Función de Mittag-Leffler

En matemáticas , las funciones de Mittag-Leffler son una familia de funciones especiales . Son funciones de valor complejo con un argumento complejo z y, además, dependen de uno o dos parámetros complejos.

La función de Mittag-Leffler de un parámetro , introducida por Gösta Mittag-Leffler en 1903, ^{[ 1 ] [ 2 ]} puede definirse mediante la serie de Maclaurin.

${\displaystyle E_{\alpha }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (\alpha k+1)}},}$

dónde${\displaystyle \Gamma (x)}$es la función gamma y${\displaystyle \alpha }$es un parámetro complejo con${\displaystyle \operatorname {Re} \left(\alpha \right)>0}$.

La función de Mittag-Leffler de dos parámetros , introducida por Wiman en 1905, ^{[ 3 ] [ 2 ]} se denomina ocasionalmente función de Mittag-Leffler generalizada . Tiene un parámetro complejo adicional.${\displaystyle \beta }$y puede definirse mediante la serie ^{[ 2 ] [ 4 ]}

${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)=\sum _ {k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (\alpha k+\beta )}},}$

Cuando${\displaystyle \beta =1}$, la función de un parámetro${\displaystyle E_{\alpha }=E_{\alpha,1}}$se recupera.

En el caso${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$son reales y positivos, la serie converge para todos los valores del argumento.${\displaystyle z}$, por lo tanto, la función de Mittag-Leffler es una función entera . Esta clase de funciones es importante en la teoría del cálculo fraccionario .

Consulte a continuación las generalizaciones de tres parámetros .

Para${\displaystyle \alpha >0}$, la función de Mittag-Leffler${\displaystyle E_{\alpha,\beta}(z)}$es una función completa del orden${\displaystyle 1/\alpha }$y tipo${\displaystyle 1}$para cualquier valor de${\displaystyle \beta }$En cierto sentido, la función de Mittag-Leffler es la función entera más simple de su orden. La función indicadora de${\ Displaystyle E _ {\ alpha} (z)}$es ^{[ 5 ] : 50}$${\displaystyle h_{E_{\alpha }}(\theta )={\begin{cases}\cos \left({\frac {\theta }{\alpha }}\right),&{\text{para }}|\theta |\leq {\frac {1}{2}}\alpha \pi$$ ;\\0,&{\text{en otro caso}}.\end{cases}}} Este resultado en realidad se cumple para${\displaystyle \beta \neq 1}$también con algunas restricciones en${\displaystyle \beta }$cuando${\displaystyle \alpha =1}$. ^{[ 6 ] : 67}

La función de Mittag-Leffler satisface la propiedad de recurrencia (Teorema 5.1 de ^{[ 2 ]} ).

${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)={\frac {1}{z}}E_{\alpha ,\beta -\alpha }(z)-{\frac {1}{z\Gamma (\beta -\alpha )}},}$

de donde se cumple la siguiente expansión asintótica  : para${\displaystyle 0<\alpha <2}$y${\displaystyle \mu }$real tal que ${\displaystyle {\frac {\pi \alpha }{2}}<\mu <\min(\pi ,\pi \alpha )}$entonces para todos${\displaystyle N\in \mathbb {N} ^{*},N\neq 1}$, podemos mostrar las siguientes expansiones asintóticas (Sección 6. de ^{[ 2 ]} ):

-como${\displaystyle \,|z|\to +\infty ,|{\text{arg}}(z)|\leq \mu }$:

${\displaystyle E_{\alpha }(z)={\frac {1}{\alpha }}\exp(z^{\frac {1}{\alpha }})-\sum \limits _{k=1}^{N}{\frac {1}{z^{k}\,\Gamma (1-\alpha k)}}+O\left({\frac {1}{z^{N+1}}}\right)}$,

-y como${\displaystyle \,|z|\to +\infty ,\mu \leq |{\text{arg}}(z)|\leq \pi }$:

${\displaystyle E_{\alpha }(z)=-\sum \limits _{k=1}^{N}{\frac {1}{z^{k}\Gamma (1-\alpha k)}}+O\left({\frac {1}{z^{N+1}}}\right)}$.

Se proporciona una estimación más simple que a menudo puede ser útil, gracias al hecho de que el orden y el tipo de${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)}$es${\displaystyle 1/\alpha }$y${\displaystyle 1}$, respectivamente: ^{[ 6 ] : 62}

${\displaystyle |E_{\alpha ,\beta }(z)|\leq C\exp \left(\sigma |z|^{1/\alpha }\right)}$

por cualquier positivo${\displaystyle C}$y cualquier${\displaystyle \sigma >1}$.

Para${\displaystyle \alpha =0}$, la serie anterior es igual al desarrollo de Taylor de la serie geométrica y, en consecuencia,${\displaystyle E_{0,\beta }(z)={\frac {1}{\Gamma (\beta )}}{\frac {1}{1-z}}}$.

Para${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}},1,2}$encontramos: (Sección 2 de ^{[ 2 ]} )

Función de error :

${\displaystyle E_{\frac {1}{2}}(z)=\exp(z^{2})\operatorname {erfc} (-z).}$

Función exponencial :

${\displaystyle E_{1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (k+1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=\exp(z).}$

Funciones hiperbólicas :

${\displaystyle E_{2}(z)=\cosh({\sqrt {z}}),{\text{ and }}E_{2}(-z^{2})=\cos(z).}$

Para${\displaystyle \beta =2}$, tenemos

${\displaystyle E_{1,2}(z)={\frac {e^{z}-1}{z}},}$

${\displaystyle E_{2,2}(z)={\frac {\sinh({\sqrt {z}})}{\sqrt {z}}}.}$

Para${\displaystyle \alpha =0,1,2}$, la integral

${\displaystyle \int _{0}^{z}E_{\alpha }(-s^{2})\,{\mathrm {d} }s}$

da, respectivamente:${\displaystyle \arctan(z)}$,${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {erf} (z)}$, ${\displaystyle \sin(z)}$.

Funciones hipergeométricas :

Para${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$una fórmula general para un parámetro semi-entero${\displaystyle {\frac {p}{2}}}$es

${\displaystyle E_{\frac {p}{2}}(z)={}_{0}F_{p-1}{\bigg (};{\frac {1}{p}},{\frac {2}{p}},...,{\frac {p-1}{p}};{\frac {z^{2}}{p^{p}}}{\bigg )}+{\frac {2^{\frac {p+1}{2}}z}{p!{\sqrt {\pi }}}}{}_{1}F_{2p-1}{\bigg (}1;{\frac {p+2}{2p}},{\frac {p+3}{2p}},...,{\frac {3p}{2p}};{\frac {z^{2}}{p^{p}}}{\bigg )}}$^{[ 7 ]}

Función gamma incompleta :

Para${\displaystyle p\in \mathbb {N} -\{1\}}$

${\displaystyle E_{\frac {1}{p}}(z^{\frac {1}{p}})=e^{z}{\bigg [}1+\sum _{n=0}^{p-1}{\frac {\gamma (1-{\frac {n}{p}},z)}{\Gamma (1-{\frac {n}{p}})}}{\bigg ]}}$^{[ 8 ]}

dónde${\displaystyle \gamma (x,y)}$es la función gamma incompleta.

La representación integral de la función de Mittag-Leffler es (Sección 6 de ^{[ 2 ]} )

${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {t^{\alpha -\beta }e^{t}}{t^{\alpha }-z}}\,dt,\Re (\alpha )>0,\Re (\beta )>0,}$

donde el contorno${\displaystyle C}$comienza y termina en${\displaystyle -\infty }$y círculos alrededor de las singularidades y puntos de ramificación del integrando.

Relacionada con la transformada de Laplace y la suma de Mittag-Leffler está la expresión (Eq (7.5) de ^{[ 2 ]} con${\displaystyle m=0}$)

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-tz}t^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }(\pm r\,t^{\alpha })\,dt={\frac {z^{\alpha -\beta }}{z^{\alpha }\mp r}},\Re (z)>0,\Re (\alpha )>0,\Re (\beta )>0.}$

Para${\displaystyle \operatorname {Re} (z^{1/\alpha })<1}$La función de Mittag-Leffler satisface la identidad integral.

${\displaystyle {\frac {1}{1-z}}=\int _{0}^{\infty }e^{-u}E_{\alpha }(zu^{\alpha })\,du.}$^{[ 9 ]}

Para${\displaystyle \alpha >0}$, la representación integral de Mellin Barnes utilizando un contorno de línea recta es

${\displaystyle E_{\alpha }(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma -i\infty }^{\gamma +i\infty }{\frac {\Gamma (s)\Gamma (1-s)}{\Gamma (1-\alpha s)}}(-z)^{-s}ds,|\arg {z}|<\pi }$^{[ 10 ]}

Lo cual puede escribirse en términos de la función generalizada de Fox-Wright.

${\displaystyle E_{\alpha }(z)={}_{1}\Psi _{1}\left[{\begin{matrix}(1,1)\\(1,\alpha )\end{matrix}}{\bigg |}z\right]}$

Y en términos de la función H de Fox

${\displaystyle E_{\alpha }(z)=H_{1,2}^{1,1}\left[-z{\bigg |}{\begin{matrix}(0,1)\\(0,1),(0,\alpha )\end{matrix}}\right]}$

Una generalización, caracterizada por tres parámetros, es

${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z)=\left({\frac {1}{\Gamma (\gamma )}}\right)\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\Gamma (\gamma +k)z^{k}}{k!\Gamma (\alpha k+\beta )}},}$

dónde${\displaystyle \alpha ,\beta }$y${\displaystyle \gamma }$son parámetros complejos y${\displaystyle \Re (\alpha )>0}$. ^{[ 6 ]}

Otra generalización es la función de Prabhakar.

${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\gamma )_{k}z^{k}}{k!\Gamma (\alpha k+\beta )}},}$

dónde${\displaystyle (\gamma )_{k}}$es el símbolo de Pochhammer .

Una de las aplicaciones de la función de Mittag-Leffler es el modelado de materiales viscoelásticos de orden fraccional. Las investigaciones experimentales sobre el comportamiento de relajación dependiente del tiempo de los materiales viscoelásticos se caracterizan por una disminución muy rápida de la tensión al inicio del proceso de relajación y una disminución extremadamente lenta para tiempos prolongados, es decir, se requiere mucho tiempo para aproximarse a un valor asintótico constante. Por lo tanto, se requieren muchos elementos de Maxwell para describir el comportamiento de relajación con suficiente precisión. Esto da como resultado un problema de optimización difícil para identificar la gran cantidad de parámetros del material necesarios. Por otro lado, a lo largo de los años, el concepto de derivadas fraccionales se ha introducido en la teoría de la viscoelasticidad . Entre estos modelos, el modelo de Zener fraccional ha demostrado ser muy eficaz para predecir la naturaleza dinámica de los materiales similares al caucho utilizando solo un pequeño número de parámetros del material. La solución de la ecuación constitutiva correspondiente conduce a una función de relajación del tipo Mittag-Leffler. Se define mediante una serie de potencias con argumentos negativos. Esta función representa todas las propiedades esenciales del proceso de relajación bajo la influencia de una señal arbitraria y continua con un salto en el origen. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

• suma de Mittag-Leffler
• distribución de Mittag-Leffler
• Cálculo fraccionario

• Paquete R 'MittagLeffleR' de Gurtek Gill y Peter Straka. Implementa la función de Mittag-Leffler, su distribución, la generación de variables aleatorias y la estimación.

• Gorenflo R., Kilbas AA, Mainardi F., Rogosin SV, Funciones de Mittag-Leffler, temas y aplicaciones relacionados (Springer, Nueva York, 2014) 443 páginas ISBN 978-3-662-43929-6
• Igor Podlubny (1998). «Capítulo 1». Ecuaciones diferenciales fraccionarias. Introducción a las derivadas fraccionarias, ecuaciones diferenciales fraccionarias, algunos métodos de solución y algunas de sus aplicaciones . Matemáticas en ciencia e ingeniería. Academic Press. ISBN 0-12-558840-2.
• Kai Diethelm (2010). «Capítulo 4». El análisis de ecuaciones diferenciales fraccionarias: una exposición orientada a la aplicación mediante operadores diferenciales de tipo Caputo . Lecture Notes in Mathematics. Heidelberg y Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-14573-5.

• Función Mittag-Leffler: código MATLAB
• Mittag-Leffler y números aleatorios estables: Caminatas aleatorias en tiempo continuo y solución estocástica de ecuaciones de difusión fraccionarias espacio-temporales