Número social

En matemáticas , los números sociables son aquellos cuyas sumas de alícuotas forman una secuencia periódica . Son generalizaciones de los conceptos de números perfectos y números amigables . Las dos primeras secuencias sociables, o cadenas sociables, fueron descubiertas y nombradas por el matemático belga Paul Poulet en 1918. ^{[ 1 ]} En una secuencia sociable, cada número es la suma de los divisores propios del número precedente, es decir, la suma excluye al propio número precedente. Para que la secuencia sea sociable, debe ser cíclica y regresar a su punto de partida.

El período de la secuencia, o el orden del conjunto de números sociables, es el número de números en este ciclo.

Si el período de la secuencia es 1, el número es un número sociable de orden 1, o un número perfecto ; por ejemplo, los divisores propios de 6 son 1, 2 y 3, cuya suma es nuevamente 6. Un par de números amigos es un conjunto de números sociables de orden 2. No se conocen números sociables de orden 3, y las búsquedas de ellos se han realizado hasta${\displaystyle 5\times 10^{7}}$a partir de 1970. ^{[ 2 ]}

Queda por determinar si todos los números terminan en un número sociable o en un número primo (y por lo tanto en 1), o, equivalentemente, si existen números cuya secuencia de alícuotas nunca termina y, por lo tanto, crece sin límite.

Como ejemplo, el número 1.264.460 es un número sociable cuya secuencia de alícuotas cíclicas tiene un período de 4:

La suma de los divisores propios de${\displaystyle 1264460}$(${\displaystyle =2^{2}\cdot 5\cdot 17\cdot 3719}$) es

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 17 + 20 + 34 + 68 + 85 + 170 + 340 + 3719 + 7438 + 14876 + 18595 + 37190 + 63223 + 74380 + 126446 + 252892 + 316115 + 632230 = 1547860,

la suma de los divisores propios de${\displaystyle 1547860}$(${\displaystyle =2^{2}\cdot 5\cdot 193\cdot 401}$) es

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 193 + 386 + 401 + 772 + 802 + 965 + 1604 + 1930 + 2005 + 3860 + 4010 + 8020 + 77393 + 154786 + 309572 + 386965 + 773930 = 1727636,

la suma de los divisores propios de${\displaystyle 1727636}$(${\displaystyle =2^{2}\cdot 521\cdot 829}$) es

1 + 2 + 4 + 521 + 829 + 1042 + 1658 + 2084 + 3316 + 431909 + 863818 = 1305184, y

la suma de los divisores propios de${\displaystyle 1305184}$(${\displaystyle =2^{5}\cdot 40787}$) es

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 40787 + 81574 + 163148 + 326296 + 652592 = 1264460.

A continuación se clasifican todos los números sociales conocidos hasta octubre de 2024. por la longitud de la secuencia de alícuota correspondiente:

La secuencia de 5 ciclos es: 12496, 14288, 15472, 14536, 14264

El único ciclo conocido de 28 es: 14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716 (secuencia A072890 en el OEIS ) .

Estas dos secuencias proporcionan los únicos números sociables inferiores a 1 millón (aparte de los números perfectos y amistosos).

La secuencia de alícuotas se puede representar como un grafo dirigido ,${\displaystyle G_{n,s}}$, para un número entero dado${\displaystyle n}$, dónde${\displaystyle s(k)}$denota la suma de los divisores propios de${\displaystyle k}$. ^{[ 5 ]} Ciclos en${\displaystyle G_{n,s}}$representan números sociables dentro del intervalo${\displaystyle [1,n]}$Dos casos especiales son los bucles que representan números perfectos y los ciclos de longitud dos que representan pares amistosos .

Se conjetura que a medida que el número de ciclos numéricos sociables con una longitud mayor que 2 se acerca al infinito, la proporción de las sumas de los ciclos numéricos sociables divisibles por 10 se acerca a 1 (secuencia A292217 en el OEIS ) .

• H. Cohen, Sobre números amigables y sociables, Math. Comp. 24 (1970), págs.  423–429

• Una lista de números sociales conocidos
• Tablas extensas de números perfectos, amistosos y sociables.
• Weisstein, Eric W. "Números sociales" . MathWorld .
• A003416 (número social más pequeño de cada ciclo) y A122726 (todos los números sociales) en OEIS