Operador de clase Schatten

En matemáticas , específicamente en análisis funcional , un operador de clase p -ésima de Schatten es un operador lineal acotado en un espacio de Hilbert con una norma de Schatten p -ésima finita . El espacio de operadores de clase p -ésima de Schatten es un espacio de Banach con respecto a la norma de Schatten.

Mediante la descomposición polar , se puede demostrar que el espacio de operadores de la clase p de Schatten es un ideal en B(H) . Además, la norma de Schatten satisface un tipo de desigualdad de Hölder :

${\displaystyle \|ST\|_{S_{1}}\leq \|S\|_{S_{p}}\|T\|_{S_{q}}\ {\mbox{si}}\ S\en S_{p},\ T\en S_{q}{\mbox{ y }}1/p+1/q=1.}$

Si denotamos por el espacio de Banach de operadores compactos en H con respecto a la norma del operador , la desigualdad de tipo Hölder anterior se cumple incluso para . De esto se sigue que , es una contracción bien definida. (Aquí la prima denota dual (topológico).) ${\displaystyle S_{\infty}}$${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$${\displaystyle \phi :S_{p}\rightarrow S_{q}'}$${\displaystyle T\mapsto \mathrm {tr} (T\cdot )}$

Obsérvese que la 2. a clase de Schatten es, de hecho, el espacio de Hilbert de los operadores de Hilbert-Schmidt . Además, la 1. a clase de Schatten es el espacio de los operadores de la clase traza .