Gráfico de desplazamientos

Es posible que un grafo conmutativo no esté conectado y, por lo tanto, no tenga un diámetro finito .

Para un conjunto finito${\displaystyle X}$, el gráfico conmutativo del grupo simétrico${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$está conectado si y solo si${\displaystyle |X|}$y${\displaystyle |X|-1}$no son primos y el grafo conmutativo del grupo alternante${\displaystyle {\mathcal {A}}(X)}$está conectado si y solo si${\displaystyle |X|}$,${\displaystyle |X|-1}$, y${\displaystyle |X|-2}$no son primos. Cuando están conectados, los grafos conmutativos de${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$y${\displaystyle {\mathcal {A}}(X)}$tienen un diámetro como máximo de 5. ^{[ 5 ]}

El grafo conmutativo del semigrupo inverso simétrico${\displaystyle {\mathcal {I}}(X)}$no está conectado si y solo si${\displaystyle |X|}$es un primo impar. Cuando${\displaystyle |X|}$no es un primo impar, tiene diámetro 4 o 5, y se sabe que tiene diámetro 4 cuando${\displaystyle |X|}$es uniforme y diámetro 5 cuando${\displaystyle |X|}$es una potencia de un primo impar. ^{[ 6 ]}

Para cada número natural n , existe un grupo finito cuyo grafo conmutativo es conexo y tiene un diámetro igual a n . ^{[ 7 ]} Pero si un grupo finito tiene centro trivial y su grafo conmutativo es conexo, entonces su diámetro es como máximo 10. ^{[ 8 ]}

El grafo conmutativo de un semigrupo completamente simple nunca es conexo excepto cuando es un grupo, y si no es un grupo, sus componentes conexas son los grafos conmutativos que incluyen elementos centrales de sus subgrupos maximales ^{[ 9 ]} (los cuales, por el teorema de Rees-Suschkewitsch, son isomorfos ^{[ 10 ]} ).

Los grupos simples finitos no abelianos se caracterizan de forma única por sus grafos conmutativos, en el sentido de que si G es un grupo simple finito no abeliano y H es un grupo, y los grafos conmutativos de G y H son isomorfos (como grafos), entonces G y H son isomorfos (como grupos). Este resultado fue conjeturado en 2006 ^{[ 11 ]} y demostrado por diferentes autores para grupos esporádicos ^{[ 12 ]} , grupos alternantes ^{[ 13 ]} y grupos de tipo Lie ^{[ 14 ] .}