Función psi de Dedekind

En teoría de números , la función psi de Dedekind es la función multiplicativa sobre los enteros positivos definida por

${\displaystyle \psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right),}$

donde el producto se toma sobre todos los primos que dividen (Por convención, , que es el producto vacío , tiene valor 1.) La función fue introducida por Richard Dedekind en relación con las funciones modulares .${\displaystyle p}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle \psi (1)}$

El valor de para los primeros enteros positivos es:${\displaystyle \psi (n)}$${\displaystyle n}$

1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24, ... (secuencia A001615 en el OEIS ) .

La función es mayor que para todo mayor que 1, y es par para todo mayor que 2. Si es un número libre de cuadrados , entonces , donde es la función suma de divisores .${\displaystyle \psi (n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \psi (n)=\sigma (n)}$${\displaystyle \sigma (n)}$

La función también puede definirse estableciendo para potencias de cualquier número primo y luego extendiendo la definición a todos los enteros por multiplicatividad. Esto también conduce a una demostración de la función generadora en términos de la función zeta de Riemann , que es${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi (p^{n})=(p+1)p^{n-1}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \sum {\frac {\psi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\zeta (2s)}}.}$

Esto también es consecuencia del hecho de que podemos escribir la función como una convolución de Dirichlet de .${\displaystyle \psi =\mathrm {Id} *|\mu |}$

También existe una definición aditiva de la función psi. Citando a Dickson, ^{[ 1 ]}

R. Dedekind ^{[ 2 ]} demostró que, si se descompone de todas las maneras en un producto y si es el mcd de entonces${\displaystyle n}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle e}$${\displaystyle a,b}$

${\displaystyle \sum _{a}(a/e)\varphi (e)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)}$

donde abarca todos los divisores de y los divisores primos de y es la función totiente .${\displaystyle a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \varphi }$

La generalización a órdenes superiores mediante razones del totiente de Jordan es

${\displaystyle \psi _{k}(n)={\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}}$

con la serie de Dirichlet

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\psi _{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (sk)}{\zeta (2s)}}}$.

También es la convolución de Dirichlet de una potencia y el cuadrado de la función de Möbius ,

${\displaystyle \psi _{k}(n)=n^{k}*\mu ^{2}(n)}$.

Si

${\displaystyle \epsilon _{2}=1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0\ldots }$

es la función característica de los cuadrados, otra convolución de Dirichlet conduce a la función σ generalizada ,

${\displaystyle \epsilon _{2}(n)*\psi _{k}(n)=\sigma _{k}(n)}$.

• Weisstein, Eric W. "Función de Dedekind" . MathWorld .

• Goro Shimura (1971). Introducción a la teoría aritmética de las funciones automorfas . Princeton.(página 25, ecuación (1))
• Mathar, Richard J. (2011). "Estudio de las series de Dirichlet de funciones aritméticas multiplicativas". arXiv : 1106.4038 [ math.NT ].Sección 3.13.2
• OEIS : A065958  es ψ ₂ , OEIS : A065959  es ψ ₃ y OEIS : A065960  es ψ ₄