Raíz cuadrada funcional

En matemáticas , una raíz cuadrada funcional (a veces llamada semiiteración ) es una raíz cuadrada de una función con respecto a la operación de composición de funciones . En otras palabras, una raíz cuadrada funcional de una función g es una función f que satisface f ( f ( x )) = g ( x ) para todo x .

Las notaciones que expresan que f es una raíz cuadrada funcional de g son f = g _[1/2] y f = g _1/2 . ^{[ cita requerida ]}

• La raíz cuadrada funcional de la función exponencial (ahora conocida como función semiexponencial ) fue estudiada por Hellmuth Kneser en 1950. ^[1]
• Las soluciones de f ( f ( x )) = x sobre (las involuciones de los números reales ) fueron estudiadas por primera vez por Charles Babbage en 1815, y esta ecuación se llama ecuación funcional de Babbage . ^[2] Una solución particular es f ( x ) = ( b − x )/(1 + cx ) para bc ≠ −1 . Babbage notó que para cualquier solución dada f , su conjugado funcional Ψ ⁻¹ ∘ f ∘ Ψ por una función invertible arbitraria Ψ también es una solución. En otras palabras, el grupo de todas las funciones invertibles en la línea real actúa sobre el subconjunto que consiste en soluciones a la ecuación funcional de Babbage por conjugación .${\displaystyle \mathbb {R} }$  

Un procedimiento sistemático para producir n -raíces funcionales arbitrarias (incluyendo n reales, negativas e infinitesimales arbitrarias ) de funciones se basa en las soluciones de la ecuación de Schröder . ^{[3] [4] [5]} Existen infinitas soluciones triviales cuando se permite que el dominio de una función raíz f sea suficientemente mayor que el de g . ${\displaystyle g:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$

• f ( x ) = 2 x ² es una raíz cuadrada funcional de g ( x ) = 8 x ⁴ .
• Una raíz cuadrada funcional del n- ésimo polinomio de Chebyshev , , es , que en general no es un polinomio .${\displaystyle g(x)=T_{n}(x)}$${\displaystyle f(x)=\cos {({\sqrt {n}}\arccos(x))}}$
• ${\displaystyle f(x)=x/({\sqrt {2}}+x(1-{\sqrt {2}}))}$es una raíz cuadrada funcional de .${\displaystyle g(x)=x/(2-x)}$

sin _[2] ( x ) = sin(sin( x )) [ curva roja ]

sin _[1] ( x ) = sin( x ) = rin(rin( x )) [ curva azul ]

pecado _{[ ⁠1/2⁠ ]} ( x ) = rin( x ) = qin(qin( x ))[curvanaranja

pecado _{[ ⁠1/4⁠ ]} ( x ) = qin( x )[curva negra sobre la curva naranja]

sin _[–1] ( x ) = arcsin( x ) [curva discontinua]

(Véase. ^[6] Para la notación, véase [1] Archivado el 5 de diciembre de 2022 en Wayback Machine .)