Ecuación de Abel

La ecuación de Abel , llamada así por Niels Henrik Abel , es un tipo de ecuación funcional de la forma

${\displaystyle f(h(x))=h(x+1)}$

o

${\displaystyle \alpha(f(x))=\alpha(x)+1}$.

Las formas son equivalentes cuando α es invertible . h o α controlan la iteración de f .

La segunda ecuación se puede escribir

${\displaystyle \alpha ^{-1}(\alpha (f(x)))=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+1)\,.}$

Tomando x = α ⁻¹ ( y ) , la ecuación se puede escribir

${\displaystyle f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,.}$

Para una función conocida f ( x ) , un problema es resolver la ecuación funcional para la función α ⁻¹ ≡ h , posiblemente satisfaciendo requisitos adicionales, tales como α ⁻¹ (0) = 1 .

El cambio de variables s ^{α ( x )} = Ψ( x ) , para un parámetro real s , convierte la ecuación de Abel en la célebre ecuación de Schröder , Ψ( f ( x )) = s  Ψ( x ) .

El cambio adicional F ( x ) = exp( s ^{α ( x )} ) en la ecuación de Böttcher , F ( f ( x )) = F ( x ) ^s .

La ecuación de Abel es un caso especial de (y se generaliza fácilmente a) la ecuación de traducción , ^[1]

${\displaystyle \omega(\omega(x,u),v)=\omega(x,u+v)~,}$

por ejemplo, para , ${\displaystyle \omega(x,1)=f(x)}$

${\displaystyle \omega(x,u)=\alpha ^{-1}(\alpha(x)+u)}$. (Observe ω ( x ,0) = x .)

La función Abel α ( x ) proporciona además la coordenada canónica para los flujos advectivos de Lie ( grupos de Lie de un parámetro ).

Inicialmente, se presentó la ecuación en su forma más general ^{[2] [3] . Incluso en el caso de una sola variable, la ecuación no es trivial y admite un análisis especial. [4] [5] [6]}

En el caso de una función de transferencia lineal, la solución se puede expresar de forma compacta. ^[7]

La ecuación de tetración es un caso especial de la ecuación de Abel, con f = exp .

En el caso de un argumento entero, la ecuación codifica un procedimiento recurrente, por ejemplo,

${\displaystyle \alpha(f(f(x)))=\alpha(x)+2~,}$

etcétera,

${\displaystyle \alpha(f_{n}(x))=\alpha(x)+n~.}$

La ecuación de Abel tiene al menos una solución en si y sólo si para todos y todos , , donde , es la función f iterada n veces. ^[8]${\estilo de visualización E}$ ${\displaystyle x\en E}$${\displaystyle n\in \mathbb {N}}$$Estilo de visualización f^{n}(x)\neq x}$${\displaystyle f^{n}=f\circ f\circ ...\circ f}$

Las soluciones analíticas (coordenadas de Fatou) se pueden aproximar mediante la expansión asintótica de una función definida por series de potencias en los sectores alrededor de un punto fijo parabólico . ^[9] La solución analítica es única hasta una constante. ^[10]

• Ecuación funcional
  • La ecuación de Schröder
  • Ecuación de Böttcher
• Composiciones infinitas de funciones analíticas
• Función iterada
• Operador de turno
• Superfunción