Número intocable

En matemáticas , un número intocable es un entero positivo que no puede expresarse como la suma de todos los divisores propios de ningún entero positivo. Es decir, estos números no se ajustan a la función de suma de alícuotas . Su estudio se remonta al menos a Abu Mansur al-Baghdadi (alrededor del año 1000 d. C.), quien observó que tanto el 2 como el 5 son intocables. ^{[ 1 ]}

• El número 4 no es intocable, ya que es igual a la suma de los divisores propios de 9: 1  +  3  =  4.
• El número 5 es intocable, ya que no es la suma de los divisores propios de ningún entero positivo: 5  =  1  +  4 es la única forma de escribir 5 como la suma de enteros positivos distintos que incluyen el 1, pero si 4 divide a un número, 2 también lo hace, por lo que 1  +  4 no puede ser la suma de todos los divisores propios de ningún número (ya que la lista de factores tendría que contener tanto el 4 como el 2).
• El número 6 no es intocable, ya que es igual a la suma de los divisores propios de 6: 1  +  2  +  3  =  6.

Los primeros números intocables son

2 , 5 , 52 , 88 , 96 , 120 , 124 , 146 , 162 , 188 , 206 , 210 , 216 , 238 , 246 , 248 , 262 , 268 , 276 , 288 , 290 , 292 , 304 , 306 , 322 , 324 , 326 , 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, ... (secuencia A005114 en el OEIS ) .

Se cree que el número 5 es el único número impar intocable, pero esto no se ha demostrado. Se deduciría de una versión ligeramente más fuerte de la conjetura de Goldbach , ya que la suma de los divisores propios de pq (con p y q primos distintos) es 1 + p + q . Por lo tanto, si un número n se puede escribir como suma de dos primos distintos, entonces n + 1 no es un número intocable. Se espera que todo número par mayor que 6 sea suma de dos primos distintos, por lo que probablemente ningún número impar mayor que 7 sea un número intocable.${\displaystyle 1=\sigma (2)-2}$,${\displaystyle 3=\sigma (4)-4}$,${\displaystyle 7=\sigma (8)-8}$, por lo que solo 5 puede ser un número intocable impar. ^{[ 2 ]} Así pues, parece que, aparte de 2 y 5, todos los números intocables son números compuestos (ya que, excepto 2, todos los números pares son compuestos). Ningún número perfecto es intocable, puesto que, como mínimo, puede expresarse como la suma de sus propios divisores propios . Del mismo modo, ninguno de los números amigables o sociables es intocable. Además, ninguno de los números de Mersenne es intocable, puesto que M _n = 2 ⁿ − 1 es igual a la suma de los divisores propios de 2 ⁿ .

Ningún número intocable es 1 más que un número primo , ya que si p es primo, entonces la suma de los divisores propios de p² es p + 1. Además, ningún número intocable es 3 más que un número primo, excepto el 5, ya que si p es un primo impar ^, entonces la suma de los divisores propios de 2p es p + 3 .      

Hay infinitos números intocables, un hecho que fue demostrado por Paul Erdős . ^{[ 3 ]} Según Chen y Zhao, su densidad natural es al menos d > 0,06. ^{[ 4 ]}

• Secuencia de alícuotas
• No totiente
• No copotente
• Número extraño

• Richard K. Guy , Problemas sin resolver en teoría de números (3.ª ed.), Springer Verlag , 2004 ISBN 0-387-20860-7; sección B10.

• Secuencia OEIS A070015 (Mínimo m tal que la suma de las partes alícuotas de m sea igual a n o 0 si no existe tal número)