Problema de valores propios cuadrático

En matemáticas , el problema de valores propios cuadráticos ^{[ 1 ]} (QEP) consiste en encontrar valores propios escalares.${\displaystyle \lambda }$, autovectores izquierdos${\displaystyle y}$y autovectores derechos${\displaystyle x}$de tal manera que

${\displaystyle Q(\lambda )x=0~{\text{ y }}~y^{\ast }Q(\lambda )=0,}$

dónde${\displaystyle Q(\lambda )=\lambda ^{2}M+\lambda C+K}$, con coeficientes de matriz${\displaystyle M,\,C,K\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$y requerimos que${\displaystyle M\,\neq 0}$, (de modo que tengamos un coeficiente principal distinto de cero). Hay${\displaystyle 2n}$autovalores que pueden ser infinitos o finitos, y posiblemente cero. Este es un caso especial de un problema de autovalores no lineal .${\displaystyle Q(\lambda )}$También se la conoce como matriz polinómica cuadrática .

Se dice que un QEP es regular si${\displaystyle {\text{det}}(Q(\lambda ))\not \equiv 0}$idénticamente. El coeficiente de la${\displaystyle \lambda ^{2n}}$término en${\displaystyle {\text{det}}(Q(\lambda ))}$es${\displaystyle {\text{det}}(M)}$, lo que implica que el QEP es regular si${\displaystyle M}$es no singular.

Los autovalores en el infinito y los autovalores en 0 pueden intercambiarse considerando el polinomio inverso,${\displaystyle \lambda ^{2}Q(\lambda ^{-1})=\lambda ^{2}K+\lambda C+M}$. Como hay${\displaystyle 2n}$vectores propios en un${\displaystyle n}$En un espacio dimensional, los autovectores no pueden ser ortogonales. Es posible que un mismo autovector esté asociado a diferentes autovalores.

Métodos directos para resolver problemas de valores propios estándar o generalizados.${\displaystyle Ax=\lambda x}$y${\displaystyle Ax=\lambda Bx}$ se basan en transformar el problema a la forma de Schur o a la forma generalizada de Schur . Sin embargo, no existe una forma análoga para los polinomios matriciales cuadráticos. Un enfoque consiste en transformar el polinomio matricial cuadrático en un haz de matrices lineales (${\displaystyle A-\lambda B}$), y resolver un problema generalizado de valores propios. Una vez que se han determinado los valores propios y los vectores propios del problema lineal, se pueden determinar los vectores propios y los valores propios del problema cuadrático.

La linealización más común es la primera linealización compañera .

${\displaystyle L1(\lambda )={\begin{bmatrix}0&N\\-K&-C\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}N&0\\0&M\end{bmatrix}},}$

con el vector propio correspondiente

${\displaystyle z={\begin{bmatrix}x\\\lambda x\end{bmatrix}}.}$

Por conveniencia, a menudo se toma${\displaystyle N}$ser el${\displaystyle n\times n}$matriz identidad . Resolvemos${\displaystyle L(\lambda )z=0}$para${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle z}$, por ejemplo, calculando la forma generalizada de Schur. Luego podemos tomar la primera${\displaystyle n}$componentes de${\displaystyle z}$como el vector propio${\displaystyle x}$de la cuadrática original${\displaystyle Q(\lambda )}$.

Otra linealización común viene dada por

${\displaystyle L2(\lambda )={\begin{bmatrix}-K&0\\0&N\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}C&M\\N&0\end{bmatrix}}.}$

En el caso de que${\displaystyle A}$o${\displaystyle B}$es una matriz hamiltoniana y la otra es una matriz sesgada hamiltoniana , se pueden utilizar las siguientes linealizaciones.

${\displaystyle L3(\lambda )={\begin{bmatrix}K&0\\C&K\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}0&K\\-M&0\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle L4(\lambda )={\begin{bmatrix}0&-K\\M&0\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}M&C\\0&M\end{bmatrix}}.}$