Campo Hardy

En matemáticas , un cuerpo de Hardy es un cuerpo formado por gérmenes de funciones de valor real en el infinito que son cerradas bajo diferenciación . Reciben su nombre del matemático inglés G. H. Hardy .

Inicialmente, al menos, los cuerpos de Hardy se definieron en términos de gérmenes de funciones reales en el infinito. Específicamente, consideramos una colección H de funciones definidas para todos los números reales grandes, es decir, funciones f que mapean ( u , ∞) a los números reales R , para algún número real u que depende de f . Aquí y en el resto del artículo decimos que una función tiene la propiedad " eventualmente " si la tiene para todo x suficientemente grande ; por ejemplo, decimos que una función f en H es eventualmente cero si existe algún número real U tal que f ( x )  =  0 para todo x  ≥ U. Podemos formar una relación de equivalencia en H diciendo que f es equivalente a g si y solo si f − g es eventualmente cero. Las clases de equivalencia de esta relación se denominan gérmenes en el infinito.   

Si H forma un cuerpo bajo la suma y multiplicación usuales de funciones, entonces H también lo formará módulo esta relación de equivalencia bajo las operaciones de suma y multiplicación inducidas. Además, si toda función en H es eventualmente diferenciable y la derivada de cualquier función en H también está en H , entonces H módulo la relación de equivalencia anterior se denomina cuerpo de Hardy. ^{[ 1 ]}

Los elementos de un cuerpo de Hardy son, por lo tanto, clases de equivalencia y deberían denotarse, por ejemplo, [ f ] _∞ para denotar la clase de funciones que eventualmente son iguales a la función representativa f . Sin embargo, en la práctica, los elementos normalmente se denotan simplemente por los representantes mismos, por lo que en lugar de [ f ] _∞ se escribiría simplemente f .

Si F es un subcampo de R , podemos considerarlo un campo de Hardy al considerar sus elementos como funciones constantes; es decir, al considerar el número α en F como la función constante f _α que asigna a cada x en R un valor de α. Esto es un campo, ya que F lo es, y dado que la derivada de cada función en este campo es 0, lo cual debe estar en F, se trata de un campo de Hardy.

Un ejemplo menos trivial de un cuerpo de Hardy es el cuerpo de funciones racionales en R , denotado R ( x ). Este es el conjunto de funciones de la forma P ( x )/ Q ( x ), donde P y Q son polinomios con coeficientes reales. Dado que el polinomio Q solo puede tener un número finito de ceros según el teorema fundamental del álgebra , dicha función racional estará definida para todo x suficientemente grande , específicamente para todo x mayor que la mayor raíz real de Q. La suma y la multiplicación de funciones racionales dan como resultado más funciones racionales, y la regla del cociente muestra que la derivada de una función racional es también una función racional, por lo que R ( x ) forma un cuerpo de Hardy.

Otro ejemplo es el campo de funciones que pueden expresarse utilizando las operaciones aritméticas estándar, exponentes y logaritmos, y que están bien definidas en algún intervalo de la forma${\displaystyle (x,\infty )}$. ^{[ 2 ]} Estas funciones a veces se denominan funciones L de Hardy . Se pueden definir campos de Hardy mucho más grandes (que contienen funciones L de Hardy como subcampo) utilizando transseries .

Cada elemento de un campo de Hardy es, en última instancia, estrictamente positivo, estrictamente negativo o cero. Esto se deduce inmediatamente del hecho de que los elementos de un campo de Hardy son, en última instancia, diferenciables y, por lo tanto, continuos , y que, finalmente, tienen un inverso multiplicativo o son cero. Esto significa que las funciones periódicas, como el seno y el coseno, no pueden existir en los campos de Hardy.

Esta evitación de funciones periódicas también significa que cada elemento en un campo de Hardy tiene un límite (posiblemente infinito) en el infinito, por lo que si f es un elemento de H , entonces

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }f(x)}$

existe en R  ∪  { − ∞,+∞}. ^{[ 3 ]}

También significa que podemos establecer un orden en H diciendo f  < g si g − f es eventualmente estrictamente positivo. Esto convierte a H en un cuerpo ordenado . Nótese que f < g no es equivalente a que el límite de f sea menor que el límite de g . Por ejemplo, si consideramos los gérmenes de la función identidad f ( x ) = x y la función exponencial g ( x ) = e ^x entonces como g ( x ) − f ( x ) > 0 para todo x tenemos f < g . Pero ambas tienden a infinito. En este sentido, el orden nos dice cuán rápidamente todas las funciones no acotadas divergen a infinito. Incluso que los límites finitos sean iguales no es suficiente: consideremos f ( x ) = 1/ x y g ( x ) = 0.                   

La teoría moderna de los campos de Hardy no se limita a funciones reales, sino a aquellas definidas en ciertas estructuras que expanden campos reales cerrados . En efecto, si R es una expansión o-mínima de un campo, entonces el conjunto de funciones unarias definibles en R que están definidas para todos los elementos suficientemente grandes forma un campo de Hardy denotado H ( R ). ^{[ 4 ]} Las propiedades de los campos de Hardy en el contexto real se mantienen en este contexto más general.