Integral de Barnes

En matemáticas, una integral de Barnes o integral de Mellin - Barnes es una integral de contorno que involucra un producto de funciones gamma . Fueron introducidas por Ernest William Barnes ( 1908 , 1910 ) . Están estrechamente relacionadas con las series hipergeométricas generalizadas . 

La integral se suele tomar a lo largo de un contorno que es una deformación del eje imaginario que pasa a la derecha de todos los polos de factores de la forma Γ( a  + s ) y a la izquierda de todos los polos de factores de la forma Γ( a − s ).   

La función hipergeométrica se da como una integral de Barnes ( Barnes 1908 ) por

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,ds,}$

Véase también ( Andrews, Askey y Roy 1999 , Teorema 2.4.1) . Esta igualdad se puede obtener moviendo el contorno hacia la derecha mientras se recogen los residuos en s = 0, 1, 2, ... . para${\displaystyle z\ll 1}$y mediante continuación analítica en otros lugares. Dadas las condiciones de convergencia adecuadas, se pueden relacionar integrales de Barnes más generales y funciones hipergeométricas generalizadas _p F _q de manera similar ( Slater 1966 ) .

El primer lema de Barnes ( Barnes 1908 ) establece:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (cs)\Gamma (ds)ds={\frac {\Gamma (a+c)\Gamma (a+d)\Gamma (b+c)\Gamma (b+d)}{\Gamma (a+b+c+d)}}.}$

Esta es una analogía de la fórmula de suma ₂ F ₁ de Gauss , y también una extensión de la integral beta de Euler . La integral que contiene a veces se denomina integral beta de Barnes .

El segundo lema de Barnes ( Barnes 1910 ) establece:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (c+s)\Gamma (1-ds)\Gamma (-s)}{\Gamma (e+s)}}ds}$

${\displaystyle ={\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)\Gamma (c)\Gamma (1-d+a)\Gamma (1-d+b)\Gamma (1-d+c)}{\Gamma (ea)\Gamma (eb)\Gamma (ec)}}}$

donde e = a  + b + c − d + 1. Esta es una analogía de la fórmula de suma de Saalschütz .       

Hay análogos de las integrales de Barnes para series hipergeométricas básicas , y muchos de los otros resultados también se pueden extender a este caso ( Gasper y Rahman 2004 , capítulo 4) .

• Andrews, GE ; Askey, R .; Roy, R. (1999). Funciones especiales . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. Vol.  71. Cambridge University Press . ISBN 0-521-62321-9. MR 1688958 . 
• Barnes, EW (1908). "Un nuevo desarrollo de la teoría de las funciones hipergeométricas" . Proc. London Math. Soc . s2-6 : 141–177 . doi : 10.1112/plms/s2-6.1.141 . JFM 39.0506.01 . 
• Barnes, EW (1910). "Una transformación de series hipergeométricas generalizadas". Quarterly Journal of Mathematics . 41 : 136–140 . JFM 41.0503.01 . 
• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004). Series hipergeométricas básicas . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. Vol.  96 (2.ª  ed.). Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-83357-8MR 2128719 .​ 
• Slater, Lucy Joan (1966). Funciones hipergeométricas generalizadas . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 0-521-06483-X. SEÑOR 0201688 . Zbl 0135.28101 .  (Existe una edición de bolsillo de 2008 con ISBN 978-0-521-09061-2)