Secuencia periódica

En matemáticas , una secuencia periódica (a veces llamada ciclo u órbita ) es una secuencia en la que se repiten los mismos términos una y otra vez:

a ₁ , a ₂ , ..., a _p ,   a ₁ , a ₂ , ..., a _p ,   a ₁ , a ₂ , ..., a _p , ...

El número p de términos repetidos se llama período ( periodo ). ^[1]

Una secuencia (puramente) periódica (con período p ), o una secuencia p- periódica , es una secuencia a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... que satisface

a _{n + p} = a _n

para todos los valores de n . ^{[1] [2] [3]} Si una secuencia se considera como una función cuyo dominio es el conjunto de números naturales , entonces una secuencia periódica es simplemente un tipo especial de función periódica . ^{[ cita requerida ]} El p más pequeño para el cual una secuencia periódica es p -periódica se llama su período mínimo ^[1] o período exacto .

Toda función constante es 1-periódica.

La secuencia es periódica con periodo menor 2. ${\displaystyle 1,2,1,2,1,2\puntos}$

La secuencia de dígitos en la expansión decimal de 1/7 es periódica con período 6:

${\displaystyle {\frac {1}{7}}=0,142857\,142857\,142857\,\ldots }$

De manera más general, la secuencia de dígitos en la expansión decimal de cualquier número racional es eventualmente periódica (ver más abajo). ^[4]

La secuencia de potencias de −1 es periódica con periodo dos:

${\displaystyle -1,1,-1,1,-1,1,\lpuntos}$

En términos más generales, la secuencia de potencias de cualquier raíz de la unidad es periódica. Lo mismo se aplica a las potencias de cualquier elemento de orden finito en un grupo .

Un punto periódico para una función f  : X → X es un punto x cuya órbita

${\displaystyle x,\,f(x),\,f(f(x)),\,f^{3}(x),\,f^{4}(x),\,\ldots }$

es una secuencia periódica. Aquí, significa la composición n -fold de f aplicada a x . Los puntos periódicos son importantes en la teoría de sistemas dinámicos . Toda función de un conjunto finito a sí misma tiene un punto periódico; la detección de ciclos es el problema algorítmico de encontrar dicho punto. $Estilo de visualización f^{n}(x)}$

${\displaystyle \suma _{n=1}^{kp+m}a_{n}=k*\suma _{n=1}^{p}a_{n}+\suma _{n=1}^{m}a_{n}}$Donde k y m<p son números naturales.

${\displaystyle \prod_{n=1}^{kp+m}a_{n}=({\prod_{n=1}^{p}a_{n}})^{k}*\prod_{n=1}^{m}a_{n}}$Donde k y m<p son números naturales.

Cualquier sucesión periódica puede construirse mediante la suma, resta, multiplicación y división de sucesiones periódicas formadas por ceros y unos. Las sucesiones periódicas de ceros y unos pueden expresarse como sumas de funciones trigonométricas:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{1}\cos \left(-\pi {\frac {n(k-1)}{1}}\right)/1=1,1,1,1,1,1,1,1,1,\cdots }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{2}\cos \left(2\pi {\frac {n(k-1)}{2}}\right)/2=0,1,0,1,0,1,0,1,0,\cdots }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{3}\cos \left(2\pi {\frac {n(k-1)}{3}}\right)/3=0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,\cdots }$

${\displaystyle \cdots}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\cos \left(2\pi {\frac {n(k-1)}{N}}\right)/N=0,0,0,\cdots ,1,\cdots \quad {\text{secuencia con período}}N}$

Un método estándar para demostrar estas identidades es aplicar la fórmula de De Moivre a la raíz de la unidad correspondiente . Estas secuencias son fundamentales en el estudio de la teoría de números .

Una secuencia es eventualmente periódica o en última instancia periódica ^[1] si se puede hacer periódica eliminando un número finito de términos desde el principio. De manera equivalente, la última condición se puede enunciar como para algún r y un k suficientemente grande . Por ejemplo, la secuencia de dígitos en la expansión decimal de 1/56 es eventualmente periódica: ${\displaystyle a_{k+r}=a_{k}}$

1/56 = 0. 0 1 7 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 ...

Una sucesión es asintóticamente periódica si sus términos se aproximan a los de una sucesión periódica. Es decir, la sucesión x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ , ... es asintóticamente periódica si existe una sucesión periódica a ₁ ,  a ₂ ,  a ₃ , ... para la cual

${\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}x_{n}-a_{n}=0.}$^[3]

Por ejemplo, la secuencia

1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 4/5, ...

es asintóticamente periódica, ya que sus términos se aproximan a los de la secuencia periódica 0, 1, 0, 1, 0, 1, ....