Función semiexponencial

En matemáticas , una función semiexponencial es una raíz cuadrada funcional de una función exponencial . Es decir, una función${\displaystyle f}$de tal manera que${\displaystyle f}$compuesta consigo misma da como resultado una función exponencial: ^{[ 1 ] [ 2 ]}$${\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}=ab^{x},}$$ para algunas constantes${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$.

Hellmuth Kneser propuso por primera vez una construcción holomorfa de la solución de${\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}=e^{x}}$en 1950.

Si una función${\displaystyle f}$se define utilizando las operaciones aritméticas estándar, exponenciales, logaritmos y constantes de valor real , entonces${\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}}$es subexponencial o superexponencial. ^{[ 3 ]} Por lo tanto, una función L de Hardy no puede ser semiexponencial.

Cualquier función exponencial puede escribirse como la autocomposición.${\displaystyle f(f(x))}$para infinitas opciones posibles de${\displaystyle f}$. En particular, para cada${\displaystyle A}$en el intervalo abierto${\displaystyle (0,1)}$y para cada función continua estrictamente creciente${\displaystyle g}$de${\displaystyle [0,A]}$sobre${\displaystyle [A,1]}$Existe una extensión de esta función a una función continua estrictamente creciente.${\displaystyle f}$sobre los números reales tales que${\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}=\exp x}$. ^{[ 4 ]} La función${\displaystyle f}$es la solución única a la ecuación funcional$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}g(x)&{\mbox{si }}x\in [0,A],\\\exp g^{-1}(x)&{\mbox{si }}x\in (A,1],\\\exp f(\ln x)&{\mbox{si }}x\in (1,\infty ),\\\ln f(\exp x)&{\mbox{si }}x\in (-\infty ,0).\\\end{cases}}}$$

Un ejemplo sencillo que lleva a${\displaystyle f}$que tiene una primera derivada continua${\displaystyle f'}$en todas partes y también causa ${\displaystyle f''\geq 0}$en todas partes (es decir,${\displaystyle f(x)}$es cóncava hacia arriba y${\displaystyle f'(x)}$aumentando, para todos los reales${\displaystyle x}$), es tomar${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}}$y${\displaystyle g(x)=x+{\tfrac {1}{2}}}$, donación $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\ln \left(e^{x}+{\tfrac {1}{2}}\right)&{\mbox{if }}x\leq -\ln 2,\\e^{x}-{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{if }}{-\ln 2}\leq x\leq 0,\\x+{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\tfrac {1}{2}},\\e^{x-1/2}&{\mbox{if }}{\tfrac {1}{2}}\leq x\leq 1,\\x{\sqrt {e}}&{\mbox{if }}1\leq x\leq {\sqrt {e}},\\e^{x/{\sqrt {e}}}&{\mbox{if }}{\sqrt {e}}\leq x\leq e,\\x^{\sqrt {e}}&{\mbox{if }}e\leq x\leq e^{\sqrt {e}},\\e^{x^{1/{\sqrt {e}}}}&{\mbox{if }}e^{\sqrt {e}}\leq x\leq e^{e},\ldots \\\end{cases}}}$$ Crone y Neuendorffer afirman que no existe ninguna función semiexponencial f(x) que sea a la vez (a) analítica y (b) siempre mapee números reales a números reales. La solución por partes anterior logra el objetivo (b) pero no el (a). Lograr el objetivo (a) es posible escribiendo${\displaystyle e^{x}}$como una serie de Taylor basada en un punto fijo Q (hay una infinidad de tales puntos fijos, pero todos son complejos no reales, por ejemplo${\displaystyle Q=0.3181315+1.3372357i}$), haciendo que Q también sea un punto fijo de f, es decir${\displaystyle f(Q)=e^{Q}=Q}$, luego calculando los coeficientes de la serie de Maclaurin de${\displaystyle f(x-Q)}$uno por uno. Esto da como resultado la solución holomorfa de Kneser.

La construcción de la solución de Kneser está estrechamente relacionada con el problema de extender la tetración a valores no enteros; el valor de${\displaystyle {}^{1/2}a}$puede entenderse como el valor de${\displaystyle f(1)}$, dónde${\displaystyle f(x)}$Satisface${\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}=a^{x}}$. Valores de ejemplo de la solución de Kneser de${\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}=e^{x}}$incluir${\displaystyle f(0)\approx 0.49856}$y${\displaystyle f{\bigl (}1)\approx 1.64635}$. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

Las funciones semiexponenciales se utilizan en la teoría de la complejidad computacional para tasas de crecimiento "intermedias" entre polinómicas y exponenciales. ^{[ 2 ]} Una función${\displaystyle f}$crece al menos tan rápido como alguna función semiexponencial (su composición consigo misma crece exponencialmente ) si no es decreciente y${\displaystyle f^{-1}(x^{C})=o(\log x)}$, por cada${\displaystyle C>0}$. ^{[ 8 ]}

• Función iterada : resultado de aplicar repetidamente una función matemática. 
• Ecuación de Schröder : ecuación para el punto fijo de composición funcional. 
• Ecuación de Abel : ecuación para una función que calcula valores iterados. 

• ¿Tiene la función exponencial una raíz cuadrada (composicional)?
• Funciones de “forma cerrada” con crecimiento semiexponencial