Regla recíproca

En cálculo , la regla del recíproco proporciona la derivada del recíproco de una función f en términos de la derivada de f . La regla del recíproco se puede usar para demostrar que la regla de la potencia se cumple para exponentes negativos si ya se ha demostrado para exponentes positivos. Además, se puede deducir fácilmente la regla del cociente a partir de la regla del recíproco y la regla del producto . ^{[ 1 ]} 

La regla recíproca establece que si f es diferenciable en un punto x y f ( x ) ≠ 0, entonces g( x ) = 1/ f ( x ) también es diferenciable en x y  

$${\displaystyle g'(x)=-{\frac {f'(x)}{f(x)^{2}}}.}$$

Esta prueba se basa en la premisa de que${\displaystyle f}$es diferenciable en${\displaystyle x,}$y sobre el teorema de que${\displaystyle f}$entonces también es necesariamente continua allí. Aplicando la definición de la derivada de${\displaystyle g}$en${\displaystyle x}$con${\displaystyle f(x)\neq 0}$da $${\displaystyle {\begin{aligned}g'(x)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{f(x)}}\right)&=\lim _{h\to 0}\left({\frac {{\frac {1}{f(x+h)}}-{\frac {1}{f(x)}}}{h}}\right)\\&=\lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x)-f(x+h)}{h\cdot f(x)\cdot f(x+h)}}\right)\\&=\lim _{h\to 0}\left(-({\frac {(f(x+h)-f(x)}{h}})\cdot ({\frac {1}{f(x)\cdot f(x+h)}})\right)\end{aligned}}}$$ El límite de este producto existe y es igual al producto de los límites existentes de sus factores: $${\displaystyle \left(-\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right)\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {1}{f(x)\cdot f(x+h)}}\right)}$$ Debido a la diferenciabilidad de${\displaystyle f}$en${\displaystyle x}$El primer límite es igual a${\displaystyle -f'(x),}$y debido a${\displaystyle f(x)\neq 0}$y la continuidad de${\displaystyle f}$en${\displaystyle x}$El segundo límite es igual a${\displaystyle 1/f(x)^{2},}$produciendo así $${\displaystyle g'(x)=-f'(x)\cdot {\frac {1}{f(x)^{2}}}=-{\frac {f'(x)}{f(x)^{2}}}}$$

Se puede argumentar que desde

$${\displaystyle f(x)\cdot {\frac {1}{f(x)}}=1,}$$

una aplicación de la regla del producto dice que

$${\displaystyle f'(x)\left({\frac {1}{f}}\right)(x)+f(x)\left({\frac {1}{f}}\right)'(x)=0,}$$

y esto puede reordenarse algebraicamente para decir

$${\displaystyle \left({\frac {1}{f}}\right)'(x)={\frac {-f'(x)}{f(x)^{2}}}.}$$

Sin embargo, esto no demuestra que 1/ f sea diferenciable en x ; solo es válido cuando la diferenciabilidad de 1/ f en x ya está demostrada. De este modo, es un resultado más débil que la regla del recíproco demostrada anteriormente. No obstante, en el contexto del álgebra diferencial , donde no existe nada que no sea diferenciable y donde las derivadas no se definen por límites, es así como se establecen la regla del recíproco y la regla del cociente, más general. 

A menudo, la regla de poder establece que${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(x^{n})=nx^{n-1}}$, se demuestra mediante métodos que son válidos solo cuando n es un entero no negativo. Esto se puede extender a enteros negativos n dejando${\displaystyle n=-m}$donde m es un número entero positivo.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}x^{n}&={\frac {d}{dx}}\,\left({\frac {1}{x^{m}}}\right)\\&=-{\frac {{\frac {d}{dx}}x^{m}}{(x^{m})^{2}}},{\text{ por la regla del recíproco}}\\&=-{\frac {mx^{m-1}}{x^{2m}}},{\text{ por la regla de la potencia aplicada al entero positivo }}m,\\&=-mx^{-m-1}=nx^{n-1},{\text{ sustituyendo de nuevo }}n=-m.\end{aligned}}}$$

La regla recíproca es un caso especial de la regla del cociente, que establece que si f y g son diferenciables en x y g ( x ) ≠ 0 entonces  

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]={\frac {g(x)f\,'(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}.}$$

La regla del cociente se puede demostrar escribiendo

$${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}}$$

y luego aplicando primero la regla del producto, y luego aplicando la regla del recíproco al segundo factor.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]&={\frac {d}{dx}}\left[f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right]\\&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right]\\&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot \left[{\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}\right]\\&={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Mediante la regla de reciprocidad se puede hallar la derivada de las funciones secante y cosecante.

Para la función secante:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sec x&={\frac {d}{dx}}\,\left({\frac {1}{\cos x}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}\cos x}{\cos ^{2}x}}={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos x}}\cdot {\frac {\sin x}{\cos x}}=\sec x\tan x.\end{aligned}}}$$

La cosecante se trata de forma similar:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\csc x&={\frac {d}{dx}}\,\left({\frac {1}{\sin x}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}\sin x}{\sin ^{2}x}}=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}=-{\frac {1}{\sin x}}\cdot {\frac {\cos x}{\sin x}}=-\csc x\cot x.\end{aligned}}}$$

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