Secuencia de alícuotas

En matemáticas , una sucesión alícuota es una sucesión de enteros positivos en la que cada término es la suma de los divisores propios del término anterior. Si la sucesión llega al número 1, termina, ya que la suma de los divisores propios de 1 es 0.

La secuencia de alícuotas que comienza con un entero positivo k se puede definir formalmente en términos de la función suma de divisores σ ₁ o la función suma de alícuotas s de la siguiente manera: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&=k\\[4pt]s_{n}&=s(s_{n-1})=\sigma _{1}(s_{n-1})-s_{n-1}\quad {\text{si}}\quad s_{n-1}>0\\[4pt]s_{n}&=0\quad {\text{si}}\quad s_{n-1}=0\\[4pt]s(0)&={\text{indefinido}}\end{aligned}}}$$ Si se agrega la condición s _{n − 1} = 0 , entonces los términos después de 0 son todos 0, y todas las secuencias de alícuotas serían infinitas, y podemos conjeturar que todas las secuencias de alícuotas son convergentes (el límite de estas secuencias suele ser 0 o 6) o eventualmente periódicas.

Por ejemplo, la secuencia de alícuotas de 10 es 10, 8, 7, 1, 0 porque:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}(10)-10&=5+2+1=8,\\[4pt]\sigma _{1}(8)-8&=4+2+1=7,\\[4pt]\sigma _{1}(7)-7&=1,\\[4pt]\sigma _{1}(1)-1&=0.\end{aligned}}}$$

Muchas secuencias de alícuotas terminan en cero; todas estas secuencias necesariamente terminan con un número primo seguido de 1 (ya que el único divisor propio de un número primo es 1), seguido de 0 (ya que 1 no tiene divisores propios). Véase (secuencia A080907 en la OEIS ) para una lista de dichos números hasta 75. Existen diversas maneras en que una secuencia de alícuotas podría no terminar:

• Un número perfecto tiene una secuencia alícuota repetitiva de periodo 1. La secuencia alícuota de 6, por ejemplo, es 6, 6, 6, 6, ...
• Un número amigable tiene una secuencia de alícuotas repetitiva de periodo 2. Por ejemplo, la secuencia de alícuotas de 220 es 220, 284, 220, 284, ...
• Un número sociable tiene una secuencia alícuota repetitiva de periodo 3 o mayor. (A veces, el término número sociable también se usa para incluir los números amistosos). Por ejemplo, la secuencia alícuota de 1264460 es 1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460, ...
• Algunos números tienen una secuencia alícuota que eventualmente se vuelve periódica, pero el número en sí no es perfecto, amigable ni sociable. Por ejemplo, la secuencia alícuota de 95 es 95, 25, 6, 6, 6, 6, ... Los números como 95 que no son perfectos, pero que tienen una secuencia alícuota que eventualmente se repite y tiene un período de 1, se denominan números aspirantes . ^{[ 2 ]}

Las longitudes de las secuencias de alícuotas que comienzan en n son:

1, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 4, 2, 7, 2, 5, 5, 6, 2, 4, 2, 7, 3, 6, 2, 5, 1, 7, 3, 1, 2, 15, 2, 3, 6, 8, 3, 4, 2, 7, 3, 4, 2, 14, 2, 5, 7, 8, 2, 6, 4, 3, ... (secuencia A044050 en el OEIS )

Los términos finales (excluyendo 1) de las secuencias de alícuotas que comienzan en n son:

1, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 7, 3, 7, 11, 3, 13, 7, 3, 3, 17, 11, 19, 7, 11, 7, 23, 17, 6, 3, 13, 28, 29, 3, 31, 31, 3, 7, 13, 17, 37, 7, 17, 43, 41, 3, 43, 43, 3, 3, 47, 41, 7, 43, ... (secuencia A115350 en el OEIS )

Los números cuya secuencia de alícuotas termina en 1 son:

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... (secuencia A080907 en el OEIS )

Los números cuya secuencia de alícuotas no termina en 1 son:

6, 25, 28, 95, 119, 143, 220, 276?, 284, 306?, 396?, 417, 445, 496, ... (secuencia A126016 en el OEIS )

Los números cuya secuencia de alícuotas se sabe que termina en un número perfecto , distinto de los propios números perfectos (6, 28, 496, ...), son:

25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652, 675, 685, 783, 790, 909, 913, ... (secuencia A063769 en el OEIS )

Los números cuya secuencia de alícuotas termina en un ciclo de longitud al menos 2 son:

220, 284, 562, 1064, 1184, 1188, 1210, 1308, 1336, 1380, 1420, 1490, 1604, 1690, 1692, 1772, 1816, 1898, 2008, 2122, 2152, 2172, 2362, ... (secuencia A121507 en el OEIS )

Los números cuya secuencia de alícuotas no se sabe si es finita o eventualmente periódica son:

276, 306, 396, 552, 564, 660, 696, 780, 828, 888, 966, 996, 1074, 1086, 1098, 1104, 1134, 1218, 1302, 1314, 1320, 1338, 1350, 1356, 1392, 1398, 1410, 1464, 1476, 1488, ... (secuencia A131884 en el OEIS )

Un número que nunca es sucesor en una secuencia de alícuotas se denomina número intocable .

2 , 5 , 52 , 88 , 96 , 120 , 124 , 146 , 162 , 188 , 206 , 210 , 216 , 238 , 246 , 248 , 262, 268, 276 , 288 , 290 , 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, ... (secuencia A005114 en el OEIS )

Una importante conjetura debida a Catalan , a veces llamada la conjetura de Catalan- Dickson , es que cada secuencia de alícuotas termina de una de las formas anteriores: con un número primo, un número perfecto o un conjunto de números amigables o sociables. ^{[ 3 ]} La alternativa sería que existe un número cuya secuencia de alícuotas es infinita pero nunca se repite. Cualquiera de los muchos números cuyas secuencias de alícuotas no se han determinado completamente podría ser tal número. Los primeros cinco números candidatos a menudo se llaman los cinco de Lehmer (nombrados en honor a DH Lehmer ): 276 , 552, 564, 660 y 966. ^{[ 4 ]} Mientras que 276 puede o no alcanzar un pico alto en su secuencia de alícuotas y luego descender, el número 138 es notable por alcanzar un pico de 179,931,895,322 antes de volver a 1.

Durante su vida, Guy y Selfridge creyeron que la conjetura de Catalan-Dickson era falsa: conjeturan que algunas secuencias de alícuotas no tienen límite superior (es decir, divergen). ^{[ 5 ]}

La secuencia de alícuotas se puede representar como un grafo dirigido ,${\displaystyle G_{n,s}}$, para un número entero dado${\displaystyle n}$, dónde${\displaystyle s(k)}$denota la suma de los divisores propios de${\displaystyle k}$. ^{[ 6 ]} Ciclos en${\displaystyle G_{n,s}}$representan números sociables dentro del intervalo${\displaystyle [1,n]}$Dos casos especiales son los bucles que representan números perfectos y los ciclos de longitud dos que representan pares amistosos .

• Dinámica aritmética

• Estado actual de las secuencias de alícuotas con término de inicio inferior a 4 millones
• Tablas de ciclos de alícuotas (JOM Pedersen)
• Página de Aliquot (Wolfgang Creyaufmüller)
• Secuencias alícuotas (Christophe Clavier)
• Foro sobre el cálculo de secuencias de alícuotas (MersenneForum)
• Página de resumen de secuencias de alícuotas para secuencias de hasta 100 000 (existen páginas similares para rangos superiores) (Karsten Bonath)
• Sitio de investigación activo sobre secuencias de alícuotas (Jean-Luc Garambois) (en francés)