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Articulo de referencia

Método del equilibrio dominante

En matemáticas , el método de balance dominante aproxima la solución de una ecuación resolviendo una forma simplificada de la misma que contiene dos o más términos que más influ...

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En matemáticas , el método de balance dominante aproxima la solución de una ecuación resolviendo una forma simplificada de la misma que contiene dos o más términos que más influyen (dominan) en la solución, y excluyendo aquellos que solo aportan pequeñas modificaciones a esta solución aproximada. Tras obtener una solución inicial, la iteración del procedimiento puede generar términos adicionales de un desarrollo asintótico que proporciona una solución más precisa. [ 1 ] [ 2 ]

Un ejemplo temprano del método de balance dominante es el método del polígono de Newton . Newton desarrolló este método para encontrar una aproximación explícita para una función algebraica . Newton expresó la función como proporcional a la variable independiente elevada a una potencia , retuvo solo los términos polinómicos de menor grado (términos dominantes) y resolvió esta ecuación reducida simplificada para obtener una solución aproximada. [ 3 ] [ 4 ] El balance dominante tiene una amplia gama de aplicaciones, resolviendo ecuaciones diferenciales que surgen en mecánica de fluidos , física de plasmas , turbulencia , combustión , óptica no lineal , dinámica de fluidos geofísicos y neurociencia . [ 5 ] [ 6 ]

Relaciones asintóticas

Las funcionesF(z){\textstyle f(z)}ygramo(z){\displaystyle g(z)}del parámetro o variable independientez{\textstyle z}y el cocienteF(z)/gramo(z){\textstyle f(z)/g(z)}tener límites comoz{\textstyle z}se acerca al límiteL{\textstyle L}.

La funciónF(z){\textstyle f(z)}es mucho menos quegramo(z){\textstyle g(z)}comoz{\textstyle z}aprochesL{\textstyle L}, escrito comoF(z)≪gramo(z) (z→L){\textstyle f(z)\ll g(z)\ (z\to L)}, si el límite del cocienteF(z)/gramo(z){\textstyle f(z)/g(z)}es cero comoz{\textstyle z}aprochesL{\textstyle L}. [ 7 ]

La relaciónF(z){\textstyle f(z)}es de orden inferior quegramo(z){\textstyle g(z)}comoz{\textstyle z}aprochesL{\textstyle L}, escrito usando notación de minúsculaF(z)=o(gramo(z)) (z→L){\textstyle f(z)=o(g(z))\ (z\to L)}, es idéntico alF(z){\textstyle f(z)}es mucho menos quegramo(z){\textstyle g(z)}comoz{\textstyle z}aprochesL{\textstyle L}relación. [ 7 ]

La funciónF(z){\textstyle f(z)}es equivalente agramo(z){\textstyle g(z)}comoz{\textstyle z}aprochesL{\textstyle L}, escrito comoF(z)∼gramo(z) (z→L){\textstyle f(z)\sim g(z)\ (z\to L)}, si el límite del cocienteF(z)/gramo(z){\textstyle f(z)/g(z)}es 1 comoz{\textstyle z}aprochesL{\textstyle L}. [ 7 ]

Este resultado indica que la función cero ,F(z)=0{\textstyle f(z)=0}para todos los valores dez{\textstyle z}, nunca puede ser equivalente a ninguna otra función. [ 7 ]

Las funciones asintóticamente equivalentes siguen siendo asintóticamente equivalentes bajo integración si se cumplen los requisitos relacionados con la convergencia. Existen requisitos más específicos para que las funciones asintóticamente equivalentes sigan siéndolo bajo diferenciación . [ 8 ]

Propiedades de la ecuación

La solución aproximada de una ecuación ess(z){\textstyle s(z)}comoz{\textstyle z}los enfoques limitanL{\textstyle L}Los términos de la ecuación que pueden ser constantes o contener esta solución son:T0(s),T1(s),…,Tnorte(s){\textstyle T_{0}(s),T_{1}(s),\ldots ,T_{n}(s)}Si la solución aproximada es completamente correcta, los términos de la ecuación suman cero en esta ecuación: T0(s)+T1(s)+…+Tnorte(s)=0.{\displaystyle T_{0}(s)+T_{1}(s)+\ldots +T_{n}(s)=0.} Para índices enteros distintosi,j{\textstyle i,j}Esta ecuación es una suma de 2 términos y un resto.Rij(s){\textstyle R_{ij}(s)}expresado como Ti(s)+Tj(s)+Rij(s)=0Rij(s)=∑k=0k≠i,k≠jnorteTk(s).{\displaystyle {\begin{aligned}&T_{i}(s)+T_{j}(s)+R_{ij}(s)=0\\&R_{ij}(s)=\sum _{{k=0} \atop {k\neq i,k\neq j}}^{n}T_{k}(s).\end{aligned}}}

Términos de la ecuación de balanceTi(s){\textstyle T_{i}(s)}yTj(s){\textstyle T_{j}(s)}significa encontrar la función s(z){\textstyle s(z)}que resuelve la ecuación reducidaTi(s)+Tj(s)=0{\textstyle T_{i}(s)+T_{j}(s)=0}conTi(s)≠0{\textstyle T_{i}(s)\neq 0}yTj(s)≠0{\textstyle T_{j}(s)\neq 0}. [ 9 ] Esta solucións(z){\textstyle s(z)}es consistente si los términosTi(s){\textstyle T_{i}(s)}yTj(s){\textstyle T_{j}(s)}son dominantes ; dominante significa que los términos restantes de la ecuaciónRij(s){\textstyle R_{ij}(s)}son mucho menos que términosTi(s){\textstyle T_{i}(s)}yTj(s){\textstyle T_{j}(s)}comoz{\textstyle z}aprochesL{\textstyle L}. [ 10 ] [ 11 ] Una solución consistente que equilibra dos términos de la ecuación puede generar una aproximación precisa a la solución completa de la ecuación paraz{\textstyle z}valores que se aproximanL{\textstyle L}. [ 11 ] [ 12 ] Las soluciones aproximadas que surgen del equilibrio de diferentes términos de una ecuación pueden generar soluciones aproximadas distintas, por ejemplo, soluciones de capa interna y externa . [ 5 ]

En algunos casos, la ecuación reducida tiene coeficientes que contienen un parámetro.ϵ{\textstyle \epsilon }pero el exponente del parámetro es diferente para los 2 términos. En este caso, la ecuación reducida requiere una transformación de escala.z=ϵλz~{\textstyle z=\epsilon ^{\lambda }{\tilde {z}}}de la variablez{\textstyle z}utilizando el exponente de escalaλ{\textstyle \lambda }El método de equilibrio dominante selecciona un exponente de escala.λ{\textstyle \lambda }para generar términos transformados, cada término transformado ahora contiene el parámetro con el mismo exponente. Los distintos pares de términos y transformaciones de escala conducen a distintas ecuaciones simplificadas llamadas límites distinguidos , y cada ecuación puede conducir a una solución distinta. [ 9 ] [ 13 ] El diagrama de Kruskal-Newton facilita la identificación de la transformación de escala requerida para el equilibrio dominante de ecuaciones algebraicas y diferenciales. [ 5 ]

Para soluciones de ecuaciones diferenciales que contienen una singularidad irregular , el comportamiento principal es el primer término de una solución en serie asintótica que permanece cuando la variable independientez{\textstyle z}se aproxima a una singularidad irregularL{\textstyle L}El factor determinante es la parte que cambia más rápidamente del comportamiento principal. Se recomienda "demostrar que la ecuación para la función obtenida al factorizar la solución de equilibrio dominante de la solución exacta misma tiene una solución que varía menos rápidamente que la solución de equilibrio dominante". [ 11 ]

Algoritmo

La entrada es el conjunto de términos de la ecuación y el límite L. La salida es el conjunto de soluciones aproximadas. Para cada par de términos de la ecuación distintosTi(s),Tj(s){\textstyle T_{i}(s),T_{j}(s)}El algoritmo aplica una transformación de escala si es necesario, equilibra los términos seleccionados buscando una función que resuelva la ecuación reducida y luego determina si esta función es consistente. Si la función equilibra los términos y es consistente, el algoritmo la agrega al conjunto de soluciones aproximadas; de lo contrario, la rechaza. El proceso se repite para cada par de términos distintos de la ecuación.

Entradas Conjunto de términos de la ecuación{T0(s),T1(s),…,Tnorte(s)}{\textstyle \{T_{0}(s),T_{1}(s),\ldots ,T_{n}(s)\}}y limitarL{\textstyle L}
Salida: Conjunto de soluciones aproximadas{s0(z),s1(z),…}{\textstyle \{s_{0}(z),s_{1}(z),\dots \}}
  1. Para cada par de términos de ecuación distintosTi(s),Tj(s){\textstyle T_{i}(s),T_{j}(s)}hacer:
    1. Aplique una transformación de escala si es necesario.
    2. Resuelve la ecuación reducida:Ti(s)+Tj(s)=0{\textstyle T_{i}(s)+T_{j}(s)=0}conTi(s)≠0{\textstyle T_{i}(s)\neq 0}yTj(s)≠0{\textstyle T_{j}(s)\neq 0}.
    3. Verificar la coherencia:Rij(s)≪Ti(s) (z→L){\textstyle R_{ij}(s)\ll T_{i}(s)\ (z\to L)}yRij(s)≪Tj(s) (z→L).{\textstyle R_{ij}(s)\ll T_{j}(s)\ (z\to L).}
    4. Si funcionas(z){\textstyle s(z)}Si es consistente y resuelve la ecuación reducida, agregue esta función al conjunto de soluciones aproximadas; de lo contrario, rechace la función.

Mayor precisión

El método puede iterarse para generar términos adicionales de una expansión asintótica y así obtener una solución más precisa. [ 11 ] Los métodos iterativos, como el método de Newton-Raphson, pueden generar una solución más precisa. [ 4 ] Una serie de perturbaciones , utilizando la solución aproximada como primer término, también puede generar una solución más precisa. [ 5 ]

Ejemplos

Función algebraica

El método de balance dominante generará una solución aproximada para la variables{\textstyle s}en ecuación algebraica1−16s+ϵs5=0{\textstyle 1-16s+\epsilon s^{5}=0}que depende del parámetroϵ{\textstyle \epsilon }Este ejemplo calcula valores asintóticos comoϵ{\textstyle \epsilon }se aproxima a cero porque el objetivo de este ejemplo es encontrar soluciones para problemas pequeñosϵ{\textstyle \epsilon }valores de los parámetros. La funcións=s(ϵ){\textstyle s=s(\epsilon )}indica cómo la solución de la ecuación depende del parámetro de la ecuación.ϵ{\textstyle \epsilon }El conjunto de soluciones se enumera como{s0(ϵ),s1(ϵ),s2(ϵ),s3(ϵ),s4(ϵ)}{\textstyle \{s_{0}(\epsilon ),s_{1}(\epsilon ),s_{2}(\epsilon ),s_{3}(\epsilon ),s_{4}(\epsilon )\}}. [ 14 ]

Aporte

El conjunto de términos de la ecuación es{1,−16s,ϵs5}{\textstyle \{1,-16s,\epsilon s^{5}\}}y los cálculos asintóticos son comoϵ{\textstyle \epsilon }se acerca a cero.

primer par de términos

  1. Seleccione los términos1{\textstyle 1}y−16s{\textstyle -16s}.
  2. Reescribiendo los términos seleccionados comoϵ01{\textstyle \epsilon ^{0}1}y−ϵ016s{\textstyle -\epsilon ^{0}16s}, los exponentes del parámetro son los mismos (0,0) para ambos términos, por lo que no se necesita ninguna transformación de escala.
  3. Resuelve la ecuación reducida:1−16s=0,s(ϵ)=116{\displaystyle 1-16s=0,s(\epsilon )={\tfrac {1}{16}}}.
  4. Verificar la coherencia:ϵs5≪1 (ϵ→0), ϵs5≪16s (ϵ→0) {\displaystyle \epsilon s^{5}\ll 1\ (\epsilon \to 0),\ \epsilon s^{5}\ll 16s\ (\epsilon \to 0)\ }paras(ϵ)=116.{\displaystyle s(\epsilon )={\tfrac {1}{16}}.}
  5. Agregue esta función al conjunto de soluciones aproximadas:s0(ϵ)=116{\displaystyle s_{0}(\epsilon )={\tfrac {1}{16}}}.

Par de segundo término

  1. Seleccione los términos−16s{\displaystyle -16s}yϵs5{\displaystyle \epsilon s^{5}}.
  2. Reescribiendo los términos seleccionados como−ϵ016s{\displaystyle -\epsilon ^{0}16s}yϵ1s5{\displaystyle \epsilon ^{1}s^{5}}Los exponentes de los parámetros son diferentes (0,1), por lo que se necesita una transformación de escala. Aplique la transformación de escala.s=ϵ−1/4s~{\displaystyle s=\epsilon ^{-1/4}{\tilde {s}}}. Los exponentes de los parámetros de los términos transformados−ϵ−1/416s~{\displaystyle -\epsilon ^{-1/4}16{\tilde {s}}}yϵ−1/4s~5=0{\displaystyle \epsilon ^{-1/4}{\tilde {s}}^{5}=0}son iguales (-1/4,-1/4). La ecuación transformada se convierte enϵ1/4−16s~+s~5=0{\displaystyle \epsilon ^{1/4}-16{\tilde {s}}+{\tilde {s}}^{5}=0}.
  3. Resuelve la ecuación reducida:−16s~+s~5=0, s~=2,−2,2i,−2i{\displaystyle -16{\tilde {s}}+{\tilde {s}}^{5}=0,\ {\tilde {s}}=2,-2,2i,-2i}.
  4. Verificar la coherencia:ϵ1/4≪16s~ (ϵ→0), ϵ1/4≪s~5 (ϵ→0) {\displaystyle \epsilon ^{1/4}\ll 16{\tilde {s}}\ (\epsilon \to 0),\ \epsilon ^{1/4}\ll {\tilde {s}}^{5}\ (\epsilon \to 0)\ }paras~=2,−2,2i,−2i.{\displaystyle {\tilde {s}}=2,-2,2i,-2i.}
  5. Agregue estas funciones al conjunto de soluciones aproximadas:

s1(ϵ)=2ϵ1/4,s2(ϵ)=−2ϵ1/4,s3(ϵ)=2iϵ1/4,s4(ϵ)=−2iϵ1/4.{\displaystyle s_{1}(\epsilon )={\frac {2}{\epsilon ^{1/4}}},s_{2}(\epsilon )={\frac {-2}{\epsilon ^{1/4}}},s_{3}(\epsilon )={\frac {2i}{\epsilon ^{1/4}}},s_{4}(\epsilon )={\frac {-2i}{\epsilon ^{1/4}}}.}

tercer par de términos

  1. Seleccione los términos1{\displaystyle 1}yϵs5{\displaystyle \epsilon s^{5}}.
  2. Reescribiendo los términos seleccionados comoϵ01{\displaystyle \epsilon ^{0}1}yϵ1s5{\displaystyle \epsilon ^{1}s^{5}}Los exponentes de los parámetros son diferentes (0,1), por lo que se necesita una transformación de escala. Aplique la transformación de escala.s=ϵ−1/5s~{\displaystyle s=\epsilon ^{-1/5}{\tilde {s}}}. Los exponentes de los parámetros de los términos transformadosϵ01{\displaystyle \epsilon ^{0}1}yϵ0s~5{\displaystyle \epsilon ^{0}{\tilde {s}}^{5}}son iguales (0,0). La ecuación transformada es1−16ϵ−1/5s~+s~5=0.{\displaystyle 1-16\epsilon ^{-1/5}{\tilde {s}}+{\tilde {s}}^{5}=0.}
  3. Resuelve la ecuación reducida:1+s~5=0, s~=(−1)1/5.{\displaystyle 1+{\tilde {s}}^{5}=0,\ {\tilde {s}}=(-1)^{1/5}.}
  4. La función no es consistente:−16ϵ−1/5s~≫1 (ϵ→0), ϵ−1/5s~≫s~5 (ϵ→0) {\displaystyle -16\epsilon ^{-1/5}{\tilde {s}}\gg 1\ (\epsilon \to 0),\ \epsilon ^{-1/5}{\tilde {s}}\gg {\tilde {s}}^{5}\ (\epsilon \to 0)\ }paras~=(−1)1/5.{\displaystyle {\tilde {s}}=(-1)^{1/5}.}
  5. Rechazar esta función:s=ϵ−1/5(−1)1/5.{\displaystyle s=\epsilon ^{-1/5}(-1)^{1/5}.}

Producción

El conjunto de soluciones aproximadas tiene 5 funciones: {116,2ϵ1/4,−2ϵ1/4,2iϵ1/4,−2iϵ1/4}.{\displaystyle \left\{{\frac {1}{16}},{\frac {2}{\epsilon ^{1/4}}},{\frac {-2}{\epsilon ^{1/4}}},{\frac {2i}{\epsilon ^{1/4}}},{\frac {-2i}{\epsilon ^{1/4}}}\right\}.}

Solución de la serie de perturbaciones

Las soluciones aproximadas son los primeros términos de las soluciones de la serie de perturbación. [ 14 ]

s0(ϵ)=116+116777216ϵ1+517592186044416ϵ2+…,s1(ϵ)=2ϵ1/4−164−516384ϵ14−5524288ϵ12−…,s2(ϵ)=−2ϵ1/4−164+516384ϵ14−5524288ϵ12+…,s3(ϵ)=2iϵ1/4−164+5i16384ϵ14+5524288ϵ12−…s4(ϵ)=−2iϵ1/4−164−5i16384ϵ14+5524288ϵ12+…,{\displaystyle {\begin{aligned}&s_{0}(\epsilon )={\frac {1}{16}}+{\frac {1}{16777216}}\epsilon ^{1}+{\frac {5}{17592186044416}}\epsilon ^{2}+\ldots ,\\&s_{1}(\epsilon )={\frac {2}{\epsilon ^{1/4}}}-{\frac {1}{64}}-{\frac {5}{16384}}\epsilon ^{\frac {1}{4}}-{\frac {5}{524288}}\epsilon ^{\frac {1}{2}}-\ldots ,\\&s_{2}(\epsilon )=-{\frac {2}{\epsilon ^{1/4}}}-{\frac {1}{64}}+{\frac {5}{16384}}\epsilon ^{\frac {1}{4}}-{\frac {5}{524288}}\epsilon ^{\frac {1}{2}}+\ldots ,\\&s_{3}(\epsilon )={\frac {2i}{\epsilon ^{1/4}}}-{\frac {1}{64}}+{\frac {5i}{16384}}\epsilon ^{\frac {1}{4}}+{\frac {5}{524288}}\epsilon ^{\frac {1}{2}}-\ldots \\&s_{4}(\epsilon )=-{\frac {2i}{\epsilon ^{1/4}}}-{\frac {1}{64}}-{\frac {5i}{16384}}\epsilon ^{\frac {1}{4}}+{\frac {5}{524288}}\epsilon ^{\frac {1}{2}}+\ldots ,\\\end{aligned}}}

Ecuación diferencial

La ecuación diferencialz3w′′−w=0{\textstyle z^{3}w^{\prime \prime }-w=0}Se sabe que tiene una solución con un término principal exponencial. [ 15 ] La transformaciónw(z)=mis(z){\textstyle w(z)=e^{s(z)}}conduce a la ecuación diferencial1−z3(s′)2−z3s′′=0{\textstyle 1-z^{3}(s^{\prime })^{2}-z^{3}s^{\prime \prime }=0}. El método del balance dominante encontrará una solución aproximada comoz{\textstyle z}se acerca a cero porque el enfoque de este ejemplo es para soluciones para pequeñasz{\textstyle z}valores. No se utilizarán transformaciones escaladas porque no hay parámetros de ecuación. Dos aplicaciones consecutivas del método de balance dominante generarán los 2 términos principales de una serie asintótica. [ 10 ]

Aporte

El conjunto de términos de la ecuación es{1,−z3(s′)2,−z3s′′}{\textstyle \{1,-z^{3}(s^{\prime })^{2},-z^{3}s^{\prime \prime }\}}y el límite es cero.

primer par de términos
  1. Seleccionar1{\displaystyle 1}y−z3(s′)2{\displaystyle -z^{3}(s^{\prime })^{2}}.
  2. No es necesario realizar la transformación de escala.
  3. Resuelve la ecuación reducida:1−z3(s′)2=0, s(z)=±2z−1/2{\displaystyle 1-z^{3}(s^{\prime })^{2}=0,\ s(z)=\pm 2z^{-1/2}}
  4. Verificar la coherencia:z3s′′≪1 (z→0), z3s′′≪z3(s′)2 (z→0){\displaystyle z^{3}s^{\prime \prime }\ll 1\ (z\to 0),\ z^{3}s^{\prime \prime }\ll z^{3}(s^{\prime })^{2}\ (z\to 0)}paras(z)=±2z−1/2.{\displaystyle s(z)=\pm 2z^{-1/2}.}
  5. Añade estas 2 funciones al conjunto de soluciones aproximadas:s+(z)=+2z−1/2, s−(z)=−2z−1/2.{\displaystyle s_{+}(z)=+2z^{-1/2},\ s_{-}(z)=-2z^{-1/2}.}

Par de segundo término

  1. Seleccionar1{\displaystyle 1}y−z3s′′{\displaystyle -z^{3}s^{\prime \prime }}
  2. No es necesario realizar la transformación de escala.
  3. Resuelve la ecuación reducida:1−z3s′′=0, s(z)=12z−1{\displaystyle 1-z^{3}s^{\prime \prime }=0,\ s(z)={\tfrac {1}{2}}z^{-1}}
  4. La función no es consistente:z3(s′)2≫1 (z→0), z3(s′)2≫z3s′′ (z→0){\displaystyle z^{3}(s^{\prime })^{2}\gg 1\ (z\to 0),\ z^{3}(s^{\prime })^{2}\gg z^{3}s^{\prime \prime }\ (z\to 0)}paras(z)=12z−1.{\displaystyle s(z)={\tfrac {1}{2}}z^{-1}.}
  5. Rechazar esta función:s(z)=12z−1.{\displaystyle s(z)={\tfrac {1}{2}}z^{-1}.}.

tercer par de términos

  1. Seleccionar−z3(s′)2{\displaystyle -z^{3}(s^{\prime })^{2}}y−z3s′′{\displaystyle -z^{3}s^{\prime \prime }}.
  2. No es necesario realizar la transformación de escala.
  3. Resuelve la ecuación reducida:z3(s′)2+z3s′′=0, s(z)=ln⁡z{\displaystyle z^{3}(s^{\prime })^{2}+z^{3}s^{\prime \prime }=0,\ s(z)=\ln z}.
  4. La función no es consistente:1≫z3(s′)2 (z→0) {\displaystyle 1\gg z^{3}(s^{\prime })^{2}\ (z\to 0)\ }y 1≫ z3s′′ (z→0){\displaystyle \ 1\gg \ z^{3}s^{\prime \prime }\ (z\to 0)}paras(z)=ln⁡z.{\displaystyle s(z)=\ln z.}
  5. Rechazar esta función:s(z)=ln⁡z.{\displaystyle s(z)=\ln z.}

Producción

El conjunto de soluciones aproximadas tiene 2 funciones: [ 10 ]{+2z−1/2,−2z−1/2}.{\displaystyle \left\{+2z^{-1/2},-2z^{-1/2}\right\}.}

Encuentra soluciones de 2 términos

Utilizando la solución de 1 término, se obtiene una solución de 2 términos. s2±(z)=±2z−1/2+s(z).{\displaystyle s_{2\pm }(z)=\pm 2z^{-1/2}+s(z).} La sustitución de esta solución de 2 términos en la ecuación diferencial original genera una nueva ecuación diferencial: [ 10 ]1−z3(s2±′)2−z3s2±′′=0±1∓43zs′+23z5/2(s′)2+23z5/2s′′=0.{\displaystyle {\begin{aligned}1-z^{3}(s_{2\pm }^{\prime })^{2}-z^{3}s_{2\pm }^{\prime \prime }&=0\\\pm 1\mp {\frac {4}{3}}zs^{\prime }+{\frac {2}{3}}z^{5/2}(s^{\prime })^{2}+{\frac {2}{3}}z^{5/2}s^{\prime \prime }&=0.\end{aligned}}}

Aporte

El conjunto de términos de la ecuación es{±1,∓43zs′,23z5/2(s′)2,23z5/2s′′}{\textstyle \{\pm 1,\mp {\frac {4}{3}}zs^{\prime },{\frac {2}{3}}z^{5/2}(s^{\prime })^{2},{\frac {2}{3}}z^{5/2}s^{\prime \prime }\}} y el límite es cero.

primer par de términos
1. Seleccionar1{\displaystyle 1}y−43zs′{\displaystyle -{\tfrac {4}{3}}zs^{\prime }}.
2. No se requiere la transformación de escala.
3. Resuelve la ecuación reducida:1−43zs′=0, s(z)=34ln⁡z{\displaystyle 1-{\tfrac {4}{3}}zs^{\prime }=0,\ s(z)={\tfrac {3}{4}}\ln z}.
4. Verificar la consistencia:
23z5/2(s′)2+23z5/2s′′≪1 (z→0),para s(z)=34ln⁡z{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}z^{5/2}(s^{\prime })^{2}+{\tfrac {2}{3}}z^{5/2}s^{\prime \prime }\ll 1\ (z\to 0),{\text{for}}\ s(z)={\tfrac {3}{4}}\ln z}
23z5/2(s′)2+23z5/2s′′≪43zs′ (z→0) para s(z)=34ln⁡z.{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}z^{5/2}(s^{\prime })^{2}+{\tfrac {2}{3}}z^{5/2}s^{\prime \prime }\ll {\tfrac {4}{3}}zs^{\prime }\ (z\to 0)\ {\text{for}}\ s(z)={\tfrac {3}{4}}\ln z.}
5. Añade estas funciones al conjunto de soluciones aproximadas:
s2+(z)=+2z−1/2+34ln⁡z{\textstyle s_{2+}(z)=+2z^{-1/2}+{\tfrac {3}{4}}\ln z}
s2−(z)=−2z−1/2+34ln⁡z{\textstyle s_{2-}(z)=-2z^{-1/2}+{\tfrac {3}{4}}\ln z}. [ 10 ]

Otros pares de términos

Para otros pares de términos, las funciones que resuelven las ecuaciones reducidas no son consistentes. [ 10 ]

Producción

El conjunto de soluciones aproximadas tiene 2 funciones: [ 10 ]{+2z−1/2+34ln⁡z,−2z−1/2+34ln⁡z}.{\displaystyle \left\{+2z^{-1/2}+{\tfrac {3}{4}}\ln z,-2z^{-1/2}+{\tfrac {3}{4}}\ln z\right\}.}

Expansión asintótica

La siguiente iteración genera una solución de 3 términos.s3±(z)=±2z−1/2+34ln⁡(z)+h(z){\textstyle s_{3\pm }(z)=\pm 2z^{-1/2}+{\tfrac {3}{4}}\operatorname {ln} (z)+h(z)}conh(z)≪1 (z→0){\textstyle h(z)\ll 1\ (z\to 0)}y esto significa que una expansión en serie de potencias puede representar el resto de la solución. [ 10 ] El método de balance dominante genera el término principal de esta expansión asintótica con constanteA{\textstyle A}y coeficientes de expansión determinados por sustitución en la ecuación diferencial completa: [ 10 ]

w(z)=Az3/4mi±2z−1/2(∑norte=0metro anorteznorte/2){\displaystyle w(z)=Az^{3/4}e^{\pm 2z^{-1/2}}\left(\sum _{n=0}^{m}\ a_{n}z^{n/2}\right)}
anorte+1=±(norte−1/2)(norte+3/2)anorte4(norte+1).{\displaystyle a_{n+1}=\pm {\frac {(n-1/2)(n+3/2)a_{n}}{4(n+1)}}.}

Una suma parcial de esta serie no convergente genera una solución aproximada. El término principal corresponde a la aproximación de Liouville-Green (LG) o Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB) . [ 15 ]

Citas

  1. ↑ White 2010 , pág. 2.
  2. ^ de Bruijn 1981 , págs. 187-189.
  3. ↑ Christensen 1996 .
  4. 1 2 White 2010 , págs. 1–14.
  5. 1 2 3 4 Fishaleck y White 2008 .
  6. ↑ Callaham et al. 2021 .
  7. 1 2 3 4 Paulsen 2013 , págs. 1–3, 7.
  8. ↑ Olver 1974 , págs. 8, 9, 21.
  9. 1 2 Neu 2015 , pp. 2–4, 14.
  10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 White 2010 , págs. 49–51.
  11. ^ Bender y Orszag 1999 , págs . 82–84 . 
  12. ↑ Kruskal 1962 , pág. 19.
  13. ↑ Hinch 1991 , pág. 62.
  14. 1 2 Rozman 2020 .
  15. 1 2 Olver 1974 , págs. 190–191.

Referencias

  • Bender, CM ; Orszag, SA (1999). Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros . Springer. ISBN 0-387-98931-5.
  • Callaham, Jared L.; Koch, James V.; Brunton, Bingni W.; Kutz, J. Nathan; Brunton, Steven L. (2021). "Aprendizaje de procesos físicos dominantes con modelos de equilibrio basados ​​en datos" . Nature Communications . 12 (1): 1016. arXiv : 2001.10019 . Bibcode : 2021NatCo..12.1016C . doi : 10.1038/s41467-021-21331- z . ISSN 2041-1723 . PMC 7884409. PMID 33589607 .   
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Véase también

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