No copotente

En teoría de números , un no cototiente es un entero positivo $n$ que no puede expresarse como la diferencia entre un entero positivo $m$ y el número de enteros coprimos menores que él. Es decir, $m - φ (m) = n$ , donde $φ$ representa la función totiente de Euler , no tiene solución para $m$ . El cototiente de $n$ se define como $n$ $-$ $φ$ $($ $n$ $)$ , por lo que un no cototiente es un número que nunca es cototiente.

Se conjetura que todos los no copotentes son pares. Esto se deduce de una forma modificada de la versión ligeramente más fuerte de la conjetura de Goldbach : si el número par $n$ puede representarse como una suma de dos primos distintos $p$ y $q$ , entonces

${\begin{aligned}pq-\varphi (pq)&=pq-(p-1)(q-1)\\&=p+q-1\\&=n-1.\end{aligned}}$

Se espera que todo número par mayor que 6 sea suma de dos primos distintos, por lo que probablemente ningún número impar mayor que 5 sea no copotente. Los números impares restantes están cubiertos por las observaciones $1 = 2 - φ (2)$ , $3 = 9 - φ (9)$ , y $5 = 25 - φ (25)$ .

Para números pares, se puede demostrar ${\begin{aligned}2pq-\varphi (2pq)&=2pq-(p-1)(q-1)\\&=pq+p+q-1\\&=(p+1)(q+1)-2\end{aligned}}$

Por lo tanto, todos los números pares $n$ tales que $n + 2$ se pueden escribir como $(p + 1)(q + 1)$ donde $p, q$ primos son cototientes.

Los primeros no copotentes son

10 , 26 , 34 , 50 , 52 , 58 , 86 , 100 , 116 , 122 , 130 , 134 , 146 , 154 , 170 , 172 , 186, 202, 206, 218, 222 , 232, 244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490, ... (secuencia A005278 en el OEIS )

El cototiente de $n$ es

0, 1, 1, 2, 1, 4, 1, 4, 3, 6, 1, 8, 1, 8, 7, 8, 1, 12, 1, 12, 9, 12, 1, 16, 5, 14, 9, 16, 1, 22, 1, 16, 13, 18, 11, 24, 1, 20, 15, 24, 1, 30, 1, 24, 21, 24, 1, 32, 7, 30, 19, 28, 1, 36, 15, 32, 21, 30, 1, 44, 1, 32, 27, 32, 17, 46, 1, 36, 25, 46, 1, 48, ... (secuencia A051953 en el OEIS )

Los menores $k$ tales que el cototiente de $k$ es $n$ son (comience con $n = 0$ , 0 si no existe tal $k )$

1, 2, 4, 9, 6, 25, 10, 15, 12, 21, 0, 35, 18, 33, 26, 39, 24, 65, 34, 51, 38, 45, 30, 95, 36, 69, 0, 63, 52, 161, 42, 87, 48, 93, 0, 75, 54, 217, 74, 99, 76, 185, 82, 123, 60, 117, 66, 215, 72, 141, 0, ... (secuencia A063507 en el OEIS )

Los mayores $k$ tales que el cototiente de $k$ es $n$ son (comience con $n = 0$ , 0 si no existe tal $k )$

1, ∞, 4, 9, 8, 25, 10, 49, 16, 27, 0, 121, 22, 169, 26, 55, 32, 289, 34, 361, 38, 85, 30, 529, 46, 133, 0, 187, 52, 841, 58, 961, 64, 253, 0, 323, 68, 1369, 74, 391, 76, 1681, 82, 1849, 86, 493, 70, 2209, 94, 589, 0, ... (secuencia A063748 en el OEIS )

El número de $k$ tales que $k - φ (k)$ es $n$ son (comenzando con $n = 0$ )

1, ∞, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 0, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 4, 4, 3, 0, 4, 1, 4, 3, 3, 4, 3, 0, 5, 2, 2, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 2, 4, 2, 6, 5, 5, 0, 3, 0, 6, 2, 4, 2, 5, 0, 7, 4, 3, 1, 8, 4, 6, 1, 3, 1, 5, 2, 7, 3, ... (secuencia A063740 en el OEIS )

Erdős (1913–1996) y Sierpinski (1882–1969) se preguntaron si existen infinitos no copotentes. Finalmente, Browkin y Schinzel (1995) respondieron afirmativamente a esta pregunta, mostrando a cada miembro de la familia infinita. $2^{k}\cdot 509203$ es un ejemplo (véase el número de Riesel ). Desde entonces, Flammenkamp y Luca (2000) han presentado otras familias infinitas, de forma aproximadamente similar.

Referencias

Browkin, J.; Schinzel, A. (1995). "Sobre enteros que no son de la forma n-φ(n)" . Colloq. Math . 68 (1): 55– 58. doi : 10.4064/cm-68-1-55-58 . Zbl 0820.11003 .
Flammenkamp, A.; Luca, F. (2000). "Familias infinitas de no copotentes" . Colloq. Math . 86 (1): 37– 41. doi : 10.4064/cm-86-1-37-41 . Zbl 0965.11003 .
Guy, Richard K. (2004). Problemas sin resolver en teoría de números (3.ª ed.). Springer-Verlag . pp. 138–142 . ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001 .

Enlaces externos

Definición de no copotente de MathWorld