Hispanopedia WikiEn matemáticas , un grupo alternante es el grupo de permutaciones pares de un conjunto finito . El grupo alternante en un conjunto de n elementos se llama grupo alternante de grado n , o grupo alternante en n letras y se denota por A n o Alt( n ).
Propiedades básicas
Para n > 1 , el grupo A n es el subgrupo conmutador del grupo simétrico S n con índice 2 y, por lo tanto, tiene n ! /2 elementos. Es el núcleo del homomorfismo de grupo de signatura sgn : S n → {1, −1} explicado en el grupo simétrico .
El grupo A n es abeliano si y solo si n ≤ 3 y simple si y solo si n = 3 o n ≥ 5. A 5 es el grupo simple no abeliano más pequeño , con orden 60, y por lo tanto el grupo no resoluble más pequeño .
El grupo A 4 tiene el grupo Klein de cuatro dimensiones V como un subgrupo normal propio , a saber, la identidad y las transposiciones dobles { (), (12)(34), (13)(24), (14)(23) } , que es el núcleo de la sobreyección de A 4 sobre A 3 ≅ Z 3 . Tenemos la secuencia exacta V → A 4 → A 3 = Z 3 . En la teoría de Galois , este mapa, o más bien el mapa correspondiente S 4 → S 3 , corresponde a asociar la cúbica resolvente de Lagrange a una cuártica, lo que permite resolver el polinomio cuártico mediante radicales, como estableció Lodovico Ferrari .
Clases de conjugación
Como en el grupo simétrico , cualesquiera dos elementos de A n que sean conjugados por un elemento de A n deben tener la misma forma de ciclo . Sin embargo, lo contrario no es necesariamente cierto. Si la forma del ciclo consiste solo en ciclos de longitud impar sin que haya dos ciclos de la misma longitud, donde los ciclos de longitud uno están incluidos en el tipo de ciclo, entonces hay exactamente dos clases de conjugación para esta forma de ciclo ( Scott 1987 , §11.1, p299) .
Ejemplos:
- Las dos permutaciones (123) y (132) no son conjugadas en A 3 , aunque tienen la misma forma de ciclo y, por lo tanto, son conjugadas en S 3 .
- La permutación (123)(45678) no es conjugada a su inversa (132)(48765) en A 8 , aunque las dos permutaciones tienen la misma forma de ciclo, por lo que son conjugadas en S 8 .
Relación con el grupo simétrico
- Ver grupo simétrico .
Dado que los grupos simétricos finitos son los grupos de todas las permutaciones de un conjunto con elementos finitos, y los grupos alternantes son los grupos de permutaciones pares, los grupos alternantes son subgrupos de los grupos simétricos finitos. Para n > 4, junto con el grupo en sí y el subgrupo trivial, el grupo alternante es el único otro subgrupo normal que tiene un grupo simétrico.
Generadores y relaciones
Para n ≥ 3, A n se genera mediante ciclos de 3 elementos, ya que estos se pueden obtener combinando pares de transposiciones. Este conjunto generador se utiliza a menudo para demostrar que A n es simple para n ≥ 5 .
Grupo de automorfismos
Para n > 3 , excepto para n = 6 , el grupo de automorfismos de A n es el grupo simétrico S n , con grupo de automorfismos internos A n y grupo de automorfismos externos Z 2 ; el automorfismo externo proviene de la conjugación por una permutación impar.
Para n = 1 y 2, el grupo de automorfismos es trivial. Para n = 3 , el grupo de automorfismos es Z 2 , con grupo de automorfismos internos trivial y grupo de automorfismos externos Z 2 .
El grupo de automorfismos externos de A 6 es el grupo de Klein de cuatro dimensiones V = Z 2 × Z 2 , y está relacionado con el automorfismo externo de S 6 . El automorfismo externo adicional en A 6 intercambia los 3-ciclos (como (123)) con elementos de forma 3 2 (como (123)(456) ).
isomorfismos excepcionales
Existen algunos isomorfismos excepcionales entre algunos de los grupos alternantes pequeños y grupos pequeños de tipo Lie , en particular grupos lineales especiales proyectivos . Estos son:
- A 4 es isomorfo a PSL 2 (3) [ 1 ] y al grupo de simetría de simetría tetraédrica quiral .
- A 5 es isomorfo a PSL 2 (4), PSL 2 (5) y al grupo de simetría de simetría icosaédrica quiral . (Véase [ 1 ] para un isomorfismo indirecto de PSL 2 (F 5 ) → A 5 usando una clasificación de grupos simples de orden 60, y aquí para una demostración directa).
- A 6 es isomorfo a PSL 2 (9) y PSp 4 (2)'.
- Un 8 es isomorfo a PSL 4 (2).
Más obviamente, A 3 es isomorfo al grupo cíclico Z 3 , y A 0 , A 1 , y A 2 son isomorfos al grupo trivial (que también es SL 1 ( q ) = PSL 1 ( q ) para cualquier q ).
Ejemplos
S 4 y A 4
Un 5 como subgrupo de rotaciones en 3 espacios
A 5 es el grupo de isometrías de un dodecaedro en el espacio tridimensional, por lo que existe una representación A 5 → SO 3 ( R ) .
En esta imagen, los vértices de los poliedros representan los elementos del grupo, con el centro de la esfera representando el elemento identidad. Cada vértice representa una rotación alrededor del eje que apunta desde el centro hacia ese vértice, con un ángulo igual a la distancia desde el origen, en radianes. Los vértices de un mismo poliedro pertenecen a la misma clase de conjugación. Dado que la ecuación de la clase de conjugación para A 5 es 1 + 12 + 12 + 15 + 20 = 60 , obtenemos cuatro poliedros distintos (no triviales).
Los vértices de cada poliedro están en correspondencia biyectiva con los elementos de su clase de conjugación, con la excepción de la clase de conjugación de ciclos (2,2), que se representa mediante un icosidodecaedro en la superficie exterior, cuyos vértices antipodales se identifican entre sí. La razón de esta redundancia es que las rotaciones correspondientes son de π radianes, por lo que pueden representarse mediante un vector de longitud π en cualquiera de las dos direcciones. Así, la clase de ciclos (2,2) contiene 15 elementos, mientras que el icosidodecaedro tiene 30 vértices.
Las dos clases de conjugación de doce 5-ciclos en A 5 están representadas por dos icosaedros, de radios 2 π /5 y 4 π /5, respectivamente. El automorfismo externo no trivial en Out(A 5 ) ≃ Z 2 intercambia estas dos clases y los icosaedros correspondientes.
El rompecabezas número 15
Se puede demostrar que el rompecabezas 15 , un ejemplo famoso del rompecabezas deslizante , puede representarse mediante el grupo alternante A 15 , [ 2 ] porque las combinaciones del rompecabezas 15 pueden generarse mediante 3-ciclos . De hecho, cualquier rompecabezas deslizante 2 k − 1 con fichas cuadradas de igual tamaño puede representarse mediante A 2 k −1 .
Subgrupos
A 4 es el grupo más pequeño que demuestra que el recíproco del teorema de Lagrange no es cierto en general: dado un grupo finito G y un divisor d de | G | , no necesariamente existe un subgrupo de G con orden d : el grupo G = A 4 , de orden 12, no tiene ningún subgrupo de orden 6. Un subgrupo de tres elementos (generado por una rotación cíclica de tres objetos) con cualquier elemento distinto no trivial genera todo el grupo.
Para todo n > 4 , A n no tiene subgrupos normales no triviales (es decir, propios) . Por lo tanto, A n es un grupo simple para todo n > 4. A 5 es el grupo no resoluble más pequeño .
homología de grupo
La homología de los grupos alternantes muestra estabilización, como en la teoría de homotopía estable : para valores de n suficientemente grandes , es constante. Sin embargo, existen algunas excepciones de homología de baja dimensión. Cabe destacar que la homología del grupo simétrico presenta una estabilización similar, pero sin las excepciones de baja dimensión (elementos de homología adicionales).
H 1 : Abelianización
El primer grupo de homología coincide con la abelianización y (dado que A n es perfecto , excepto por las excepciones citadas) es, por lo tanto:
- H 1 (A n , Z) = Z 1 para n = 0, 1, 2;
- H 1 (A 3 , Z) = A ab 3 = A 3 = Z 3 ;
- H 1 (A 4 , Z) = A ab 4 = Z 3 ;
- H 1 (A n , Z) = Z 1 para n ≥ 5.
Esto se ve fácilmente de la siguiente manera. A n se genera mediante ciclos de orden 3, por lo que las únicas transformaciones abelianas no triviales son A n → Z 3 , ya que los elementos de orden 3 deben transformarse en elementos de orden 3; y para n ≥ 5, todos los ciclos de orden 3 son conjugados, por lo que deben transformarse en el mismo elemento en la transformación abeliana, puesto que la conjugación es trivial en los grupos abelianos. Por lo tanto, un ciclo de orden 3 como (123) debe transformarse en el mismo elemento que su inverso (321), pero por lo tanto debe transformarse en la identidad, ya que entonces debe tener un orden que divida a 2 y 3, por lo que la transformación abeliana es trivial.
Para n < 3 , A n es trivial y, por lo tanto, tiene una abelianización trivial. Para A 3 y A 4 se puede calcular la abelianización directamente, observando que los 3-ciclos forman dos clases de conjugación (en lugar de ser todos conjugados) y hay aplicaciones no triviales A 3 ↠ Z 3 (de hecho, un isomorfismo) y A 4 ↠ Z 3 .
H 2 : Multiplicadores de Schur
Los multiplicadores de Schur de los grupos alternantes A n (en el caso en que n es al menos 5) son los grupos cíclicos de orden 2, excepto en el caso en que n es 6 o 7, en cuyo caso también hay una cobertura triple. En estos casos, entonces, el multiplicador de Schur es (el grupo cíclico) de orden 6. [ 3 ] Estos fueron calculados por primera vez en ( Schur 1911 ) .
- H 2 (A n , Z) = Z 1 para n = 1, 2, 3;
- H 2 (A n , Z) = Z 2 para n = 4, 5;
- H 2 (A n , Z) = Z 6 para n = 6, 7;
- H 2 (A n , Z) = Z 2 para n ≥ 8.
Notas
- 1 2 Robinson (1996), pág. 78
- ↑ Beeler, Robert. "El rompecabezas de los quince: un ejemplo motivador para el grupo alternante" (PDF) . faculty.etsu.edu/ . Universidad Estatal del Este de Tennessee. Archivado del original (PDF) el 7 de enero de 2021. Consultado el 26 de diciembre de 2020 .
- ↑ Wilson, Robert (31 de octubre de 2006), "Capítulo 2.7: Grupos de recubrimiento" , Los grupos simples finitos, versiones de 2006 , archivado del original el 22 de mayo de 2011.
Referencias
- Robinson, Derek John Scott (1996), Un curso de teoría de grupos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 80 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-0-387-94461-6
- Schur, Issai (1911), "Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1911 (139): 155– 250, doi : 10.1515/crll.1911.139.155 , S2CID 122809608
- Scott, WR (1987), Teoría de grupos , Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-65377-8
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Grupo alternante" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Grafo de grupo alternante" . MathWorld .
- Grupos finitos
- Grupos de permutación
