Grupo de Lyon

En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Lyons Ly o grupo de Lyons-Sims LyS es un grupo simple esporádico de orden

   51.765.179.004.000.000

= 2 ⁸  · 3 ⁷  · 5 ⁶  · 7  · 11  · 31  · 37  · 67

≈ 5 × 10¹⁶ .

Ly es uno de los 26 grupos esporádicos y fue descubierto por Richard Lyons y Charles Sims en 1972-73. Lyons caracterizó 51765179004000000 como el único orden posible de cualquier grupo simple finito donde el centralizador de alguna involución es isomorfo a la extensión central no trivial del grupo alternante A ₁₁ de grado 11 por el grupo cíclico C ₂ . Sims (1973) demostró la existencia de tal grupo y su unicidad hasta el isomorfismo con una combinación de teoría de grupos de permutación y cálculos de máquina.

Cuando se descubrió el grupo esporádico de McLaughlin , se advirtió que un centralizador de una de sus involuciones era el doble recubrimiento perfecto del grupo alternante A ₈ . Esto sugirió considerar los dobles recubrimientos de los otros grupos alternantes A _n como posibles centralizadores de involuciones en grupos simples. Los casos n ≤ 7 son descartados por el teorema de Brauer-Suzuki , el caso n = 8 conduce al grupo de McLaughlin, el caso n = 9 fue descartado por Zvonimir Janko , el propio Lyons descartó el caso n = 10 y encontró el grupo de Lyons para n = 11, mientras que los casos n ≥ 12 fueron descartados por JG Thompson y Ronald Solomon .

El multiplicador de Schur y el grupo de automorfismos externos son ambos triviales .

Como 37 y 67 no son primos supersingulares , el grupo de Lyons no puede ser un subcociente del grupo monstruo . Por lo tanto, es uno de los 6 grupos esporádicos llamados parias .

Meyer, Neutsch y Parker (1985) demostraron que el grupo de Lyons tiene una representación modular de dimensión 111 sobre el cuerpo de cinco elementos, que es la dimensión más pequeña de cualquier representación lineal fiel y es una de las formas más sencillas de calcular con él. También se ha demostrado mediante varias presentaciones complicadas en términos de generadores y relaciones, por ejemplo, las de Sims (1973) o Gebhardt (2000).

La representación de permutación fiel más pequeña es una representación de permutación de rango 5 en 8835156 puntos con estabilizador G ₂ (5). También hay una representación de permutación de rango 5 ligeramente más grande en 9606125 puntos con estabilizador 3.McL:2.

Wilson (1985) encontró las 9 clases de conjugación de subgrupos máximos de Ly de la siguiente manera:

• Richard Lyons (1972,5) "Evidencia de un nuevo grupo simple finito", Journal of Algebra 20:540–569 y 34:188–189.
• Gebhardt, Volker (2000). "Dos presentaciones breves para el grupo simple esporádico de Lyons". Experimental Mathematics . 9 (3): 333–8. doi :10.1080/10586458.2000.10504410. S2CID  8361971.
• Meyer, Werner; Neusch, Wolfram; Parker, Richard (1985), "La representación mínima de 5 del grupo esporádico de Lyons", Mathematische Annalen , 272 (1): 29–39, doi :10.1007/BF01455926, ISSN  0025-5831, MR  0794089, S2CID  120696430
• Sims, Charles C. (1973), "La existencia y unicidad del grupo de Lyons", Finite groups '72 (Proc. Gainesville Conf., Univ. Florida, Gainesville, Fla., 1972) , North-Holland Math. Studies, vol. 7, Ámsterdam: North-Holland, págs. 138-141, MR  0354881
• Wilson, Robert A. (1985), "Los subgrupos máximos del grupo de Lyons", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 97 (3): 433–436, doi :10.1017/S0305004100063003, ISSN  0305-0041, MR  0778677, S2CID  119577612

• MathWorld: Grupo Lyon
• Atlas de representaciones de grupos finitos: grupo de Lyon