede esperar es identificar el espacio generado por todos los vectores propios de valores propios cercanos.

Algoritmos

El algoritmo más fiable y más utilizado para calcular valores propios es el algoritmo QR de John GF Francis y Vera N. Kublanovskaya , considerado uno de los diez mejores algoritmos del siglo XX. ^[⁴^]

Cualquier polinomio mónico es el polinomio característico de su matriz compañera . Por lo tanto, un algoritmo general para hallar valores propios también podría utilizarse para hallar las raíces de los polinomios. El teorema de Abel-Ruffini demuestra que cualquier algoritmo de este tipo para dimensiones mayores que 4 debe ser infinito o implicar funciones de mayor complejidad que las operaciones aritméticas elementales y las potencias fraccionarias. Por esta razón, los algoritmos que calculan con exactitud los valores propios en un número finito de pasos solo existen para unas pocas clases especiales de matrices. Para matrices generales, los algoritmos son iterativos , lo que produce mejores soluciones aproximadas con cada iteración.

Algunos algoritmos generan todos los valores propios, otros generan algunos o solo uno. Sin embargo, incluso estos últimos pueden utilizarse para encontrar todos los valores propios. Una vez identificado un valor propio $λ$ de una matriz $A$ , este puede usarse para orientar el algoritmo hacia una solución diferente la próxima vez, o para reducir el problema a uno que ya no tenga $λ$ como solución.

La redirección se suele realizar mediante un desplazamiento: se reemplaza $A$ por $A - μI$ para alguna constante $μ$ . Al valor propio encontrado para $A - μI$ se le debe sumar $μ para obtener un valor propio para$ $A.$ Por ejemplo, para la iteración de potencia , $μ = λ$ . La iteración de potencia encuentra el mayor valor propio en valor absoluto, por lo que incluso cuando $λ$ es solo un valor propio aproximado, es poco probable que la iteración de potencia lo encuentre una segunda vez. Por el contrario, los métodos basados en la iteración inversa encuentran el valor propio más bajo, por lo que $μ$ se elige lejos de $λ$ y, con suerte, más cerca de algún otro valor propio.

La reducción se puede lograr restringiendo $A$ al espacio columna de la matriz $A - λI$ , que $A$ lleva consigo. Dado que $A - λI$ es singular, el espacio columna tiene menor dimensión. A continuación, se puede aplicar el algoritmo de autovalores a la matriz restringida. Este proceso se puede repetir hasta encontrar todos los autovalores.

Si un algoritmo de autovalores no produce autovectores, una práctica común es utilizar un algoritmo basado en iteración inversa con $μ$ establecido a una aproximación cercana al autovalor. Esto convergerá rápidamente al autovector del autovalor más cercano a $μ$ . Para matrices pequeñas, una alternativa es examinar el espacio columna del producto de $A - λ' I$ para cada uno de los otros autovalores $λ'$ .

Una fórmula para la norma de los componentes del vector propio unitario de matrices normales fue descubierta por Robert Thompson en 1966 y redescubierta independientemente por varios otros. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} Si $A$ es una ${\textstyle n\times n}$ matriz normal con valores propios $λ i (A)$ y vectores propios unitarios correspondientes $v i$ cuyas entradas componentes son $v i,j$ , sea $A j$ la ${\textstyle n-1\times n-1}$ matriz obtenida al eliminar la $i$ -ésima fila y columna de $A$ , y sea $λ k (A j)$ su $k$ -ésimo valor propio. Entonces $|v_{i,j}|^{2}\prod _{k=1,k\neq i}^{n}(\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A))=\prod _{k=1}^{n-1}(\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A_{j}))$

Si $p,p_{j}$ son los polinomios característicos de $A$ y $A_{j}$ , la fórmula se puede reescribir como $|v_{i,j}|^{2}={\frac {p_{j}(\lambda _{i}(A))}{p'(\lambda _{i}(A))}}$ suponiendo la derivada $p'$ no es cero en $\lambda _{i}(A)$ .

Matrices de Hessenberg y tridiagonales

Dado que los autovalores de una matriz triangular son sus elementos diagonales, para matrices generales no existe un método finito como la eliminación gaussiana para convertir una matriz a forma triangular conservando los autovalores. Sin embargo, es posible obtener una matriz cercana a la triangular. Una matriz de Hessenberg superior es una matriz cuadrada cuyos elementos por debajo de la subdiagonal son cero. Una matriz de Hessenberg inferior es aquella cuyos elementos por encima de la superdiagonal son cero. Las matrices que son tanto de Hessenberg superior como inferior son tridiagonales . Las matrices de Hessenberg y tridiagonales son el punto de partida de muchos algoritmos de autovalores, ya que los elementos cero reducen la complejidad del problema. Se utilizan varios métodos comúnmente para convertir una matriz general en una matriz de Hessenberg con los mismos autovalores. Si la matriz original era simétrica o hermitiana, la matriz resultante será tridiagonal.

Cuando solo se necesitan los valores propios, no es necesario calcular la matriz de similitud, ya que la matriz transformada tiene los mismos valores propios. Si también se necesitan los vectores propios, puede ser necesaria la matriz de similitud para transformar los vectores propios de la matriz de Hessenberg de nuevo en vectores propios de la matriz original.

Para problemas de valores propios tridiagonales simétricos, todos los valores propios (sin vectores propios) se pueden calcular numéricamente en tiempo O(n log(n)), utilizando la bisección en el polinomio característico. ^{[ 11 ]}

Algoritmos iterativos

Los algoritmos iterativos resuelven el problema de los valores propios generando secuencias que convergen a dichos valores. Algunos algoritmos también generan secuencias de vectores que convergen a los vectores propios. Generalmente, las secuencias de valores propios se expresan como secuencias de matrices de semejanza que convergen a una forma triangular o diagonal, lo que facilita la lectura de los valores propios. Las secuencias de vectores propios se expresan como las matrices de semejanza correspondientes.

Cálculo directo

Si bien no existe un algoritmo sencillo para calcular directamente los valores propios de matrices generales, existen numerosas clases especiales de matrices en las que se pueden calcular directamente los valores propios. Estas incluyen:

Matrices triangulares

Dado que el determinante de una matriz triangular es el producto de sus entradas diagonales, si T es triangular, entonces ${\textstyle \det(\lambda IT)=\prod _{i}(\lambda -T_{ii})}$ Por lo tanto, los valores propios de T son sus entradas diagonales.

Ecuaciones polinómicas factorizables

Si $p$ es un polinomio cualquiera y $p (A) = 0,$ entonces los autovalores de $A$ también satisfacen la misma ecuación. Si $p$ tiene una factorización conocida, entonces los autovalores de $A$ se encuentran entre sus raíces.

Por ejemplo, una proyección es una matriz cuadrada $P$ $que$ satisface $P² = P.$ Las raíces de la ecuación polinómica escalar correspondiente, $λ² = λ , son 0 y 1. Por lo tanto$ $,$ cualquier proyección tiene 0 y 1 como valores propios. La multiplicidad de 0 como valor propio es la nulidad de $P$ , mientras que la multiplicidad de 1 es el rango de $P.$

Otro ejemplo es una matriz $A$ que satisface $A 2 = α 2 I$ para algún escalar $α$ . Los autovalores deben ser $\pm α$ . Los operadores de proyección

P_{+}={\frac {1}{2}}\left(I+{\frac {A}{\alpha }}\right)

P_{-}={\frac {1}{2}}\left(I-{\frac {A}{\alpha }}\right)

satisfacer

AP_{+}=\alpha P_{+}\quad AP_{-}=-\alpha P_{-}

y

P_{+}P_{+}=P_{+}\quad P_{-}P_{-}=P_{-}\quad P_{+}P_{-}=P_{-}P_{+}=0.

Los espacios columna de $P +$ y $P -$ son los autoespacios de $A$ correspondientes a $+ α$ y $- α$ , respectivamente.

matrices de 2×2

Para dimensiones de 2 a 4, existen fórmulas que involucran radicales y que permiten hallar los valores propios. Si bien es una práctica común para matrices de 2×2 y 3×3, para matrices de 4×4 la creciente complejidad de las fórmulas de raíces hace que este método sea menos atractivo.

Para la matriz de 2×2

A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},

El polinomio característico es

\det {\begin{bmatrix}\lambda -a&-b\\-c&\lambda -d\end{bmatrix}}=\lambda ^{2}\,-\,\left(a+d\right)\lambda \,+\,\left(ad-bc\right)=\lambda ^{2}\,-\,\lambda \,{\rm {tr}}(A)\,+\,\det(A).

Por lo tanto, los valores propios se pueden encontrar utilizando la fórmula cuadrática :

\lambda ={\frac {{\rm {tr}}(A)\pm {\sqrt {{\rm {tr}}^{2}(A)-4\det(A)}}}{2}}.

Definición ${\textstyle {\rm {gap}}\left(A\right)={\sqrt {{\rm {tr}}^{2}(A)-4\det(A)}}}$ Para que sea la distancia entre los dos autovalores, es sencillo calcularlo.

{\frac {\partial \lambda }{\partial a}}={\frac {1}{2}}\left(1\pm {\frac {ad}{{\rm {gap}}(A)}}\right),\qquad {\frac {\partial \lambda }{\partial b}}={\frac {\pm c}{{\rm {gap}}(A)}}

con fórmulas similares para $c$ y $d$ . De esto se deduce que el cálculo está bien condicionado si los autovalores están aislados.

$Los$ autovectores se pueden encontrar aplicando el teorema de Cayley-Hamilton $.$ Si $λ₁ y λ₂$ son los autovalores, entonces $(A$ $-$ $λ₁I$ $)$ $($ $A$ $-$ $λ₂I$ $)$ $= ($ $A$ $-$ $λ₂I$ $)$ $($ $A$ $-$ $λ₁I$ $)$ $= 0 ,$ $por lo que$ $las$ columnas de $(A$ $-$ $λ₂I$ $)$ se anulan con $(A -$ $λ₁I$ $)$ $y viceversa$ $.$ $Suponiendo que ninguna de$ $las matrices es cero, las columnas de cada$ $una$ deben incluir autovectores para el otro autovalor. (Si alguna de las matrices es cero, entonces $A$ $es un múltiplo de la matriz$ identidad y cualquier vector distinto de cero es un autovector).

Por ejemplo, supongamos que

A={\begin{bmatrix}4&3\\-2&-3\end{bmatrix}},

entonces $tr(A) = 4 - 3 = 1$ y $det(A) = 4(-3) - 3(-2) = -6$ , por lo que la ecuación característica es

0=\lambda ^{2}-\lambda -6=(\lambda -3)(\lambda +2),

y los valores propios son 3 y -2. Ahora,

A-3I={\begin{bmatrix}1&3\\-2&-6\end{bmatrix}},\qquad A+2I={\begin{bmatrix}6&3\\-2&-1\end{bmatrix}}.

En ambas matrices, las columnas son múltiplos entre sí, por lo que se puede usar cualquiera de ellas. Así, $(1, -2)$ se puede tomar como un vector propio asociado con el valor propio -2, y $(3, -1)$ como un vector propio asociado con el valor propio 3, como se puede verificar multiplicándolos por $A.$

Matrices simétricas de 3×3

La ecuación característica de una matriz simétrica $A$ de 3 × 3 es:

\det \left(\alpha I-A\right)=\alpha ^{3}-\alpha ^{2}{\rm {tr}}(A)-\alpha {\frac {1}{2}}\left({\rm {tr}}(A^{2})-{\rm {tr}}^{2}(A)\right)-\det(A)=0.

Esta ecuación puede resolverse utilizando los métodos de Cardano o Lagrange , pero un cambio afín a $A$ simplificará considerablemente la expresión y conducirá directamente a una solución trigonométrica . Si $A = pB + qI$ , entonces $A$ y $B$ tienen los mismos vectores propios, y $β$ es un valor propio de $B$ si y solo si $α = pβ + q$ es un valor propio de $A.$ Haciendo ${\textstyle q={\rm {tr}}(A)/3}$ y ${\textstyle p=\left({\rm {tr}}\left((A-qI)^{2}\right)/6\right)^{1/2}}$ , da

\det \left(\beta I-B\right)=\beta ^{3}-3\beta -\det(B)=0.

La sustitución $β = 2cos θ$ y algunas simplificaciones usando la identidad $cos 3 θ = 4cos 3 θ - 3cos θ$ reducen la ecuación a $cos 3 θ = det(B) / 2$ . Por lo tanto

\beta =2{\cos }\left({\frac {1}{3}}{\arccos }\left(\det(B)/2\right)+{\frac {2k\pi }{3}}\right),\quad k=0,1,2.

Si $det(B)$ es complejo o es mayor que 2 en valor absoluto, el arcocoseno debe tomarse a lo largo de la misma rama para los tres valores de $k$ . Este problema no surge cuando $A$ es real y simétrico, lo que resulta en un algoritmo simple: ^{[ 17 ]}

% Dada una matriz simétrica real de 3x3 A, calcule los valores propios. % Tenga en cuenta que acos y cos operan sobre ángulos en radianes.p1 = A ( 1 , 2 ) ^ 2 + A ( 1 , 3 ) ^ 2 + A ( 2 , 3 ) ^ 2 if ( p1 == 0 ) % A es diagonal. eig1 = A ( 1 , 1 ) eig2 = A ( 2 , 2 ) eig3 = A ( 3 , 3 ) else q = traza ( A ) / 3 % traza(A) es la suma de todos los valores diagonales p2 = ( A ( 1 , 1 ) - q ) ^ 2 + ( A ( 2 , 2 ) - q ) ^ 2 + ( A ( 3 , 3 ) - q ) ^ 2 + 2 * p1 p = sqrt ( p2 / 6 ) B = ( 1 / p ) * ( A - q * I ) % I es la matriz identidad r = det ( B ) / 2% En aritmética exacta para una matriz simétrica -1 <= r <= 1 % pero el error de cálculo puede dejarlo ligeramente fuera de este rango. if ( r <= - 1 ) phi = pi / 3 elseif ( r >= 1 ) phi = 0 else phi = acos ( r ) / 3 end% Los autovalores satisfacen eig3 <= eig2 <= eig1. eig1 = q + 2 * p * cos ( phi ) eig3 = q + 2 * p * cos ( phi + ( 2 * pi / 3 )) eig2 = 3 * q - eig1 - eig3 % dado que trace(A) = eig1 + eig2 + eig3 fin

Una vez más, los autovectores de $A$ se pueden obtener recurriendo al teorema de Cayley-Hamilton . Si $α 1, α 2, α 3$ son autovalores distintos de $A$ , entonces $(A - α 1 I)(A - α 2 I)(A - α 3 I) = 0$ . Por lo tanto, las columnas del producto de cualesquiera dos de estas matrices contendrán un autovector para el tercer autovalor. Sin embargo, si $α 3 = α 1$ , entonces $(A - α 1 I) 2 (A - α 2 I) = 0$ y $(A - α 2 I)(A - α 1 I) 2 = 0$ . Así, el espacio propio generalizado de $α 1$ está generado por las columnas de $A - α 2 I,$ mientras que el espacio propio ordinario está generado por las columnas de $(A - α 1 I)(A - α 2 I)$ . El espacio propio ordinario de $α 2$ está generado por las columnas de $(A - α 1 I) 2$ .

Por ejemplo, dejemos

A={\begin{bmatrix}3&2&6\\2&2&5\\-2&-1&-4\end{bmatrix}}.

La ecuación característica es

0=\lambda ^{3}-\lambda ^{2}-\lambda +1=(\lambda -1)^{2}(\lambda +1),

con autovalores 1 (de multiplicidad 2) y -1. Calculando,

A-I={\begin{bmatrix}2&2&6\\2&1&5\\-2&-1&-5\end{bmatrix}},\qquad A+I={\begin{bmatrix}4&2&6\\2&3&5\\-2&-1&-3\end{bmatrix}}

y

(A-I)^{2}={\begin{bmatrix}-4&0&-8\\-4&0&-8\\4&0&8\end{bmatrix}},\qquad (A-I)(A+I)={\begin{bmatrix}0&4&4\\0&2&2\\0&-2&-2\end{bmatrix}}

Así, $(-4, -4, 4)$ es un vector propio para −1, y $(4, 2, -2)$ es un vector propio para 1. $(2, 3, -1)$ y $(6, 5, -3)$ son ambos vectores propios generalizados asociados con 1, cualquiera de los cuales podría combinarse con $(-4, -4, 4)$ y $(4, 2, -2)$ para formar una base de vectores propios generalizados de $A.$ Una vez encontrados, los vectores propios pueden normalizarse si es necesario.

Vectores propios de matrices normales de 3×3

Si una matriz de 3×3 $A$ es normal, entonces el producto vectorial se puede utilizar para encontrar los autovectores. Si $\lambda$ es un valor propio de $A$ , entonces el espacio nulo de $A-\lambda I$ es perpendicular a su espacio columnar. El producto vectorial de dos columnas independientes de $A-\lambda I$ estará en el espacio nulo. Es decir, será un vector propio asociado con $\lambda$ Dado que en este caso el espacio columna es bidimensional, el espacio propio debe ser unidimensional, por lo que cualquier otro vector propio será paralelo a él.

Si $A-\lambda I$ no contiene dos columnas independientes pero no es $0$ , el producto cruzado aún se puede utilizar. En este caso $\lambda$ es un valor propio de multiplicidad 2, por lo que cualquier vector perpendicular al espacio columna será un vector propio. Supongamos que $\mathbf {v}$ es una columna distinta de cero de $A-\lambda I$ . Elija un vector arbitrario $\mathbf {u}$ no paralelo a $\mathbf {v}$ . Entonces $\mathbf {v} \times \mathbf {u}$ y $(\mathbf {v} \times \mathbf {u} )\times \mathbf {v}$ será perpendicular a $\mathbf {v}$ y por lo tanto serán autovectores de $\lambda$ .

Esto no funciona cuando $A$ no es normal, ya que el espacio nulo y el espacio columna no tienen por qué ser perpendiculares para este tipo de matrices.

Véase también

Lista de algoritmos de autovalores

Notas

↑ El término "ordinario" se utiliza aquí únicamente para enfatizar la distinción entre "vector propio" y "vector propio generalizado".
↑ donde el términoconstante se multiplica por la matriz identidad $I.$
↑ Este ordenamiento del producto interno (con la posición lineal conjugada a la izquierda) es el preferido por los físicos. Los algebristas suelen colocar la posición lineal conjugada a la derecha: $w \cdot v = v * w$ .

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↑ Delattre, B.; Barthélemy, Q.; Araujo, A.; Allauzen, A. (2023), " Límite eficiente de la constante de Lipschitz para capas convolucionales mediante iteración de Gram" , Actas de la 40.ª Conferencia Internacional sobre Aprendizaje Automático : 7513–7532
↑ Smith, Oliver K. (abril de 1961), "Autovalores de una matriz simétrica de 3 × 3.", Communications of the ACM , 4 (4): 168, doi : 10.1145/355578.366316 , S2CID 37815415

Lecturas adicionales

Bojanczyk, Adam W.; Adam Lutoborski (enero de 1991). "Cálculo de los ángulos de Euler de una matriz simétrica de 3x3" . SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications . 12 (1): 41– 48. doi : 10.1137/0612005 .

[2] El término "ordinario" se utiliza aquí únicamente para enfatizar la distinción entre "vector propio" y "vector propio generalizado".

[3] términoconstante se multiplica por la matriz identidad $I.$

[4] Este ordenamiento del producto interno (con la posición lineal conjugada a la izquierda) es el preferido por los físicos. Los algebristas suelen colocar la posición lineal conjugada a la derecha: $w \cdot v = v * w$ .

[Axler-1] Axler, Sheldon (1995), "¡Abajo con los determinantes!" (PDF) , American Mathematical Monthly , 102 (2): 139–154 , doi : 10.2307/2975348 , JSTOR 2975348 , archivado del original (PDF) el 13 de septiembre de 2012 , consultado el 31 de julio de 2012

[5] FL Bauer; CT Fike (1960), "Normas y teoremas de exclusión", Numer. Math. , 2 : 137– 141, doi : 10.1007/bf01386217 , S2CID 121278235

[6] SC Eisenstat; ICF Ipsen (1998), "Resultados de perturbación relativa para valores propios y vectores propios de matrices diagonalizables" , BIT , 38 (3): 502–9 , doi : 10.1007/bf02510256 , S2CID 119886389

[t10-7] J. Dongarra y F. Sullivan (2000). "Diez algoritmos principales del siglo". Computación en Ciencias e Ingeniería . 2 : 22-23. doi : 10.1109/MCISE.2000.814652 .

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[CoakleyRokhlin-14] Coakley, Ed S. (mayo de 2013), "Un algoritmo rápido de divide y vencerás para calcular los espectros de matrices tridiagonales simétricas reales", Applied and Computational Harmonic Analysis , 34 (3): 379–414 , doi : 10.1016/j.acha.2012.06.003

[15] Neymeyr, K. (2006), "Una teoría geométrica para la iteración inversa precondicionada IV: Sobre los casos de convergencia más rápida.", Linear Algebra Appl. , 415 (1): 114– 139, doi : 10.1016/j.laa.2005.06.022

[16] Li, TY; Zeng, Zhonggang (1992), "La iteración de Laguerre en la resolución del problema de valores propios tridiagonal simétrico: una revisión", SIAM Journal on Scientific Computing

[17] Chu, Moody T. (1988), "Una nota sobre el método de homotopía para problemas de valores propios algebraicos lineales", Linear Algebra Appl. , 105 : 225–236 , doi : 10.1016/0024-3795(88)90015-8

[18] Dhillon, Inderjit S.; Parlett, Beresford N.; Vömel, Christof (2006), "Diseño e implementación del algoritmo MRRR" (PDF) , ACM Transactions on Mathematical Software , 32 (4): 533–560 , doi : 10.1145/1186785.1186788 , S2CID 2410736

[19] Delattre, B.; Barthélemy, Q.; Araujo, A.; Allauzen, A. (2023), " Límite eficiente de la constante de Lipschitz para capas convolucionales mediante iteración de Gram" , Actas de la 40.ª Conferencia Internacional sobre Aprendizaje Automático : 7513–7532

[Smith-20] Smith, Oliver K. (abril de 1961), "Autovalores de una matriz simétrica de 3 × 3.", Communications of the ACM , 4 (4): 168, doi : 10.1145/355578.366316 , S2CID 37815415

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