Superfunción

En matemáticas , superfunción es un nombre no estándar para una función iterada para un índice de iteración continua complejizado. Aproximadamente, para alguna función f y para alguna variable x , la superfunción podría definirse mediante la expresión

${\displaystyle S(z;x)=\underbrace {f{\Big (}f{\big (}\dots f(x)\dots {\big )}{\Big )}} _{z{\text{ evaluaciones de la función}}\,f}.}$

Entonces, S ( z ; x ) puede interpretarse como la superfunción de la función f ( x ). Esta definición es válida solo para un índice entero positivo z . La variable x suele omitirse. Muchos estudios y aplicaciones de superfunciones emplean diversas extensiones de estas superfunciones a índices complejos y continuos , así como el análisis de su existencia, unicidad y evaluación. Las funciones de Ackermann y la tetración pueden interpretarse en términos de superfunciones.

El análisis de superfunciones surgió de las aplicaciones de la evaluación de iteraciones fraccionarias de funciones. Las superfunciones y sus inversas permiten evaluar no solo la primera potencia negativa de una función ( función inversa ), sino también cualquier iteración real e incluso compleja de esa función. Históricamente, una función temprana de este tipo considerada fue${\displaystyle {\sqrt {\exp }}}$; la función${\displaystyle {\sqrt {\,!\;}}}$luego se utilizó como logotipo del departamento de física de la Universidad Estatal de Moscú . ^{[ 1 ]}

En ese momento, estos investigadores no tenían acceso computacional para la evaluación de tales funciones, pero la función${\displaystyle {\sqrt {\exp }}}$tuvo más suerte que${\displaystyle {\sqrt {\,!\;}}}$: como mínimo, la existencia de la función holomorfa${\displaystyle \varphi }$de tal manera que${\displaystyle \varphi (\varphi (u))=\exp(u)}$Hellmuth Kneser lo había demostrado en 1950. ^{[ 2 ]}

Basándose en la elegante teoría de conjugación funcional de la ecuación de Schröder , ^{[ 3 ]} para su demostración, Kneser construyó la "superfunción" del mapa exponencial a través de la función de Abel correspondiente.${\displaystyle {\mathcal {X}}}$, satisfaciendo la ecuación de Abel relacionada

${\displaystyle {\mathcal {X}}(\exp(u))={\mathcal {X}}(u)+1.\ }$

de modo que ${\displaystyle {\mathcal {X}}(S(z;u))={\mathcal {X}}(u)+z\ }$. La función inversa que encontró Kneser,

${\displaystyle S(z;u)={\mathcal {X}}^{-1}(z+{\mathcal {X}}(u))}$

es una superexponencial completa , aunque no es real en el eje real; no puede interpretarse como tetracional , porque la condición${\displaystyle S(0;x)=x}$no se puede realizar para toda la superexponencial. La real${\displaystyle {\sqrt {\exp }}}$se puede construir con la tetracional (que también es una superexponencial); mientras que la real${\displaystyle {\sqrt {\,!\;}}}$se puede construir con el superfactorial .

Existe un libro dedicado a las superfunciones. ^{[ 4 ]}

La fórmula de recurrencia del preámbulo anterior se puede escribir como

${\displaystyle S(z+1;x)=f(S(z;x))~~~~~~~~\forall z\in \mathbb {N} :z>0}$

${\displaystyle S(1)=f(x).}$

En lugar de la última ecuación, se podría escribir la función identidad ,

${\displaystyle S(0)=x~,}$

y extender el rango de definición de la superfunción S a los enteros no negativos. Entonces, se puede postular

${\displaystyle S(-1)=f^{-1}(x),}$

y extender el rango de validez a los valores enteros mayores que −2.

La siguiente extensión, por ejemplo,

${\displaystyle S(-2)=f^{-2}(x)}$

no es trivial, porque la función inversa puede no estar definida para algunos valores de${\displaystyle x}$En particular, la tetración puede interpretarse como una superfunción de la exponenciación para alguna base real .${\displaystyle b}$; en este caso,

${\displaystyle f=\exp _{b}.}$

Entonces, en x = 1,

${\displaystyle S(-1)=\log _{b}1=0,}$

pero

${\displaystyle S(-2)=\log _{b}0}$

no está definido.

Para extender la funcionalidad a valores no enteros del argumento, la superfunción debe definirse de una manera diferente.

Para números complejos${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$de tal manera que${\displaystyle a}$pertenece a algún dominio conectado${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$, la superfunción (de${\displaystyle a}$a${\displaystyle b}$) de una función holomorfa f en el dominio${\displaystyle D}$es una función${\displaystyle S}$, holomorfo en el dominio${\displaystyle D}$, de tal manera que

${\displaystyle S(z\!+\!1)=f(S(z))~\forall z\in D:z\!+\!1\in D\ }$

${\displaystyle S(a)=b.\ }$

En general, la superfunción no es única. Para una función base dada${\displaystyle f}$, de un dado${\displaystyle (a\mapsto d)}$superfunción${\displaystyle S}$, otro${\displaystyle (a\mapsto d)}$ superfunción${\displaystyle G}$podría construirse como

${\displaystyle G(z)=S(z+\mu (z))\ }$

dónde${\displaystyle \mu }$es cualquier función 1- periódica , holomorfa al menos en alguna vecindad del eje real, tal que${\displaystyle \mu (a)=0}$.

La superfunción modificada puede tener un rango de holomorfía más estrecho. La variedad de posibles superfunciones es especialmente grande en el caso límite, cuando la amplitud del rango de holomorfía se vuelve cero; en este caso, se trata de superfunciones analíticas reales . ^{[ 5 ]}

Si el rango de holomorfía requerido es suficientemente grande, entonces se espera que la superfunción sea única, al menos en algunas funciones base específicas.${\displaystyle H}$. En particular, el${\displaystyle (C,0\mapsto 1)}$superfunción de ${\displaystyle \exp _{b}}$, para${\displaystyle b>1}$, se llama tetración y se cree que es única, al menos para ${\displaystyle C=\{z\in \mathbb {C} ~:~\Re (z)>-2\}}$; por el caso${\displaystyle b>\exp(1/\mathrm {e} )}$, ^{[ 6 ]} pero hasta 2009, la unicidad era una conjetura y no un teorema con una prueba matemática formal .

Esta breve colección de superfunciones elementales se ilustra en ^{[ 7 ]} . Algunas superfunciones pueden expresarse mediante funciones elementales ; se utilizan sin mencionar que son superfunciones. Por ejemplo, para la función de transferencia "++", que significa incremento unitario, la superfunción es simplemente la suma de una constante.

La inversa de una superfunción para un argumento adecuado x puede interpretarse como la función de Abel , la solución de la ecuación de Abel ,

${\displaystyle {\mathcal {X}}(\exp(u))={\mathcal {X}}(u)+1.\ }$

y por lo tanto

${\displaystyle {\mathcal {X}}(S(z;u))={\mathcal {X}}(u)+z.\ }$

La función inversa, cuando está definida, es

${\displaystyle S(z;u)={\mathcal {X}}^{-1}(z+{\mathcal {X}}(u)),}$

para dominios y rangos adecuados, cuando existen. La propiedad recursiva de S es entonces evidente por sí misma.

La figura de la izquierda muestra un ejemplo de transición desde ${\displaystyle \exp ^{1}\!=\!\exp }$a ${\displaystyle \exp ^{\!-1}\!=\!\ln }$La función iterada${\displaystyle \exp ^{z}}$versus argumento real se grafica para ${\displaystyle z=2,1,0.9,0.5,0.1,-0.1,-0.5,-0.9,-1,-2}$. La tetracional y ArcTetrational se utilizaron como superfunción ${\displaystyle S}$y la función de Abel${\displaystyle A}$de la exponencial. La figura de la derecha muestra estas funciones en el plano complejo. Para un número entero no negativo de iteraciones, la exponencial iterada es una función completa ; para valores no enteros, tiene dos puntos de ramificación , que corresponden al punto fijo.${\displaystyle L}$y ${\displaystyle L^{*}}$del logaritmo natural . En${\displaystyle z\!\geq \!0}$, función${\displaystyle \exp ^{z}(x)}$permanece holomorfo al menos en la tira${\displaystyle |\Im (z)|<\Im (L)\approx 1.3}$a lo largo del eje real.

Las superfunciones, generalmente las superexponenciales , se proponen como una función de rápido crecimiento para mejorar la representación de números de coma flotante en las computadoras. Dicha mejora extendería enormemente el rango de números grandes que aún se pueden distinguir del infinito.

Otras aplicaciones incluyen el cálculo de iteraciones fraccionarias (o potencias fraccionarias) de una función. Cualquier función holomorfa puede identificarse con una función de transferencia, y luego se pueden considerar sus superfunciones y las funciones de Abel correspondientes.

óptica no lineal

En la investigación de la respuesta no lineal de materiales ópticos, se supone que la muestra es ópticamente delgada, de modo que la intensidad de la luz no varía mucho al atravesarla. Entonces se puede considerar, por ejemplo, la absorción en función de la intensidad. Sin embargo, ante pequeñas variaciones de intensidad en la muestra, la precisión de la medición de la absorción en función de la intensidad es baja. La reconstrucción de la superfunción a partir de la función de transferencia permite trabajar con muestras relativamente gruesas, mejorando la precisión de las mediciones. En particular, la función de transferencia de una muestra similar, que es la mitad de delgada, podría interpretarse como la raíz cuadrada (es decir, la mitad de la iteración) de la función de transferencia de la muestra inicial.

Se sugiere un ejemplo similar para una fibra óptica no lineal . ^{[ 6 ]}

acústica no lineal

Podría ser útil caracterizar las no linealidades en la atenuación de ondas de choque en un tubo homogéneo. Esto podría tener aplicaciones en silenciadores avanzados, utilizando efectos acústicos no lineales para extraer la energía de las ondas sonoras sin perturbar el flujo del gas. Nuevamente, el análisis de la respuesta no lineal, es decir, la función de transferencia, puede mejorarse con la superfunción.

Evaporación y condensación

En el análisis de la condensación, se puede considerar el crecimiento (o vaporización) de una pequeña gota de líquido a medida que se difunde a través de un tubo con una concentración uniforme de vapor. En una primera aproximación, a una concentración fija de vapor, la masa de la gota en el extremo de salida se puede interpretar como la función de transferencia de la masa de entrada. La raíz cuadrada de esta función de transferencia caracterizará la mitad de la longitud del tubo.

avalancha de nieve

La masa de una bola de nieve que rueda cuesta abajo puede considerarse como una función del recorrido que ya ha realizado. A una longitud fija de este recorrido (que se puede determinar por la altura de la colina), esta masa también puede considerarse como una función de transferencia de la masa inicial. La masa de la bola de nieve podría medirse en la cima y en la base de la colina, obteniendo así la función de transferencia; entonces, la masa de la bola de nieve, en función de la longitud recorrida, es una superfunción.

Elemento operativo

Si se necesita construir un elemento operativo con una función de transferencia dada${\displaystyle H}$y quiere realizarlo como una conexión secuencial de un par de elementos operacionales idénticos, entonces cada uno de estos dos elementos debe tener una función de transferencia. ${\displaystyle h={\sqrt {H}}}$Dicha función puede evaluarse mediante la superfunción y la función de Abel de la función de transferencia.${\displaystyle H}$.

El elemento operativo puede tener cualquier origen: puede consistir en un microchip electrónico, un par mecánico de granos curvilíneos, un tubo en U asimétrico lleno de diferentes líquidos, etcétera.

Este artículo incorpora material del artículo de Citizendium " Superfunction ", que está bajo la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License pero no bajo la GFDL .

• Superfunción - TORI - Mizugadro, el sitio de investigación de Dmitrii Kouznetsov