Función suma de cuadrados

En teoría de números , la función suma de cuadrados es una función aritmética que da el número de representaciones para un entero positivo dado $n$ como la suma de $k$ cuadrados , donde las representaciones que difieren solo en el orden de los sumandos o en los signos de los números que se elevan al cuadrado se cuentan como diferentes. Se denota por $r k (n)$ .

Definición

La función se define como

r_{k}(n)=|\{(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k})\in \mathbb {Z} ^{k}\ :\ n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\}|

donde denota la cardinalidad de un conjunto . En otras palabras, $r$ $k$ $($ $n$ $)$ es la cantidad de formas en que $n$ puede escribirse como suma de $k$ cuadrados. ${\estilo de visualización |\,\ |}$

Por ejemplo, dado que cada suma tiene dos combinaciones de signos, y también dado que tiene cuatro combinaciones de signos. Por otro lado, porque no hay forma de representar 3 como suma de dos cuadrados. $estilo de visualización r_{2}(1)=4}$ $1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}$ $estilo de visualización r_{2}(2)=4}$ $2=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}$ $estilo de visualización r_{2}(3)=0}$

Fórmulas

a= 2

La cantidad de formas de escribir un número natural como suma de dos cuadrados está dada por $r 2 (n)$ . Está dada explícitamente por

r_{2}(n)=4(d_{1}(n)-d_{3}(n))

donde $d 1 (n)$ es el número de divisores de $n$ que son congruentes a 1 módulo 4 y $d 3 (n)$ es el número de divisores de $n$ que son congruentes a 3 módulo 4. Usando sumas, la expresión se puede escribir como:

r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n \atop d\,\equiv \,1,3{\pmod {4}}}(-1)^{(d-1)/2}

La factorización prima , donde son los factores primos de la forma y son los factores primos de la forma da otra fórmula $n=2^{g}p_{1}^{f_{1}}p_{2}^{f_{2}}\cdots q_{1}^{h_{1}}q_{2}^{h_{2}}\cdots$ $estilo de visualización p_{i}}$ $p_{i}\equiv 1{\pmod {4}},$ $estilo de visualización q_{i}}$ $q_{i}\equiv 3{\pmod {4}}$

r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots

, si todos los exponentes son pares . Si uno o más son impares , entonces .

h_{1},h_{2},\cpuntos

estilo de visualización h_{i}}

estilo de visualización r_{2}(n)=0}

a= 3

Gauss demostró que para un número libre de cuadrados $n > 4$ ,

r_{3}(n)={\begin{cases}24h(-n),&{\text{si }}n\equiv 3{\pmod {8}},\\0&{\text{si }}n\equiv 7{\pmod {8}},\\12h(-4n)&{\text{en caso contrario}},\end{cases}}

donde $h (m)$ denota el número de clase de un entero $m$ .

Existen extensiones de la fórmula de Gauss para cualquier entero $n$ . ^[1]^[2]

a= 4

El número de formas de representar $n$ como la suma de cuatro cuadrados se debió a Carl Gustav Jakob Jacobi y es ocho veces la suma de todos sus divisores que no son divisibles por 4, es decir

r_{4}(n)=8\sum _{d\,\mid \,n,\ 4\,\nmid \,d}d.

Representando $n = 2 k m$ , donde m es un entero impar, se puede expresar en términos de la función divisor de la siguiente manera: $estilo de visualización r_{4}(n)}$

r_{4}(n)=8\sigma (2^{\min\{k,1\}}m).

a= 6

El número de formas de representar $n$ como la suma de seis cuadrados está dado por

r_{6}(n)=4\sum _{d\mid n}d^{2}{\big (}4\left({\tfrac {-4}{n/d}}\right)-\left({\tfrac {-4}{d}}\right){\big )},

¿Dónde está el símbolo de Kronecker ? ^[3] $\left({\tfrac {\cdot }{\cdot }}\right)$

a= 8

Jacobi también encontró una fórmula explícita para el caso $k = 8$ : ^[3]

r_{8}(n)=16\sum _{d\,\mid \,n}(-1)^{n+d}d^{3}.

Función generadora

La función generadora de la secuencia para $k$ fijo se puede expresar en términos de la función theta de Jacobi : ^[4] $r_{k}(n)$

\vartheta (0;q)^{k}=\vartheta _{3}^{k}(q)=\sum _{n=0}^{\infty }r_{k}(n)q^{n},

dónde

\vartheta (0;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}=1+2q+2q^{4}+2q^{9}+2q^{16}+\cdots .

Valores numéricos

Los primeros 30 valores se enumeran en la siguiente tabla: $r_{k}(n),\;k=1,\dots ,8$

Véase también

Referencias

^ PT Bateman (1951). "Sobre la representación de un número como la suma de tres cuadrados" (PDF) . Trans. Amer. Math. Soc . 71 : 70–101. doi :10.1090/S0002-9947-1951-0042438-4.
^ S. Bhargava; Chandrashekar Adiga; DD Somashekara (1993). "Teorema de los tres cuadrados como aplicación de la identidad de Andrews" (PDF) . Fibonacci Quart . 31 (2): 129–133.
^ ab Cohen, H. (2007). "5.4 Consecuencias del teorema de Hasse-Minkowski". Teoría de números, volumen I: herramientas y ecuaciones diofánticas . Springer. ISBN 978-0-387-49922-2.
^ Milne, Stephen C. (2002). "Introducción". Familias infinitas de fórmulas exactas de sumas de cuadrados, funciones elípticas de Jacobi, fracciones continuas y funciones de Schur . Springer Science & Business Media. pág. 9. ISBN 1402004915.

Lectura adicional

Grosswald, Emil (1985). Representaciones de números enteros como sumas de cuadrados . Springer-Verlag. ISBN 0387961267.

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Función suma de cuadrados". MathWorld .
Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A122141 (número de formas de escribir n como suma de d cuadrados)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A004018 (serie theta de red cuadrada, r_2(n))". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.

[1] PT Bateman (1951). "Sobre la representación de un número como la suma de tres cuadrados" (PDF) . Trans. Amer. Math. Soc . 71 : 70–101. doi :10.1090/S0002-9947-1951-0042438-4.

[2] S. Bhargava; Chandrashekar Adiga; DD Somashekara (1993). "Teorema de los tres cuadrados como aplicación de la identidad de Andrews" (PDF) . Fibonacci Quart . 31 (2): 129–133.

[Cohen2007-3] Cohen, H. (2007). "5.4 Consecuencias del teorema de Hasse-Minkowski". Teoría de números, volumen I: herramientas y ecuaciones diofánticas . Springer. ISBN 978-0-387-49922-2.

[4] Milne, Stephen C. (2002). "Introducción". Familias infinitas de fórmulas exactas de sumas de cuadrados, funciones elípticas de Jacobi, fracciones continuas y funciones de Schur . Springer Science & Business Media. pág. 9. ISBN 1402004915.