Onda acústica

La ecuación de onda acústica describe la propagación de las ondas sonoras. La ecuación de onda acústica para la presión sonora en una dimensión viene dada por: $${\displaystyle {\partial ^{2}p \over \partial x^{2}}-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}p \over \partial t^{2}}=0}$$ dónde

• ${\displaystyle p}$es la presión sonora en Pa
• ${\displaystyle x}$es la posición en la dirección de propagación de la onda, en metros
• ${\displaystyle c}$es la velocidad del sonido en m/s
• ${\displaystyle t}$es el tiempo en s

La ecuación de onda para la velocidad de partícula tiene la misma forma y viene dada por $${\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=0}$$ dónde

• ${\displaystyle u}$es la velocidad de la partícula en m/s

Para medios con pérdidas, es necesario aplicar modelos más complejos que tengan en cuenta la atenuación dependiente de la frecuencia y la velocidad de fase. Estos modelos incluyen ecuaciones de ondas acústicas que incorporan términos de derivadas fraccionarias; véase también el artículo sobre atenuación acústica .

D'Alembert dio la solución general para la ecuación de onda sin pérdidas. Para la presión sonora, una solución sería $${\displaystyle p=R\cos(\omega t-kx)+(1-R)\cos(\omega t+kx)}$$ dónde

• ${\displaystyle \omega }$es la frecuencia angular en rad/s
• ${\displaystyle t}$es el tiempo en s
• ${\displaystyle k}$es el número de onda en rad·m ⁻¹
• ${\displaystyle R}$es un coeficiente sin unidad

Para${\displaystyle R=1}$la onda se convierte en una onda viajera que se mueve hacia la derecha, para${\displaystyle R=0}$La onda se convierte en una onda viajera que se mueve hacia la izquierda. Se puede obtener una onda estacionaria mediante...${\displaystyle R=0.5}$.

En una onda viajera, la presión y la velocidad de las partículas están en fase , lo que significa que el ángulo de fase entre ambas magnitudes es cero.

Esto se puede demostrar fácilmente utilizando la ley de los gases ideales.$${\displaystyle pV=nRT}$$ dónde

• ${\displaystyle p}$es la presión en Pa
• ${\displaystyle V}$es el volumen en ^m³
• ${\displaystyle n}$es la cantidad en mol
• ${\displaystyle R}$es la constante universal de los gases con valor${\textstyle 8.314\,472(15)~{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {mol~K} }}}$

Consideremos un volumen${\displaystyle V}$A medida que una onda acústica se propaga a través del volumen, se produce compresión y descompresión adiabática. Para el cambio adiabático, la siguiente relación entre volumen${\displaystyle V}$de una porción de fluido y presión${\displaystyle p}$sostiene $${\displaystyle {\partial V \over V_{m}}={-1 \over \ \gamma }{\partial p \over p_{m}}}$$ dónde${\displaystyle \gamma }$es el índice adiabático sin unidad y el subíndice${\displaystyle m}$denota el valor medio de la variable correspondiente.

A medida que una onda sonora se propaga a través de un volumen, el desplazamiento horizontal de una partícula${\displaystyle \eta }$ocurre a lo largo de la dirección de propagación de la onda. $${\displaystyle {\partial \eta \over V_{m}}A={\partial V \over V_{m}}={-1 \over \ \gamma }{\partial p \over p_{m}}}$$ dónde

• ${\displaystyle A}$es el área de la sección transversal en m ²

De esta ecuación se puede ver que cuando la presión es máxima, el desplazamiento de la partícula desde la posición promedio llega a cero. Como se mencionó anteriormente, la presión oscilante para una onda que viaja hacia la derecha se puede expresar como: $${\displaystyle p=p_{0}\cos(\omega t-kx)}$$ Dado que el desplazamiento es máximo cuando la presión es cero, existe una diferencia de fase de 90 grados, por lo que el desplazamiento viene dado por $${\displaystyle \eta =\eta _{0}\sin(\omega t-kx)}$$ La velocidad de la partícula es la primera derivada del desplazamiento de la partícula:${\displaystyle u=\partial \eta /\partial t}$La diferenciación de un seno da como resultado un coseno. $${\displaystyle u=u_{0}\cos(\omega t-kx)}$$

Durante el cambio adiabático, la temperatura cambia con la presión también, siguiendo $${\displaystyle {\partial T \over T_{m}}={\gamma -1 \over \ \gamma }{\partial p \over p_{m}}}$$ Este hecho se aprovecha en el campo de la termoacústica .

La velocidad de propagación, o velocidad acústica, de las ondas acústicas es función del medio de propagación. En general, la velocidad acústica c viene dada por la ecuación de Newton-Laplace: $${\displaystyle c={\sqrt {\frac {C}{\rho }}}}$$ dónde

• C es un coeficiente de rigidez , el módulo de compresibilidad (o el módulo de elasticidad volumétrica para medios gaseosos),
• ${\displaystyle \rho }$es la densidad en kg/ ^m³

Así, la velocidad acústica aumenta con la rigidez (la resistencia de un cuerpo elástico a la deformación por una fuerza aplicada) del material y disminuye con la densidad. Para ecuaciones de estado generales, si se utiliza la mecánica clásica, la velocidad acústica${\displaystyle c}$es dado por $${\displaystyle c^{2}={\frac {\partial p}{\partial \rho }}}$$ con${\displaystyle p}$a medida que la presión y${\displaystyle \rho }$la densidad, donde la diferenciación se toma con respecto al cambio adiabático.

La interferencia es la suma de dos o más ondas que da como resultado un nuevo patrón de ondas. La interferencia de ondas sonoras se observa cuando dos altavoces transmiten la misma señal. En ciertos lugares se produce interferencia constructiva, duplicando la presión sonora local. En otros lugares se produce interferencia destructiva, lo que provoca una presión sonora local de cero pascales.

Una onda estacionaria es un tipo especial de onda que puede producirse en un resonador . En un resonador, se produce la superposición de la onda incidente y la reflejada, generando una onda estacionaria. La presión y la velocidad de las partículas están desfasadas 90 grados en una onda estacionaria.

Consideremos un tubo con dos extremos cerrados que actúa como resonador. El resonador tiene modos normales en frecuencias dadas por $${\displaystyle f={\frac {Nc}{2d}}\qquad \qquad N\in \{1,2,3,\dots \}}$$ dónde

• ${\displaystyle c}$es la velocidad del sonido en m/s
• ${\displaystyle d}$es la longitud del tubo en m

En los extremos, la velocidad de las partículas se anula, ya que no puede haber desplazamiento de partículas. Sin embargo, la presión se duplica en los extremos debido a la interferencia de la onda incidente con la onda reflejada. Como la presión es máxima en los extremos mientras que la velocidad es cero, existe una diferencia de fase de 90 grados entre ellas.

Una onda acústica viajera puede reflejarse en una superficie sólida. Si una onda viajera se refleja, la onda reflejada puede interferir con la onda incidente, generando una onda estacionaria en el campo cercano . Como consecuencia, la presión local en el campo cercano se duplica y la velocidad de la partícula se reduce a cero.

La atenuación provoca que la potencia de la onda reflejada disminuya a medida que aumenta la distancia al material reflectante. Al disminuir la potencia de la onda reflejada en comparación con la potencia de la onda incidente, la interferencia también disminuye. Y al disminuir la interferencia, también lo hace la diferencia de fase entre la presión sonora y la velocidad de las partículas. A una distancia suficientemente grande del material reflectante, ya no hay interferencia. A esta distancia se puede hablar del campo lejano .

La cantidad de reflexión viene dada por el coeficiente de reflexión, que es la relación entre la intensidad reflejada y la intensidad incidente. $${\displaystyle R={\frac {p_{\text{reflejado}}}{p_{\text{incidental}}}}}$$

Las ondas acústicas pueden ser absorbidas. La cantidad de absorción viene dada por el coeficiente de absorción que viene dado por $${\displaystyle \alpha =1-R^{2}}$$ dónde

• ${\displaystyle \alpha }$es el coeficiente de absorción sin unidad
• ${\displaystyle R}$es el coeficiente de reflexión sin unidad

A menudo, la absorción acústica de los materiales se expresa en decibelios.

Cuando una onda acústica se propaga a través de un medio no homogéneo, sufre difracción en las impurezas que encuentra o en las interfaces entre capas de diferentes materiales. Este fenómeno es muy similar al de la refracción, absorción y transmisión de la luz en los espejos de Bragg . El concepto de propagación de ondas acústicas a través de medios periódicos se aprovecha con gran éxito en la ingeniería de metamateriales acústicos . ^{[ 2 ]}

La absorción, reflexión y transmisión acústica en materiales multicapa se pueden calcular con el método de la matriz de transferencia . ^{[ 3 ]}