Transseries

Primero definimos el subcampo${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$de${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$de las llamadas transseries libres de logaritmos . Son transseries que excluyen cualquier término logarítmico.

Definición inductiva:

Para${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$Definiremos un grupo multiplicativo linealmente ordenado de monomios.${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n}}$. Luego dejamos${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$denotan el campo de series bien basadas${\displaystyle \mathbb {R} [[{\mathfrak {M}}_{n}]]}$Este es el conjunto de mapas${\displaystyle \mathbb {R} \to {\mathfrak {M}}_{n}}$con soporte bien basado (es decir, bien ordenado inverso), equipado con suma puntual y producto de Cauchy (ver serie de Hahn ). En${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$, distinguimos el subanillo (no unitario)${\displaystyle \mathbb {T} _{n,\succ }^{E}}$de transseries puramente grandes , que son series cuyo soporte contiene solo monomios que se encuentran estrictamente por encima${\displaystyle 1}$.

Comenzamos con${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{0}=x^{\mathbb {R} }}$equipado con el producto${\displaystyle x^{a}x^{b}:=x^{a+b}}$y el orden${\displaystyle x^{a}\prec x^{b}\leftrightarrow a<b}$.

Si${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$es tal que${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n}}$y por lo tanto${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$y${\displaystyle \mathbb {T} _{n,\succ }^{E}}$están definidos, dejamos${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n+1}}$denotan el conjunto de expresiones formales${\displaystyle x^{a}e^{\theta }}$dónde${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$y${\displaystyle \theta \in \mathbb {T} _{n,\succ }^{E}}$Esto forma un grupo conmutativo linealmente ordenado bajo el producto${\displaystyle (x^{a}e^{\theta })(x^{a'}e^{\theta '})=(x^{a+a'})e^{\theta +\theta '}}$y el orden lexicográfico${\displaystyle x^{a}e^{\theta }\prec x^{a'}e^{\theta '}}$si y solo si${\displaystyle \theta <\theta '}$o (${\displaystyle \theta =\theta '}$y${\displaystyle a<a'}$).

La inclusión natural de${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{0}}$en${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{1}}$dado por identificar${\displaystyle x^{a}}$y${\displaystyle x^{a}e^{0}}$proporciona inductivamente una incrustación natural de${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n}}$en${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{n+1}}$y por lo tanto una incrustación natural de${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$en${\displaystyle \mathbb {T} _{n+1}^{E}}$Entonces podemos definir el grupo conmutativo linealmente ordenado.${\textstyle {\mathfrak {M}}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {M}}_{n}}$y el campo ordenado${\textstyle \mathbb {T} ^{E}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {T} _{n}^{E}}$que es el campo de las transseries sin logaritmos.

El campo${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$es un subcampo propio del campo${\displaystyle \mathbb {R} [[{\mathfrak {M}}]]}$de series bien basadas con coeficientes reales y monomios en${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$De hecho, cada serie${\displaystyle f}$en${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$tiene una profundidad exponencial limitada, es decir, el menor entero positivo${\displaystyle n}$de tal manera que${\displaystyle f\in \mathbb {T} _{n}^{E}}$, mientras que la serie

${\displaystyle e^{-x}+e^{-e^{x}}+e^{-e^{e^{x}}}+\cdots \in \mathbb {R} [[{\mathfrak {M}}]]}$

no tiene tal límite.

Exponenciación en${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$:

El campo de las transeries libres de logaritmos está equipado con una función exponencial que es un morfismo específico.${\displaystyle \exp$ :(\mathbb {T} ^{E},+)\to (\mathbb {T} ^{E,>},\times )} . Sea${\displaystyle f}$ser una serie transaccional sin logaritmos y dejar${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$sea ​​la profundidad exponencial de${\displaystyle f}$, entonces${\displaystyle f\in \mathbb {T} _{n}^{E}}$. Escribir${\displaystyle f}$ como la suma${\displaystyle f=\theta +r+\varepsilon }$en${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E},}$dónde${\displaystyle \theta \in \mathbb {T} _{n,\succ }^{E}}$,${\displaystyle r}$es un número real y${\displaystyle \varepsilon }$es infinitesimal (cualquiera de ellos podría ser cero). Entonces, la suma de Hahn formal

${\displaystyle E(\varepsilon ):=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {\varepsilon ^{k}}{k!}}}$

converge en${\displaystyle \mathbb {T} _{n}^{E}}$y definimos${\displaystyle \exp(f)=e^{\theta }\exp(r)E(\varepsilon )\in \mathbb {T} _{n+1}^{E}}$dónde${\displaystyle \exp(r)}$es el valor de la función exponencial real en${\displaystyle r}$.

Composición derecha con${\displaystyle e^{x}}$:

Una composición adecuada${\displaystyle \circ _{e^{x}}}$con la serie${\displaystyle e^{x}}$puede definirse por inducción sobre la profundidad exponencial por

${\displaystyle \left(\sum f_{\mathfrak {m}}{\mathfrak {m}}\right)\circ e^{x}:=\sum f_{\mathfrak {m}}({\mathfrak {m}}\circ e^{x}),}$

con${\displaystyle x^{r}\circ e^{x}:=e^{rx}}$De ello se deduce inductivamente que los monomios se conservan por${\displaystyle \circ _{e^{x}},}$Así, en cada paso inductivo, las sumas están bien fundamentadas y, por lo tanto, bien definidas.

Definición:

La función${\displaystyle \exp }$definido anteriormente no es sobre${\displaystyle \mathbb {T} ^{E,>}}$por lo que el logaritmo está solo parcialmente definido en${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$: por ejemplo la serie${\displaystyle x}$no tiene logaritmo. Además, toda transerie infinita positiva sin logaritmo es mayor que alguna potencia positiva de${\displaystyle x}$. Para pasar de${\displaystyle \mathbb {T} ^{E}}$a${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$, uno puede simplemente "conectar" en la variable${\displaystyle x}$de series formales de logaritmos iterados${\displaystyle \ell _{n},n\in \mathbb {N} }$que se comportará como el recíproco formal del${\displaystyle n}$término exponencial iterado -veces denotado${\displaystyle e_{n}}$.

Para${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} ,}$dejar${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{m,n}}$denotan el conjunto de expresiones formales${\displaystyle {\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}}$dónde${\displaystyle {\mathfrak {u}}\in {\mathfrak {M}}_{m}}$. Convertimos esto en un grupo ordenado definiendo${\displaystyle ({\mathfrak {u}}\circ \ell _{n})({\mathfrak {v}}\circ \ell _{n}(x)):=({\mathfrak {u}}{\mathfrak {v}})\circ \ell _{n}}$y definiendo${\displaystyle {\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}\prec {\mathfrak {v}}\circ \ell _{n}}$cuando${\displaystyle {\mathfrak {u}}\prec {\mathfrak {v}}}$. Definimos${\displaystyle \mathbb {T} _{m,n}^{LE}:=\mathbb {R} [[{\mathfrak {M}}_{m,n}]]}$. Si${\displaystyle n'>n}$y${\displaystyle m'\geq m+(n'-n),}$nosotros integramos${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{m,n}}$en${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{m',n'}}$mediante la identificación de un elemento${\displaystyle {\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}}$con el término

${\displaystyle \left({\mathfrak {u}}\circ \overbrace {e^{x}\circ \cdots \circ e^{x}} ^{n'-n}\right)\circ \ell _{n'}.}$

Luego obtenemos${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$como la unión dirigida

${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}=\bigcup _{m,n\in \mathbb {N} }\mathbb {T} _{m,n}^{LE}.}$

En${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE},}$la composición correcta${\displaystyle \circ _{\ell }}$con${\displaystyle \ell }$se define naturalmente por

${\displaystyle \mathbb {T} _{m,n}^{LE}\ni \left(\sum f_{{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n}}{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n}\right)\circ \ell$ :=\sum f_{{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n}}{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n+1}\in \mathbb {T} _{m,n+1}^{LE}.}

Exponencial y logaritmo:

La exponenciación se puede definir en${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$de forma similar a como ocurre con las series transrelativas sin registro, pero aquí también${\displaystyle \exp }$tiene una recíproca${\displaystyle \log }$en${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE,>}}$De hecho, para una serie estrictamente positiva${\displaystyle f\in \mathbb {T} _{m,n}^{LE,>}}$, escribir${\displaystyle f={\mathfrak {m}}r(1+\varepsilon )}$dónde${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$es el monomio dominante de${\displaystyle f}$(elemento más importante de su apoyo),${\displaystyle r}$es el coeficiente real positivo correspondiente, y${\displaystyle \varepsilon$ :={\frac {f}{{\mathfrak {m}}r}}-1} es infinitesimal. La suma de Hahn formal

${\displaystyle L(1+\varepsilon ):=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {(-\varepsilon )^{k}}{k+1}}}$

converge en${\displaystyle \mathbb {T} _{m,n}^{LE}}$. Escribir${\displaystyle {\mathfrak {m}}={\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}}$dónde${\displaystyle {\mathfrak {u}}\in {\mathfrak {M}}_{m}}$en sí mismo tiene la forma${\displaystyle {\mathfrak {u}}=x^{a}e^{\theta }}$dónde${\displaystyle \theta \in \mathbb {T} _{m,\succ }^{E}}$y${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$. Definimos${\displaystyle \ell ({\mathfrak {m}}):=a\ell _{n+1}+\theta \circ \ell _{n}}$Finalmente lo logramos.

${\displaystyle \log(f):=\ell ({\mathfrak {m}})+\log(c)+L(1+\varepsilon )\in \mathbb {T} _{m,n+1}^{LE}.}$

También se puede definir el campo de transseries log-exp como un subcampo del campo ordenado.${\displaystyle \mathbf {No} }$de números surrealistas. ^{[ 4 ]} El campo${\displaystyle \mathbf {No} }$está equipado con las funciones exponenciales y logarítmicas de Gonshor-Kruskal ^{[ 5 ]} y con su estructura natural de campo de series basadas en pozos bajo la forma normal de Conway. ^{[ 6 ]}

Definir${\displaystyle F_{0}^{LE}=\mathbb {R} (\omega )}$, el subcampo de${\displaystyle \mathbf {No} }$generado por${\displaystyle \mathbb {R} }$y el número surrealista infinito positivo más simple${\displaystyle \omega }$(que corresponde naturalmente al ordinal${\displaystyle \omega }$y como una serie trans de la serie${\displaystyle x}$). Luego, para${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, definir${\displaystyle F_{n+1}^{LE}}$como el campo generado por${\displaystyle F_{n}^{LE}}$, exponenciales de elementos de${\displaystyle F_{n}^{LE}}$y logaritmos de elementos estrictamente positivos de${\displaystyle F_{n}^{LE}}$, así como (Hahn) sumas de familias sumables en${\displaystyle F_{n}^{LE}}$El sindicato${\textstyle F_{\omega }^{LE}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }F_{n}^{LE}}$es naturalmente isomorfo a${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$. De hecho, existe un isomorfismo único de este tipo que envía${\displaystyle \omega }$a${\displaystyle x}$y conmuta con la exponenciación y sumas de familias sumables en${\displaystyle F_{\omega }^{LE}}$acostado en${\displaystyle F_{\omega }}$.

• Continuando este proceso mediante inducción transfinita en${\displaystyle \mathbf {Ord} }$más allá de${\displaystyle F_{\omega }^{LE}}$Tomando uniones en ordinales límite, se obtiene un campo del tamaño de clase adecuado.${\displaystyle \mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle }$equipado canónicamente con una derivación y una composición que extiende la de${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$(Véase Operaciones en series transversales más abajo).

• Si en lugar de${\displaystyle F_{0}^{LE}}$uno comienza con el subcampo${\displaystyle F_{0}^{EL}:=\mathbb {R} (\omega ,\log \omega ,\log \log \omega ,\ldots )}$generado por${\displaystyle \mathbb {R} }$y todas las iteraciones finitas de${\displaystyle \log }$en${\displaystyle \omega }$y para${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,F_{n+1}^{EL}}$es el subcampo generado por${\displaystyle F_{n}^{EL}}$, exponenciales de elementos de${\displaystyle F_{n}^{EL}}$y sumas de familias sumables en${\displaystyle F_{n}^{EL}}$, entonces se obtiene una copia isomorfa del campo${\displaystyle \mathbb {T} ^{EL}}$de transseries exponenciales-logarítmicas , que es una extensión propia de${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$equipado con una función exponencial total. ^{[ 7 ]}

La derivación de Berarducci-Mantova ^{[ 8 ]} en${\displaystyle \mathbf {No} }$coincide en${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$con su derivación natural, y es único para satisfacer relaciones de compatibilidad con la estructura de campo ordenado exponencial y la estructura de campo de serie generalizada de${\displaystyle \mathbb {T} ^{EL}}$y${\displaystyle \mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle .}$

Contrario a${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE},}$la derivación en${\displaystyle \mathbb {T} ^{EL}}$y${\displaystyle \mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle }$no es sobreyectiva: por ejemplo la serie

${\displaystyle {\frac {1}{\omega \log \omega \log \log \omega \cdots }}:=\exp(-(\log \omega +\log \log \omega +\log \log \log \omega +\cdots ))\in \mathbb {T} ^{EL}}$

no tiene un antiderivado en${\displaystyle \mathbb {T} ^{EL}}$o${\displaystyle \mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle }$(Esto está relacionado con el hecho de que esos campos no contienen ninguna función transexponencial).

Las transseries tienen propiedades de cierre muy fuertes, y se pueden definir muchas operaciones sobre transseries:

• Las transeries log-exp forman un campo ordenado exponencialmente cerrado : las funciones exponencial y logarítmica son totales. Por ejemplo:

${\displaystyle \exp(x^{-1})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{-n}\quad {\text{and}}\quad \log(x+\ell )=\ell +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(x^{-1}\ell )^{n}}{n+1}}.}$

• El logaritmo se define para argumentos positivos.
• Las series transrelativas log-exp son reales cerradas .
• Integración: cada transserie de log-exp${\displaystyle f}$tiene una antiderivada única con término constante cero${\displaystyle F\in \mathbb {T} ^{LE}}$,${\displaystyle F'=f}$y${\displaystyle F_{1}=0}$.
• Antiderivada logarítmica: para${\displaystyle f\in \mathbb {T} ^{LE}}$, hay${\displaystyle h\in \mathbb {T} ^{LE}}$con${\displaystyle f'=fh'}$.

Nota 1. Las dos últimas propiedades significan que${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$¿Está cerrado Liouville ?

Nota 2. Al igual que una función no trigonométrica elemental, cada transerie infinita positiva${\displaystyle f}$tiene exponencialidad integral, incluso en este sentido fuerte:

${\displaystyle \exists k,n\in \mathbb {N}$ :\quad \ell _{nk}-1\leq \ell _{n}\circ f\leq \ell _{nk}+1.}

El número${\displaystyle k}$es único, se llama exponencialidad de${\displaystyle f}$.

Una propiedad original de${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$es que admite una composición${\displaystyle \circ$ :\mathbb {T} ^{LE}\times \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }\to \mathbb {T} ^{LE}} (donde${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$es el conjunto de transseries logarítmicas exponenciales infinitas positivas) que nos permite ver cada transserie logarítmica exponencial${\displaystyle f}$como una función en${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$. Hablando informalmente, para${\displaystyle g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }}$y${\displaystyle f\in \mathbb {T} ^{LE}}$, la serie${\displaystyle f\circ g}$se obtiene reemplazando cada aparición de la variable${\displaystyle x}$en${\displaystyle f}$por${\displaystyle g}$.

El${\displaystyle \left\langle +,\times ,\partial ,<,\prec \right\rangle }$teoría de${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$es decidible y puede axiomatizarse de la siguiente manera (este es el Teorema 2.2 de Aschenbrenner et al.):

• ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$es un campo diferencial de valores ordenados.
• ${\displaystyle f>0\wedge f\succ 1\Longrightarrow f'>0}$
• ${\displaystyle f\prec 1\Longrightarrow f'\prec 1}$
• ${\displaystyle \forall f\exists g:\quad g'=f}$
• ${\displaystyle \forall f\exists h:\quad h'=fh}$
• Propiedad de valor intermedio (PVI):

${\displaystyle P(f)<0\wedge P(g)>0\Longrightarrow \exists h:\quad P(h)=0,}$

donde P es un polinomio diferencial, es decir, un polinomio en${\displaystyle f,f',f'',\ldots ,f^{(k)}.}$

En esta teoría, la exponenciación se define esencialmente para funciones (usando diferenciación) pero no para constantes; de hecho, todo subconjunto definible de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$es semialgebraico .

El${\displaystyle \langle +,\times ,\exp ,<\rangle }$teoría de${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$es la del campo exponencial real ordenado exponencial${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\times ,\exp ,<)}$, que es un modelo completo según el teorema de Wilkie .