Ecuación de onda unidireccional

Una ecuación de onda unidireccional es una ecuación diferencial parcial de primer orden que describe una onda que viaja en una dirección definida por la velocidad vectorial de la onda. Contrasta con la ecuación de onda bidireccional de segundo orden que describe un campo de onda estacionaria resultante de la superposición de dos ondas en direcciones opuestas (utilizando la velocidad de onda escalar al cuadrado). ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} En el caso unidimensional también se conoce como ecuación de transporte , ^{[ 4 ]} y permite calcular la propagación de ondas sin la complicación matemática de resolver una ecuación diferencial de segundo orden. Debido a que en las últimas décadas no se ha podido encontrar una solución general para la ecuación de onda unidireccional 3D, se utilizan numerosos métodos de aproximación basados ​​en la ecuación de onda unidireccional 1D para cálculos sísmicos 3D y otros cálculos geofísicos, véase también la sección §  Caso tridimensional . ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 1 ] [ 7 ]}

La ecuación de onda escalar de segundo orden (bidireccional) que describe un campo de ondas estacionarias se puede escribir como: $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}=0,}$$ dónde${\displaystyle x}$es la coordenada,${\displaystyle t}$es el tiempo,${\displaystyle s=s(x,t)}$es el desplazamiento, y${\displaystyle c}$es la velocidad de la onda.

Debido a la ambigüedad en la dirección de la velocidad de la onda,${\displaystyle c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}}$, la ecuación no contiene información sobre la dirección de la onda y por lo tanto tiene soluciones que se propagan tanto hacia adelante (${\displaystyle +x}$) y hacia atrás (${\displaystyle -x}$direcciones. La solución general de la ecuación es la suma de las soluciones en estas dos direcciones: $${\displaystyle s(x,t)=s_{+}(tx/c)+s_{-}(t+x/c)}$$

dónde${\displaystyle s_{+}}$y${\displaystyle s_{-}}$son las amplitudes de desplazamiento de las ondas que se propagan en${\displaystyle +c}$y${\displaystyle -c}$dirección.

Cuando se formula un problema de onda unidireccional, la dirección de propagación de la onda debe seleccionarse (manualmente) manteniendo uno de los dos términos en la solución general.

Al factorizar el operador del lado izquierdo de la ecuación se obtiene un par de ecuaciones de onda unidireccionales, una con soluciones que se propagan hacia adelante y la otra con soluciones que se propagan hacia atrás. ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

$${\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-c^{2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\right)s=\left({\partial \over \partial t}-c{\partial \over \partial x}\right)\left({\partial \over \partial t}+c{\partial \over \partial x}\right)s=0,}$$

Las ondas que viajan hacia atrás y hacia adelante se describen respectivamente (para${\displaystyle c>0}$), $${\displaystyle {\begin{aligned}&{{\frac {\partial s}{\partial t}}-c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}\\[6pt]&{{\frac {\partial s}{\partial t}}+c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}\end{aligned}}}$$

Las ecuaciones de onda unidireccionales también pueden derivarse físicamente directamente de la impedancia acústica específica .

En una onda plana longitudinal , la impedancia específica determina la proporcionalidad local de la presión.${\displaystyle p=p(x,t)}$y velocidad de partícula${\displaystyle v=v(x,t)}$: ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle {\frac {p}{v}}=\rho c,}$$ con${\displaystyle \rho }$= densidad.

La conversión de la ecuación de impedancia conduce a: ^{[ 3 ]}

Una onda plana longitudinal de frecuencia angular${\displaystyle \omega }$tiene el desplazamiento${\displaystyle s=s(x,t)}$.

La presión${\displaystyle p}$y la velocidad de la partícula${\displaystyle v}$puede expresarse en términos del desplazamiento${\displaystyle s}$(${\displaystyle E}$: Módulo de elasticidad ) ^{[ 12 ]} :

$${\displaystyle p:=E{\partial s \over \partial x}}$$Para el caso unidimensional, esto es totalmente análogo a la tensión.${\displaystyle \sigma }$en mecánica :${\displaystyle \sigma =E\varepsilon }$, definiéndose la deformación como${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta L}{L}}}$^{[ 13 ]}$${\displaystyle v={\partial s \over \partial t}}$$

Estas relaciones, insertadas en la ecuación anterior ( ⁎ ), dan como resultado:

$${\displaystyle {\partial s \over \partial t}-{E \over \rho c}{\partial s \over \partial x}=0}$$

Con la definición de velocidad de onda local ( velocidad del sonido ):

$${\displaystyle c={\sqrt {E(x) \over \rho (x)}}\Leftrightarrow c={E \over \rho c}}$$

directamente (!) sigue la ecuación diferencial parcial de primer orden de la ecuación de onda unidireccional:

$${\displaystyle {{\frac {\partial s}{\partial t}}-c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}}$$

La velocidad de la onda${\displaystyle c}$se puede establecer dentro de esta ecuación de onda como${\displaystyle +c}$o${\displaystyle -c}$según la dirección de propagación de la onda.

Para la propagación de ondas en la dirección de${\displaystyle +c}$La solución única es

$${\displaystyle s(x,t)=s_{+}(t-x/c)}$$

y para la propagación de ondas en el${\displaystyle -c}$dirección la solución respectiva es ^{[ 14 ]}$${\displaystyle s(x,t)=s_{-}(t+x/c)}$$

También existe una ecuación de onda unidireccional esférica que describe la propagación de una onda de una fuente sonora monopolar en coordenadas esféricas, es decir, en dirección radial. Mediante una modificación del operador nabla radial , se resuelve una inconsistencia entre los operadores de divergencia esférica y de Laplace, y la solución resultante no muestra funciones de Bessel (a diferencia de la solución conocida del enfoque bidireccional convencional). ^{[ 7 ]}

Se asumió que la ecuación y solución unidireccional en el caso tridimensional era similar a la del caso unidimensional mediante una descomposición matemática (factorización) de una ecuación diferencial de segundo orden. ^{[ 15 ]} De hecho, la ecuación de onda unidireccional 3D se puede derivar a partir de los primeros principios:

• derivación del teorema de impedancia ^{[ 3 ]} y
• Derivación a partir de un equilibrio de flujo de impulso tensorial en un punto de campo. ^{[ 7 ]}

También es posible derivar el operador de onda bidireccional vectorial a partir de la síntesis de dos operadores de onda unidireccionales (utilizando una variable de campo combinada). Este enfoque muestra que la ecuación de onda bidireccional o el operador de onda bidireccional se pueden utilizar para la condición específica.${\displaystyle \nabla \mathbf {c} =0}$, es decir, para medios homogéneos y anisotrópicos, mientras que la ecuación de onda unidireccional o el operador de onda unidireccional también son válidos en medios no homogéneos. ^{[ 16 ]}

Para medios no homogéneos con módulo de elasticidad dependiente de la ubicación${\displaystyle E(x)}$, densidad${\displaystyle \rho (x)}$y velocidad de onda${\displaystyle c(x)}$Se puede obtener una solución analítica de la ecuación de onda unidireccional mediante la introducción de una nueva variable de campo. ^{[ 10 ]}

El método de factorización de EDP también se puede transferir a otras ecuaciones de onda de segundo o cuarto orden, por ejemplo, transversales, de cuerdas, de Moens/Korteweg, de flexión y de ondas electromagnéticas, así como a ondas electromagnéticas. ^{[ 10 ]}

• Ecuación de onda : ecuación diferencial para la descripción de ondas o ondas estacionarias. 
• Onda estacionaria : onda que permanece en una posición constante. 
• Ecuación de continuidad : ecuación que describe el transporte de alguna cantidad. 
• Condición de contorno absorbente de Engquist-Majda : condición de contorno absorbente para problemas de ondas.