Relación cuasititransitiva

La noción matemática de cuasititransitividad es una versión debilitada de la transitividad que se utiliza en la teoría de la elección social y en la microeconomía . De manera informal, una relación es cuasititransitiva si es simétrica para algunos valores y transitiva en el resto. El concepto fue introducido por Sen (1969) para estudiar las consecuencias del teorema de Arrow .

Definición formal

Una relación binaria T sobre un conjunto X es cuasititransitiva si para todos a , b y c en X se cumple lo siguiente:

(a\nombredeloperador {T} b)\wedge \neg (b\nombredeloperador {T} a)\wedge (b\nombredeloperador {T} c)\wedge \neg (c\nombredeloperador {T} b)\Rightarrow (a\nombredeloperador {T} c)\wedge \neg (c\nombredeloperador {T} a).

Si la relación también es antisimétrica , T es transitiva.

Alternativamente, para una relación T, defina la parte asimétrica o "estricta" P:

(a\nombredeloperador {P} b)\Flechaizquierdaderecha (a\nombredeloperador {T} b)\wedge \neg (b\nombredeloperador {T} a).

Entonces T es cuasitransitivo si y sólo si P es transitivo.

Ejemplos

En algunos contextos económicos, se supone que las preferencias son cuasititransitivas (en lugar de transitivas). El ejemplo clásico es el de una persona a la que le es indiferente entre 7 y 8 gramos de azúcar y entre 8 y 9 gramos de azúcar, pero que prefiere 9 gramos de azúcar a 7. ^[1] De manera similar, la paradoja de Sorites puede resolverse debilitando la transitividad supuesta de ciertas relaciones a la cuasititransitividad.

Propiedades

Una relación R es cuasititransitiva si, y solo si , es la unión disjunta de una relación simétrica J y una relación transitiva P. ^[2] J y P no están determinados de manera única por un R dado ; ^[3] sin embargo, la P de la parte "solo si" es mínima. ^[4]
En consecuencia, cada relación simétrica es cuasititransitiva, y también lo es cada relación transitiva. ^[5] Además, una relación antisimétrica y cuasititransitiva es siempre transitiva. ^[6]
La relación del ejemplo del azúcar anterior, {(7,7), (7,8), (7,9), (8,7), (8,8), (8,9), (9,8), (9,9)}, es cuasitransitiva, pero no transitiva.
Una relación cuasitransitiva no necesita ser acíclica : para cada conjunto no vacío A , la relación universal A × A es a la vez cíclica y cuasitransitiva.
Una relación es cuasititransitiva si, y sólo si, su complemento lo es.
De manera similar, una relación es cuasititransitiva si, y sólo si, su inversa lo es.

Véase también

Referencias

^ Robert Duncan Luce (abril de 1956). "Semiórdenes y una teoría de la discriminación de utilidad" (PDF) . Econometrica . 24 (2): 178–191. doi :10.2307/1905751. JSTOR 1905751.Aquí: p.179; el ejemplo original de Luce consiste en 400 comparaciones (de tazas de café con diferentes cantidades de azúcar) en lugar de sólo 2.
^ La nomenclatura sigue a Bossert & Suzumura (2009), p.2-3. — Para la parte "solo si" , defina xJy como xRy ∧ yRx , y defina xPy como xRy ∧ ¬ yRx . — Para la parte "si" , suponga que xRy ∧ ¬ yRx ∧ yRz ∧ ¬ zRy se cumple. Luego xPy y yPz , ya que xJy o yJz contradecirían ¬ yRx o ¬ zRy . Por lo tanto xPz por transitividad, ¬ xJz por disyunción, ¬ zJx por simetría. Por lo tanto, zRx implicaría zPx , y, por transitividad, zPy , lo que contradice ¬ zRy . En conjunto, esto prueba xRz ∧ ¬ zRx .
^ Por ejemplo, si R es una relación de equivalencia , J puede elegirse como la relación vacía , o como R mismo, y P como su complemento.
^ Dado R , siempre que xRy ∧ ¬ yRx se cumple, el par ( x , y ) no puede pertenecer a la parte simétrica, sino que debe pertenecer a la parte transitiva.
^ Dado que la relación vacía es trivialmente transitiva y simétrica.
^ La antisimetría de R obliga a J a ser correflexiva ; por lo tanto, la unión de J y la transitiva P es nuevamente transitiva.

Sen, A. (1969). "Cuasi-transitividad, elección racional y decisiones colectivas". Rev. Econ. Stud . 36 (3): 381–393. doi :10.2307/2296434. JSTOR 2296434. Zbl 0181.47302.
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Amartya K. Sen (1970). Elección colectiva y bienestar social . Holden-Day, Inc.
Amartya K. Sen (julio de 1971). "Funciones de elección y preferencia revelada" (PDF) . The Review of Economic Studies . 38 (3): 307–317. doi :10.2307/2296384. JSTOR 2296384.
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Bossert, Walter; Suzumura, Kotaro (abril de 2005). Elección racional en dominios arbitrarios: un tratamiento exhaustivo (PDF) (informe técnico). Universidad de Montreal, Universidad Hitotsubashi, Tokio.
Bossert, Walter; Suzumura, Kotaro (marzo de 2009). "Relaciones cuasitransitivas y consistentes con Suzumura" (PDF) . Social Choice and Welfare (Informe técnico). 39 (2–3). Universidad de Montreal, Universidad de Waseda, Tokio: 323–334. doi :10.1007/s00355-011-0600-z. S2CID 38375142. Archivado desde el original (PDF) el 12 de abril de 2018.
Bossert, Walter; Suzumura, Kōtarō (2010). Consistencia, elección y racionalidad . Harvard University Press. ISBN 978-0674052994.
Alan D. Miller y Shiran Rachmilevitch (febrero de 2014). Teorema de Arrow sin transitividad (PDF) (Documento de trabajo). Universidad de Haifa.

[1] Robert Duncan Luce (abril de 1956). "Semiórdenes y una teoría de la discriminación de utilidad" (PDF) . Econometrica . 24 (2): 178–191. doi :10.2307/1905751. JSTOR 1905751.Aquí: p.179; el ejemplo original de Luce consiste en 400 comparaciones (de tazas de café con diferentes cantidades de azúcar) en lugar de sólo 2.

[2] La nomenclatura sigue a Bossert & Suzumura (2009), p.2-3. — Para la parte "solo si" , defina xJy como xRy ∧ yRx , y defina xPy como xRy ∧ ¬ yRx . — Para la parte "si" , suponga que xRy ∧ ¬ yRx ∧ yRz ∧ ¬ zRy se cumple. Luego xPy y yPz , ya que xJy o yJz contradecirían ¬ yRx o ¬ zRy . Por lo tanto xPz por transitividad, ¬ xJz por disyunción, ¬ zJx por simetría. Por lo tanto, zRx implicaría zPx , y, por transitividad, zPy , lo que contradice ¬ zRy . En conjunto, esto prueba xRz ∧ ¬ zRx .

[3] Por ejemplo, si R es una relación de equivalencia , J puede elegirse como la relación vacía , o como R mismo, y P como su complemento.

[4] Dado R , siempre que xRy ∧ ¬ yRx se cumple, el par ( x , y ) no puede pertenecer a la parte simétrica, sino que debe pertenecer a la parte transitiva.

[5] Dado que la relación vacía es trivialmente transitiva y simétrica.

[6] La antisimetría de R obliga a J a ser correflexiva ; por lo tanto, la unión de J y la transitiva P es nuevamente transitiva.