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Lista de grupos simples finitos

En matemáticas , la clasificación de grupos simples finitos establece que todo grupo simple finito es cíclico , o alternante , o pertenece a una de las 16 familias de grupos de ...

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En matemáticas , la clasificación de grupos simples finitos establece que todo grupo simple finito es cíclico , o alternante , o pertenece a una de las 16 familias de grupos de tipo Lie , o a uno de los 26 grupos esporádicos .

La lista que aparece a continuación incluye todos los grupos simples finitos, junto con su orden , el tamaño del multiplicador de Schur , el tamaño del grupo de automorfismos externos , normalmente algunas representaciones pequeñas y listas de todos los duplicados.

Resumen

La siguiente tabla contiene una lista completa de las 18 familias de grupos simples finitos y los 26 grupos simples esporádicos, junto con sus órdenes. Se incluyen los miembros no simples de cada familia, así como los miembros duplicados dentro de una familia o entre familias. (Al eliminar los duplicados, conviene observar que no hay dos grupos simples finitos con el mismo orden, salvo que los grupos A 8  = A 3 (2) y A 2 (4) tienen ambos el orden 20160, y que el grupo B n ( q ) tiene el mismo orden que C n ( q ) para q impar, n > 2. El menor de estos últimos pares de grupos es B 3 (3) y C 3 (3), que tienen ambos el orden 4585351680).   

Existe una desafortunada discrepancia entre las notaciones de los grupos alternantes A n y los grupos de tipo Lie A n ( q ). Algunos autores utilizan distintas fuentes para A n con el fin de diferenciarlos. En particular, en este artículo hacemos la distinción escribiendo los grupos alternantes A n en fuente romana y los grupos de tipo Lie A n ( q ) en cursiva.

En lo que sigue, n es un entero positivo y q es una potencia positiva de un número primo p , con las restricciones indicadas. La notación ( a , b ) representa el máximo común divisor de los enteros a y b .

Grupos cíclicos, Z p

Sencillez: Sencillo para p un número primo.

Orden: p

Multiplicador de Schur: Trivial.

Grupo de automorfismos externos: Cíclico de orden p  −  1.

Otros nombres: Z/ p Z, C p

Observaciones: Estos son los únicos grupos simples que no son perfectos .

Grupos alternos, A n , n = 3, n > 4

Sencillez: Resoluble para n ≤ 2 y n = 4, en caso contrario es simple.

Orden: n !/2 cuando n  >  1.

Multiplicador de Schur: 2 para n  =  5 o n  >  7, 6 para n  =  6 o 7; véase Grupos de recubrimiento de los grupos alternantes y simétricos.

Grupo de automorfismos externos: En general 2. Excepciones: para n  =  1, n  =  2, es trivial, y para n  =  6 , tiene orden 4 (abeliano elemental).

Otros nombres: Alt n .

Isomorfismos: A 1 y A 2 son triviales. A 3 es cíclico de orden 3. A 4 es isomorfo a A 1 (3) (resoluble). A 5 es isomorfo a A 1 (4) y a A 1 (5). A 6 es isomorfo a A 1 (9) y al grupo derivado B 2 (2)′. A 8 es isomorfo a A 3 (2).

Observaciones: Un subgrupo de índice 2 del grupo simétrico de permutaciones de n puntos cuando n  >  1.

Grupos de tipo Lie

Notación: n es un entero positivo, q > 1 es una potencia de un número primo p , y es el orden de algún cuerpo finito subyacente . El orden del grupo de automorfismos externos se escribe como d ⋅ f ⋅ g , donde d es el orden del grupo de "automorfismos diagonales", f es el orden del grupo (cíclico) de "automorfismos de cuerpos" (generado por un automorfismo de Frobenius ), y g es el orden del grupo de "automorfismos de grafos" (provenientes de automorfismos del diagrama de Dynkin ). El grupo de automorfismos externos suele ser, pero no siempre, isomorfo al producto semidirecto.D⋊(F×GRAMO){\displaystyle D\rtimes (F\times G)}donde todos estos gruposD,F,GRAMO{\displaystyle D,F,G}son cíclicos de los respectivos órdenes d, f, g , excepto para el tipoDnorte(q){\displaystyle D_{n}(q)},q{\displaystyle q}extraño, donde el grupo de ordend=4{\displaystyle d=4}esdo2×do2{\displaystyle C_{2}\times C_{2}}y (solo cuandonorte=4{\displaystyle n=4})GRAMO=S3{\displaystyle G=S_{3}}, el grupo simétrico de tres elementos. La notación ( a , b ) representa el máximo común divisor de los enteros a y b .

Grupos de Chevalley , A n ( q ), B n ( q ) n > 1, C n ( q ) n > 2, D n ( q ) n > 3

Grupos de Chevalley , E 6 ( q ), E 7 ( q ), E 8 ( q ), F 4 ( q ), G 2 ( q )

Grupos de Steinberg , 2 A n ( q 2 ) n > 1, 2 D n ( q 2 ) n > 3, 2 E 6 ( q 2 ), 3 D 4 ( q 3 )

Grupos de Suzuki , 2 B 2 (2 2 n +1 )

Simplicidad: Simple para n ≥ 1. El grupo 2 B 2 (2) es resoluble.

Orden: q 2 ( q 2 + 1) ( q  −  1), donde q  =  2 2 n +1 .

Multiplicador de Schur: Trivial para n ≠ 1, abeliano elemental de orden 4 para 2 B 2 (8).

Grupo de automorfismos externos:

1 ⋅ f ⋅ 1,

donde f  =  2 n + 1.

Otros nombres: Suz(2 2 n +1 ), Sz(2 2 n +1 ).

Isomorfismos: 2 B 2 (2) es el grupo de Frobenius de orden 20.

Observaciones: Los grupos de Suzuki son grupos de Zassenhaus que actúan sobre conjuntos de tamaño (2 2 n +1 ) 2  +  1, y tienen representaciones de 4 dimensiones sobre el cuerpo con 2 2 n +1 elementos. Son los únicos grupos simples no cíclicos cuyo orden no es divisible por 3. No están relacionados con el grupo de Suzuki esporádico.

Grupos Ree y grupo Tits , 2 F 4 (2 2 n +1 )

Simplicidad: Simple para n  ≥  1. El grupo derivado 2 F 4 (2)′ es simple de índice 2 en 2 F 4 (2), y se llama grupo de Tits , nombrado en honor al matemático belga Jacques Tits .

Orden: q 12 ( q 6  +  1) ( q 4  −  1) ( q 3  +  1) ( q  −  1), donde q  =  2 2 n +1 .

El grupo Tits tiene el orden 17971200 = 2 11 ⋅ 3 3 ⋅ 5 2 ⋅ 13.

Multiplicador de Schur: Trivial para n  ≥  1 y para el grupo de Tits.

Grupo de automorfismos externos:

1 ⋅ f ⋅ 1,

donde f  =  2 n  +  1. Orden 2 para el grupo Tits.

Observaciones: A diferencia de los otros grupos simples de tipo Lie, el grupo Tits no tiene un par BN , aunque su grupo de automorfismos sí lo tiene, por lo que la mayoría de los autores lo clasifican como un grupo "honorario" de tipo Lie.

Grupos de Ree , 2 G 2 (3 2 n +1 )

Simplicidad: Simple para n  ≥  1. El grupo 2 G 2 (3) no es simple, pero su grupo derivado 2 G 2 (3)′ es un subgrupo simple de índice 3.

Orden: q 3 ( q 3  +  1) ( q  −  1), donde q  =  3 2 n +1

Multiplicador de Schur: Trivial para n  ≥  1 y para 2 G 2 (3)′.

Grupo de automorfismos externos:

1 ⋅ f ⋅ 1,

donde f  =  2 n  +  1.

Otros nombres: Ree(3 2 n +1 ), R(3 2 n +1 ), E 2 ∗ (3 2 n +1 ) .

Isomorfismos: El grupo derivado 2 G 2 (3)′ es isomorfo a A 1 (8).

Observaciones: 2 G 2 (3 2 n +1 ) tiene una representación de permutación doblemente transitiva en 3 3(2 n +1)  +  1 puntos y actúa sobre un espacio vectorial de 7 dimensiones sobre el campo con 3 2 n +1 elementos.

Grupos esporádicos

Grupos de Mathieu , M 11 , M 12 , M 22 , M 23 , M 24

Grupos Janko , J1 , J2 , J3 , J4

Grupos de Conway , Compañía 1 , Compañía 2 , Compañía 3

Grupos de Fischer , Fi 22 , Fi 23 , Fi 24 ′

Grupo Higman-Sims , HS

Orden: 2 9 ⋅ 3 2 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 = 44352000

Multiplicador de Schur: Orden 2.

Grupo de automorfismos externos: Orden 2.

Observaciones: Actúa como un grupo de permutación de rango 3 en el gráfico de Higman Sims con 100 puntos, y está contenido en Co 2 y en Co 3 .

Grupo McLaughlin , McL

Orden: 2 7 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 = 898128000

Multiplicador de Schur: Orden 3.

Grupo de automorfismos externos: Orden 2.

Observaciones: Actúa como un grupo de permutación de rango 3 en el grafo de McLaughlin con 275 puntos, y está contenido en Co 2 y en Co 3 .

Grupo de sostenimiento , Él

Orden: 2 10 ⋅ 3 3 ⋅ 5 2 ⋅ 7 3 ⋅ 17 = 4030387200

Multiplicador de Schur: Trivial.

Grupo de automorfismos externos: Orden 2.

Otros nombres: grupo Held–Higman–McKay, HHM, F 7 , HTH

Observaciones: Centraliza un elemento de orden 7 en el grupo de monstruos.

Grupo Rudvalis , Ru

Orden: 2 14 ⋅ 3 3 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 13 ⋅ 29 = 145926144000

Multiplicador de Schur: Orden 2.

Grupo de automorfismos externos: Trivial.

Observaciones: La doble cobertura actúa sobre una red de 28 dimensiones sobre los enteros gaussianos .

Grupo esporádico de Suzuki , Suz

Orden: 2 13 ⋅ 3 7 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 448345497600

Multiplicador de Schur: Orden 6.

Grupo de automorfismos externos: Orden 2.

Otros nombres: Sz

Observaciones: La cubierta de 6 pliegues actúa sobre una red de 12 dimensiones sobre los enteros de Eisenstein . No está relacionada con los grupos de Suzuki de tipo Lie.

Grupo O'Nan , O'N

Orden: 2 9 ⋅ 3 4 ⋅ 5 ⋅ 7 3 ⋅ 11 ⋅ 19 ⋅ 31 = 460815505920

Multiplicador de Schur: Orden 3.

Grupo de automorfismos externos: Orden 2.

Otros nombres: Grupo O'Nan–Sims, O'NS, O–S

Observaciones: La triple cobertura tiene dos representaciones de 45 dimensiones sobre el campo con 7 elementos, intercambiadas por un automorfismo externo.

Grupo Harada-Norton , HN

Orden: 2 14 ⋅ 3 6 ⋅ 5 6 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 273030912000000

Multiplicador de Schur: Trivial.

Grupo de automorfismos externos: Orden 2.

Otros nombres: F 5 , D

Observaciones: Centraliza un elemento de orden 5 en el grupo de monstruos.

Grupo Lyons , Ly

Orden: 2 8 ⋅ 3 7 ⋅ 5 6 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 67 = 51765179004000000

Multiplicador de Schur: Trivial.

Grupo de automorfismos externos: Trivial.

Otros nombres: grupo Lyons-Sims, LyS

Observaciones: Tiene una representación de 111 dimensiones sobre el campo con 5 elementos.

Grupo Thompson , Th

Orden: 2 15 ⋅ 3 10 ⋅ 5 3 ⋅ 7 2 ⋅ 13 ⋅ 19 ⋅ 31 = 90745943887872000

Multiplicador de Schur: Trivial.

Grupo de automorfismos externos: Trivial.

Otros nombres: F 3 , E

Observaciones: Centraliza un elemento de orden 3 en el monstruo. Tiene una representación de 248 dimensiones que, al reducirse módulo 3, conduce a la contención en E 8 (3).

Grupo Baby Monster , B

Orden:

   2 41 ⋅ 3 13 ⋅ 5 6 ⋅ 7 2 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 31 ⋅ 47
= 4154781481226426191177580544000000

Multiplicador de Schur: Orden 2.

Grupo de automorfismos externos: Trivial.

Otros nombres: F 2

Observaciones: La doble cubierta está contenida en el grupo de monstruos. Tiene una representación de dimensión 4371 sobre los números complejos (sin producto invariante no trivial) y una representación de dimensión 4370 sobre el cuerpo con 2 elementos que preservan un producto conmutativo pero no asociativo.

Grupo de monstruos Fischer-Griess , M

Orden:

   2 46 ⋅ 3 20 ⋅ 5 9 ⋅ 7 6 ⋅ 11 2 ⋅ 13 3 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 41 ⋅ 47 ⋅ 59 ⋅ 71
= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000

Multiplicador de Schur: Trivial.

Grupo de automorfismos externos: Trivial.

Otros nombres: F 1 , M 1 , Grupo de monstruos, Gigante amigable, Monstruo de Fischer.

Observaciones: Contiene todos menos 6 de los otros grupos esporádicos como subcocientes. Relacionado con el aguardiente monstruoso . El monstruo es el grupo de automorfismos del álgebra de Griess de 196.883 dimensiones y el álgebra de operadores de vértice monstruosa de dimensión infinita , y actúa naturalmente sobre el álgebra de Lie monstruosa .

Grupos simples no cíclicos de pequeño orden

(Completar para pedidos inferiores a 100.000)

Hall (1972) enumera los 56 grupos simples no cíclicos de orden menor a un millón.

Véase también

Notas

  1. ↑ Se cometieron varios errores en los cálculos iniciales del multiplicador de Schur, por lo que algunos libros y artículos antiguos presentan valores incorrectos. (Esto provocó un error en el título del artículo original de Janko de 1976 [ 1 ] que aportaba pruebas de la existencia del grupo J4 . En aquel momento se creía que el grupo de cobertura completa de M22 era 6⋅M22 . De hecho, J4 no tiene ningún subgrupo 12⋅M22 ) .

Referencias

  1. ↑ Z. Janko (1976). "Un nuevo grupo simple finito de orden 86,775,571,046,077,562,880 que posee M 24 y el grupo de recubrimiento completo de M 22 como subgrupos" . J. Algebra . 42 : 564–596 . doi : 10.1016/0021-8693(76)90115-0 .

Lecturas adicionales

  • Grupos simples de tipo mentira por Roger W. Carter , ISBN 0-471-50683-4
  • Conway, J. H .; Curtis, RT; Norton, SP ; Parker, RA; y Wilson, RA : " Atlas de grupos finitos: subgrupos maximales y caracteres ordinarios para grupos simples ". Oxford, Inglaterra, 1985.
  • Daniel Gorenstein , Richard Lyons, Ronald Solomon La clasificación de los grupos simples finitos (volumen 1) , AMS, 1994 (volumen 3) , AMS, 1998
  • Hall, Marshall Jr. (1972), "Grupos simples de orden menor que un millón", Journal of Algebra , 20 : 98–102 , doi : 10.1016/0021-8693(72)90090-7 , ISSN 0021-8693 , MR 0285603  
  • Wilson, Robert A. (2009), Los grupos simples finitos , Graduate Texts in Mathematics 251, vol.  251, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 1203.20012 
  • Atlas de representaciones de grupos finitos : contiene representaciones y otros datos para muchos grupos simples finitos, incluidos los grupos esporádicos.
  • Órdenes de grupos simples no abelianos hasta 10 10 , y hasta 10 48 con restricciones de rango.
  • Órdenes de grupos simples no abelianos hasta el orden 10.000.000.000.
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