función exponencial p -ádica

En matemáticas , particularmente en el análisis p -ádico , la función exponencial p -ádica es un análogo p -ádico de la función exponencial usual en los números complejos . Al igual que en el caso complejo, tiene una función inversa , denominada logaritmo p -ádico .

La función exponencial usual en C se define mediante la serie infinita

${\displaystyle \exp(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

De forma totalmente análoga, se define la función exponencial en C _p , la completación del cierre algebraico de Q _p , mediante

${\displaystyle \exp _{p}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

Sin embargo, a diferencia de exp, que converge en todo C , exp _p solo converge en el disco

${\displaystyle |z|_{p}<p^{-1/(p-1)}.}$

Esto se debe a que las series p -ádicas convergen si y solo si los sumandos tienden a cero, y dado que el n ! en el denominador de cada sumando tiende a hacerlos grandes p -ádicamente, se necesita un valor pequeño de z en el numerador. De la fórmula de Legendre se deduce que si${\displaystyle |z|_{p}<p^{-1/(p-1)}}$entonces${\displaystyle {\frac {z^{n}}{n!}}}$tiende a${\displaystyle 0}$, p -ádicamente.

Aunque la exponencial p -ádica a veces se denota como e ^x , el número e en sí mismo no tiene un análogo p -ádico. Esto se debe a que la serie de potencias exp _p ( x ) no converge en x = 1. Es posible elegir un número e que sea una raíz p -ésima de exp _p ( p ) para p ≠ 2 , ^{[ a ]} ​​pero hay múltiples raíces de este tipo y no hay una elección canónica entre ellas. ^{[ 1 ]}

La serie de poder

${\displaystyle \log _{p}(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}},}$

converge para x en C _p que satisface | x | _p < 1 y así define la función logaritmo p-ádico log _p ( z ) para | z − 1| _p < 1 que satisface la propiedad usual log _p ( zw ) = log _p z + log _p w . La función log _p puede extenderse a todo C × p (el conjunto de elementos no nulos de C _p ) imponiendo que continúa satisfaciendo esta última propiedad y estableciendo log _p ( p ) = 0. Específicamente, cada elemento w de C × p puede escribirse como w = p ^r ·ζ· z con r un número racional , ζ una raíz de la unidad y | z − 1| _p < 1, ^{[ 2 ]} en cuyo caso log _p ( w ) = log _p ( z ). ^{[ b ]} Esta función en C × p a veces se llama logaritmo de Iwasawa para enfatizar la elección de log _p ( p ) = 0. De hecho, hay una extensión del logaritmo desde | z − 1| _p < 1 a todo C × p para cada elección de log _p ( p ) en C _p . ^{[ 3 ]}                              

Si z y w están ambos en el radio de convergencia para exp _p , entonces su suma también lo está y tenemos la fórmula de adición habitual: exp _p ( z  + w ) = exp _p ( z )exp _p ( w ).   

De manera similar, si z y w son elementos distintos de cero de C _p, entonces log _p ( zw )  =  log _p z  +  log _p w .

Para z en el dominio de exp _p , tenemos exp _p (log _p (1+ z ))  =  1+ z y log _p (exp _p ( z ))  = z . 

Las raíces del logaritmo de Iwasawa log _p ( z ) son exactamente los elementos de C _p de la forma p ^r ·ζ donde r es un número racional y ζ es una raíz de la unidad. ^{[ 4 ]}

Nótese que no existe un análogo en C _p de la identidad de Euler , e ^{2 πi}  =  1. Este es un corolario del teorema de Strassmann .

Otra diferencia importante con respecto a la situación en C es que el dominio de convergencia de exp _p es mucho menor que el de log _p . En su lugar , se puede utilizar una función exponencial modificada —la exponencial de Artin-Hasse— que converge cuando | z | _p < 1.  

• exponencial p-ádico y logaritmo p-ádico