Relación reflexiva

En matemáticas , una relación binaria${\displaystyle R}$en un plató${\displaystyle X}$es reflexivo si relaciona cada elemento de${\displaystyle X}$a sí mismo. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Un ejemplo de relación reflexiva es la relación " es igual a " en el conjunto de los números reales , ya que todo número real es igual a sí mismo. Se dice que una relación reflexiva posee la propiedad reflexiva o reflexividad . Junto con la simetría y la transitividad , la reflexividad es una de las tres propiedades que definen las relaciones de equivalencia .

La palabra reflexivo deriva originalmente del latín medieval reflexivus ('retroceso' [cf. reflex ], o 'dirigido sobre sí mismo') (c. 1250 d. C.), del latín clásico reflexus- ('giro', 'reflexión') + -īvus (sufijo). La palabra se incorporó al inglés moderno temprano en la década de 1580. El significado de 'dirigido sobre sí mismo', tal como se usa actualmente en matemáticas, sobrevive principalmente por su uso en filosofía y gramática (cf. Verbo reflexivo y Pronombre reflexivo ). ^{[ 3 ] [ 4 ]}

El primer uso explícito de "reflexividad", es decir, describir una relación como poseedora de la propiedad de que cada elemento está relacionado consigo mismo, se atribuye generalmente a Giuseppe Peano en sus Arithmetices principia (1889), donde define una de las propiedades fundamentales de la igualdad siendo${\displaystyle a=a}$. ^{[ 5 ] [ 6 ]} El primer uso de la palabra reflexivo en el sentido de matemáticas y lógica fue por Bertrand Russell en sus Principios de Matemáticas (1903). ^{[ 6 ] [ 7 ]}

Una relación${\displaystyle R}$en el set${\displaystyle X}$Se dice que es reflexivo si para cada${\displaystyle x\in X}$,${\displaystyle (x,x)\in R}$.

De forma equivalente, dejar${\displaystyle \operatorname {I} _{X}:=\{(x,x)~:~x\in X\}}$denotamos la relación de identidad en${\displaystyle X}$, la relación${\displaystyle R}$es reflexivo si${\displaystyle \operatorname {I} _{X}\subseteq R}$.

El cierre reflexivo de${\displaystyle R}$es la unión${\displaystyle R\cup \operatorname {I} _{X},}$que puede definirse equivalentemente como el más pequeño (con respecto a${\displaystyle \subseteq }$) relación reflexiva en${\displaystyle X}$que es un superconjunto de${\displaystyle R.}$Una relación${\displaystyle R}$es reflexiva si y solo si es igual a su clausura reflexiva.

La reducción reflexiva o núcleo irreflexivo de${\displaystyle R}$es el más pequeño (con respecto a${\displaystyle \subseteq }$) relación en${\displaystyle X}$que tiene el mismo cierre reflexivo que${\displaystyle R.}$Es igual a${\displaystyle R\setminus \operatorname {I} _{X}=\{(x,y)\in R~:~x\neq y\}.}$La reducción reflexiva de${\displaystyle R}$puede, en cierto sentido, ser visto como una construcción que es lo "opuesto" del cierre reflexivo de${\displaystyle R.}$ Por ejemplo, el cierre reflexivo de la desigualdad estricta canónica.${\displaystyle <}$en serio${\displaystyle \mathbb {R} }$es la desigualdad no estricta habitual${\displaystyle \leq }$mientras que la reducción reflexiva de${\displaystyle \leq }$es${\displaystyle <.}$

Algunos ejemplos de relaciones reflexivas son:

• "es igual a" ( igualdad )
• "es un subconjunto de" (inclusión de conjuntos)
• "divide" ( divisibilidad )
• "es mayor o igual que"
• "es menor o igual que"

Algunos ejemplos de relaciones irreflexivas son:

• "no es igual a"
• "es coprimo con" en los enteros mayores que 1
• "es un subconjunto propio de"
• "es mayor que"
• "es menor que"

Un ejemplo de una relación irreflexiva, lo que significa que no relaciona ningún elemento consigo misma, es la relación "mayor que" (${\displaystyle x>y}$) sobre los números reales . No toda relación que no sea reflexiva es irreflexiva; es posible definir relaciones donde algunos elementos están relacionados consigo mismos pero otros no (es decir, ni todos ni ninguno lo están). Por ejemplo, la relación binaria "el producto de${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$"es par" es reflexivo en el conjunto de números pares , irreflexivo en el conjunto de números impares y ni reflexivo ni irreflexivo en el conjunto de números naturales .

Un ejemplo de una relación cuasi-reflexiva${\displaystyle R}$es "tiene el mismo límite que" en el conjunto de secuencias de números reales: no toda secuencia tiene un límite, y por lo tanto la relación no es reflexiva, pero si una secuencia tiene el mismo límite que alguna otra, entonces tiene el mismo límite que sí misma. Un ejemplo de una relación cuasirreflexiva izquierda es una relación euclidiana izquierda , que siempre es cuasirreflexiva izquierda pero no necesariamente cuasirreflexiva derecha, y por lo tanto no necesariamente cuasirreflexiva.

Un ejemplo de relación coreflexiva es la relación entre los números enteros en la que cada número impar se relaciona consigo mismo y no existen otras relaciones. La relación de igualdad es el único ejemplo de una relación tanto reflexiva como coreflexiva, y cualquier relación coreflexiva es un subconjunto de la relación identidad. La unión de una relación coreflexiva y una relación transitiva sobre el mismo conjunto siempre es transitiva.

El número de relaciones reflexivas en un${\displaystyle n}$-conjunto de elementos es${\displaystyle 2^{n^{2}-n}.}$^{[ 11 ]}

Nótese que S ( n , k ) se refiere a los números de Stirling de segundo tipo .

Los autores en lógica filosófica suelen usar terminología diferente. Las relaciones reflexivas en el sentido matemático se denominan totalmente reflexivas en lógica filosófica, y las relaciones cuasi-reflexivas se denominan reflexivas . ^{[ 12 ] [ 13 ]}

• "Reflexividad" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]