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( B , N ) par

En matemáticas , un par ( B , N ) es una estructura en grupos de tipo Lie que permite realizar demostraciones uniformes de muchos resultados, en lugar de realizar numerosas demo...

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En matemáticas , un par ( B , N ) es una estructura en grupos de tipo Lie que permite realizar demostraciones uniformes de muchos resultados, en lugar de realizar numerosas demostraciones caso por caso. En términos generales, muestra que todos estos grupos son similares al grupo lineal general sobre un cuerpo . Fueron introducidos por el matemático Jacques Tits y también se conocen a veces como sistemas de Tits .

Definición

Un par ( B , N ) es un par de subgrupos B y N de un grupo G tales que se cumplen los siguientes axiomas:

  • G es generado por B y N.
  • La intersección , T , de B y N es un subgrupo normal de N.
  • El grupo W = N / T está generado por un conjunto S de elementos de orden 2 tales que
    • Si s es un elemento de S y w es un elemento de W, entonces sBw está contenido en la unión de BswB y BwB .
    • Ningún elemento de S normaliza a B.

El conjunto S está determinado unívocamente por B y N y el par ( W , S ) es un sistema de Coxeter . [ 1 ]

Terminología

Los pares BN están estrechamente relacionados con los grupos reductivos y la terminología en ambos temas se superpone. El tamaño de S se llama rango . Llamamos

Un subgrupo de G se llama

  • parabólico si contiene un conjugado de B ,
  • parabólica estándar si, de hecho, contiene B mismo, y
  • una parábola de Borel (o parábola mínima ) si es un conjugado de B.

Ejemplos

Ejemplos abstractos de pares ( B , N ) surgen de ciertas acciones grupales.

  • Supongamos que G es cualquier grupo de permutaciones doblemente transitivo sobre un conjunto E con más de 2 elementos. Sea B el subgrupo de G que fija un punto x , y sea N el subgrupo que fija o intercambia 2 puntos x e y . El subgrupo T es entonces el conjunto de elementos que fijan tanto x como y , y W tiene orden 2 y su elemento no trivial está representado por cualquier intercambio de x e y .
  • Por el contrario, si G tiene un par ( B , N ) de rango 1, entonces la acción de G sobre las clases laterales de B es doblemente transitiva . Así pues, los pares ( B , N ) de rango 1 son más o menos lo mismo que las acciones doblemente transitivas sobre conjuntos con más de 2 elementos.

Ejemplos más concretos de pares ( B , N ) se pueden encontrar en grupos reductivos.

  • Supongamos que G es el grupo lineal general GL n K sobre un cuerpo K. Tomamos B como las matrices triangulares superiores , T como las matrices diagonales y N como las matrices monomiales , es decir, matrices con exactamente un elemento distinto de cero en cada fila y columna. Hay n − 1 generadores, representados por las matrices obtenidas al intercambiar dos filas adyacentes de una matriz diagonal. El grupo de Weyl es el grupo simétrico sobre n letras.  
  • De manera más general, si G es un grupo reductivo sobre un cuerpo K , entonces el grupo G = G ( K ) tiene un par ( B , N ) en el que
    • B = P ( K ), donde P es un subgrupo parabólico mínimo de G , y
    • N = N ( K ), donde N es el normalizador de un toro maximal dividido contenido en P . [ 2 ]
  • En particular, cualquier grupo finito de tipo Lie tiene la estructura de un par ( B , N ).
  • Un grupo algebraico semisimple simplemente conexo sobre un cuerpo local tiene un par ( B , N ) donde B es un subgrupo de Iwahori .

Propiedades

descomposición de Bruhat

La descomposición de Bruhat establece que G  =  BWB . Más precisamente, las clases laterales dobles B \ G / B están representadas por un conjunto de elevaciones de W a N. [ 3 ]

subgrupos parabólicos

Todo subgrupo parabólico es igual a su normalizador en G. [ 4 ]

Todo parabólico estándar tiene la forma BW ( X ) B para algún subconjunto X de S , donde W ( X ) denota el subgrupo de Coxeter generado por X. Además, dos parabólicos estándar son conjugados si y solo si sus conjuntos X son iguales. Por lo tanto, existe una biyección entre subconjuntos de S y parabólicos estándar. [ 5 ] De forma más general, esta biyección se extiende a clases de conjugación de subgrupos parabólicos. [ 6 ]

Teorema de simplicidad de Tits

Los pares BN se pueden usar para demostrar que muchos grupos de tipo Lie son simples módulo sus centros . Más precisamente, si G tiene un par BN tal que B es un grupo resoluble , la intersección de todos los conjugados de B es trivial y el conjunto de generadores de W no se puede descomponer en dos conjuntos conmutativos no vacíos , entonces G es simple siempre que sea un grupo perfecto . En la práctica, todas estas condiciones, excepto que G sea perfecto, son fáciles de comprobar. Comprobar que G es perfecto requiere algunos cálculos algo engorrosos (y de hecho hay algunos grupos pequeños de tipo Lie que no son perfectos). Pero demostrar que un grupo es perfecto suele ser mucho más fácil que demostrar que es simple.

Citas

  1. ↑ Abramenko y Brown 2008 , pág. 319, Teorema 6.5.6(1).
  2. ↑ Borel 1991 , pág. 236, Teorema 21.15.
  3. ↑ Bourbaki 1981 , pág. 25, Teorema 1.
  4. ↑Bourbaki 1981, p. 29, Théorème 4(iv).
  5. ↑Bourbaki 1981, p. 27, Théorème 3.
  6. ↑Bourbaki 1981, p. 29, Théorème 4.

References

  • Abramenko, Peter; Brown, Kenneth S. (2008). Buildings. Theory and Applications. Springer. ISBN 978-0-387-78834-0. MR 2439729. Zbl 1214.20033. Section 6.2.6 discusses BN pairs.
  • Borel, Armand (1991) [1969], Linear Algebraic Groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 126 (2nd ed.), New York: Springer Nature, doi:10.1007/978-1-4612-0941-6, ISBN 0-387-97370-2, MR 1102012
  • Bourbaki, Nicolas (1981). Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 4–6. Elements of Mathematics (in French). Hermann. ISBN 2-225-76076-4. MR 0240238. Zbl 0483.22001. Chapitre IV, § 2 is the standard reference for BN pairs.
  • Bourbaki, Nicolas (2002). Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 4–6. Elements of Mathematics. Springer. ISBN 3-540-42650-7. MR 1890629. Zbl 0983.17001.
  • Serre, Jean-Pierre (2003). Trees. Springer. ISBN 3-540-44237-5. Zbl 1013.20001.