Tabla de personajes

En teoría de grupos , una rama del álgebra abstracta , una tabla de caracteres es una tabla bidimensional cuyas filas corresponden a representaciones irreducibles y cuyas columnas corresponden a clases de conjugación de elementos de grupo . Las entradas consisten en caracteres , las trazas de las matrices que representan elementos de grupo de la clase de la columna en la representación de grupo de la fila dada . En química , cristalografía y espectroscopia , las tablas de caracteres de grupos puntuales se utilizan para clasificar, por ejemplo, las vibraciones moleculares según su simetría y para predecir si una transición entre dos estados está prohibida por razones de simetría. Muchos libros de texto universitarios sobre química física , química cuántica , espectroscopia y química inorgánica dedican un capítulo al uso de tablas de caracteres de grupos de simetría. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

Los caracteres complejos irreducibles de un grupo finito forman una tabla de caracteres que codifica mucha información útil sobre el grupo.${\displaystyle G}$de forma concisa. Cada fila está etiquetada por un carácter irreducible y las entradas en la fila son los valores de ese carácter en cualquier representante de la respectiva clase de conjugación de${\displaystyle G}$(porque los caracteres son funciones de clase ). Las columnas están etiquetadas por (representantes de) las clases de conjugación de${\displaystyle G}$. Es costumbre etiquetar la primera fila con el carácter de la representación trivial , que es la acción trivial de G sobre un espacio vectorial unidimensional por${\displaystyle \rho (g)=1}$a pesar de${\displaystyle g\in G}$Cada entrada en la primera fila es, por lo tanto, 1. De manera similar, es costumbre etiquetar la primera columna con la identidad . Las entradas de la primera columna son los valores de los caracteres irreducibles en la identidad, los grados de los caracteres irreducibles. Los caracteres de grado 1 se conocen como caracteres lineales .

Aquí está la tabla de caracteres de${\displaystyle C_{3}=\langle u\rangle }$, el grupo cíclico con tres elementos y generador u :

donde ω es una raíz cúbica primitiva de la unidad . La tabla de caracteres para grupos cíclicos generales es (un múltiplo escalar de) la matriz DFT .

Otro ejemplo es la tabla de caracteres de${\displaystyle S_{3}}$:

donde (12) representa la clase de conjugación que consta de (12), (13), (23), mientras que (123) representa la clase de conjugación que consta de (123), (132). Para obtener más información sobre la tabla de caracteres de grupos simétricos, consulte.

La primera fila de la tabla de caracteres siempre consta de 1s y corresponde a la representación trivial (la representación unidimensional que consiste en matrices de 1 × 1 que contienen la entrada 1). Además, la tabla de caracteres siempre es cuadrada porque (1) los caracteres irreducibles son ortogonales por pares, y (2) ninguna otra función de clase no trivial es ortogonal a cada carácter. (Una función de clase es aquella que es constante en las clases de conjugación). Esto está ligado al hecho importante de que las representaciones irreducibles de un grupo finito G están en biyección con sus clases de conjugación. Esta biyección también se deduce al mostrar que las sumas de clases forman una base para el centro del álgebra de grupo de G , que tiene dimensión igual al número de representaciones irreducibles de G.

El espacio de funciones de clase con valores complejos de un grupo finito G tiene un producto interno natural :

${\displaystyle \left\langle \alpha ,\beta \right\rangle$ :={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\alpha (g){\overline {\beta (g)}}}

dónde${\displaystyle {\overline {\beta (g)}}}$denota el conjugado complejo del valor de${\displaystyle \beta }$en${\displaystyle g}$Con respecto a este producto interno, los caracteres irreducibles forman una base ortonormal para el espacio de funciones de clase, y esto produce la relación de ortogonalidad para las filas de la tabla de caracteres:

${\displaystyle \left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}i\neq j,\\1&{\mbox{ if }}i=j.\end{cases}}}$

Para${\displaystyle g,h\in G}$La relación de ortogonalidad para las columnas es la siguiente:

${\displaystyle \sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)}}={\begin{cases}\left|C_{G}(g)\right|,&{\mbox{ if }}g,h{\mbox{ are conjugate}}\\0&{\mbox{ otherwise.}}\end{cases}}}$

donde la suma se realiza sobre todos los caracteres irreducibles${\displaystyle \chi _{i}}$de G y el símbolo${\displaystyle \left|C_{G}(g)\right|}$denota el orden del centralizador de${\displaystyle g}$.

Para un carácter arbitrario${\displaystyle \chi _{i}}$, es irreductible si y solo si${\displaystyle \left\langle \chi _{i},\chi _{i}\right\rangle =1}$.

Las relaciones de ortogonalidad pueden ayudar en muchos cálculos, entre ellos:

• Descomponer un carácter desconocido como una combinación lineal de caracteres irreducibles, es decir, número de copias de la representación irreducible V _i en${\displaystyle V=\left\langle \chi ,\chi _{i}\right\rangle }$.
• Construir la tabla completa de caracteres cuando solo se conocen algunos de los caracteres irreducibles.
• Determinar el orden de los centralizadores de los representantes de las clases de conjugación de un grupo.
• Encontrar el orden del grupo,${\displaystyle \left|G\right|=\left|Cl(g)\right|*\sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(g)}}}$, para cualquier g en G .

Si la representación irreducible V no es trivial, entonces${\displaystyle \sum _{g}\chi (g)=0.}$

Más específicamente, consideremos la representación regular , que es la permutación obtenida de un grupo finito G que actúa sobre (el espacio vectorial libre generado por) sí mismo. Los caracteres de esta representación son:${\displaystyle \chi (e)=\left|G\right|}$y${\displaystyle \chi (g)=0}$para${\displaystyle g}$no la identidad. Entonces, dada una representación irreducible${\displaystyle V_{i}}$,

${\displaystyle \left\langle \chi _{\text{reg}},\chi _{i}\right\rangle ={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{\text{reg}}(g)}}={\frac {1}{\left|G\right|}}\chi _{i}(1){\overline {\chi _{\text{reg}}(1)}}=\operatorname {dim} V_{i}}$.

Luego, descomponiendo las representaciones regulares como una suma de representaciones irreducibles de G , obtenemos${\displaystyle V_{\text{reg}}=\bigoplus V_{i}^{\operatorname {dim} V_{i}}}$de lo cual concluimos

${\displaystyle |G|=\operatorname {dim} V_{\text{reg}}=\sum (\operatorname {dim} V_{i})^{2}}$

sobre todas las representaciones irreducibles${\displaystyle V_{i}}$Esta suma puede ayudar a reducir las dimensiones de las representaciones irreducibles en una tabla de caracteres. Por ejemplo, si el grupo tiene orden 10 y 4 clases de conjugación (por ejemplo, el grupo diedral de orden 10), entonces la única forma de expresar el orden del grupo como una suma de cuatro cuadrados es${\displaystyle 10=1^{2}+1^{2}+2^{2}+2^{2}}$, así que conocemos las dimensiones de todas las representaciones irreducibles.

La conjugación compleja actúa sobre la tabla de caracteres: puesto que el conjugado complejo de una representación es también una representación, lo mismo ocurre con los caracteres, y por lo tanto, un carácter que toma valores complejos no reales tiene un carácter conjugado.

Ciertas propiedades del grupo G pueden deducirse de su tabla de caracteres:

• El orden de G viene dado por la suma de los cuadrados de los elementos de la primera columna (los grados de los caracteres irreducibles). De forma más general, la suma de los cuadrados de los valores absolutos de los elementos de cualquier columna da el orden del centralizador de un elemento de la clase de conjugación correspondiente.
• Todos los subgrupos normales de G (y por lo tanto, si G es simple o no ) pueden reconocerse a partir de su tabla de caracteres. El núcleo de un carácter χ es el conjunto de elementos g en G para los cuales χ(g) = χ(1); este es un subgrupo normal de G. Cada subgrupo normal de G es la intersección de los núcleos de algunos de los caracteres irreducibles de G.
• El número de representaciones irreducibles de G es igual al número de clases de conjugación que tiene G.
• El subgrupo conmutador de G es la intersección de los núcleos de los caracteres lineales de G.
• Si G es finito, entonces, dado que la tabla de caracteres es cuadrada y tiene tantas filas como clases de conjugación, se deduce que G es abeliano si y solo si cada clase de conjugación tiene tamaño 1 si y solo si la tabla de caracteres de G es${\displaystyle |G|\!\times \!|G|}$si y solo si cada carácter irreducible es lineal.
• De ello se deduce, utilizando algunos resultados de Richard Brauer de la teoría de la representación modular , que los divisores primos de los órdenes de los elementos de cada clase de conjugación de un grupo finito pueden deducirse de su tabla de caracteres (una observación de Graham Higman ).

La tabla de caracteres no determina, en general, el grupo salvo isomorfismo : por ejemplo, el grupo de cuaterniones y el grupo diedral de orden 8 tienen la misma tabla de caracteres. Brauer preguntó si la tabla de caracteres, junto con el conocimiento de cómo se distribuyen las potencias de los elementos de sus clases de conjugación, determina un grupo finito salvo isomorfismo. En 1964, E. C. Dade respondió negativamente a esta pregunta .

Las representaciones lineales de G son en sí mismas un grupo bajo el producto tensorial , ya que el producto tensorial de espacios vectoriales unidimensionales es nuevamente unidimensional . Es decir, si${\displaystyle \rho _{1}:G\to V_{1}}$y${\displaystyle \rho _{2}:G\to V_{2}}$son representaciones lineales, entonces${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}(g)=(\rho _{1}(g)\otimes \rho _{2}(g))}$define una nueva representación lineal. Esto da lugar a un grupo de caracteres lineales, llamado grupo de caracteres bajo la operación${\displaystyle [\chi _{1}*\chi _{2}](g)=\chi _{1}(g)\chi _{2}(g)}$Este grupo está relacionado con los caracteres de Dirichlet y el análisis de Fourier .

El grupo de automorfismos externos actúa sobre la tabla de caracteres permutando columnas (clases de conjugación) y, en consecuencia, filas, lo que le da otra simetría a la tabla. Por ejemplo, los grupos abelianos tienen el automorfismo externo.${\displaystyle g\mapsto g^{-1}}$, que no es trivial excepto para los 2-grupos abelianos elementales , y externo porque los grupos abelianos son precisamente aquellos para los que la conjugación ( automorfismos internos ) actúa trivialmente. En el ejemplo de${\displaystyle C_{3}}$arriba, este mapa envía${\displaystyle u\mapsto u^{2},u^{2}\mapsto u,}$y en consecuencia cambia${\displaystyle \chi _{1}}$y${\displaystyle \chi _{2}}$(cambiando sus valores de${\displaystyle \omega }$y${\displaystyle \omega ^{2}}$). Nótese que este automorfismo en particular (negativo en grupos abelianos) concuerda con la conjugación compleja.

Formalmente, si${\displaystyle \phi \colon G\to G}$es un automorfismo de G y${\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {GL} }$es una representación, entonces${\displaystyle \rho ^{\phi }:=g\mapsto \rho (\phi (g))}$es una representación. Si${\displaystyle \phi =\phi _{a}}$es un automorfismo interno (conjugación por algún elemento a ), entonces actúa trivialmente sobre las representaciones, porque las representaciones son funciones de clase (la conjugación no cambia su valor). Por lo tanto, una clase dada de automorfismos externos, actúa sobre los caracteres, porque los automorfismos internos actúan trivialmente, la acción del grupo de automorfismos${\displaystyle \mathrm {Aut} }$desciende al cociente${\displaystyle \mathrm {Out} }$.

Esta relación puede utilizarse en ambos sentidos: dado un automorfismo externo, se pueden producir nuevas representaciones (si la representación no es igual en las clases de conjugación que son intercambiadas por el automorfismo externo) y, a la inversa, se pueden restringir los posibles automorfismos externos en función de la tabla de caracteres.

Para hallar el número total de modos vibracionales de una molécula de agua, primero es necesario calcular la representación _{irreducible Γ a partir de la tabla de caracteres de una molécula de agua.}

El etileno pertenece al grupo puntual D2h, que tiene ocho símbolos de Mulliken en la primera columna. Además, la molécula de etileno contiene seis átomos, cada uno con un eje x, uno y y uno z. Por lo tanto, la molécula tiene un total de 18 ejes.

Para los modos vibracionales de la molécula, es necesario calcular la representación irreducible Γ _. Además, la representación irreducible está relacionada con la representación reducible.

Aquí hay otro método para calcular la representación. Es necesario encontrar el cambio de los ejes x, y y z. Si el átomo cambia de lugar después de la operación, no hay contribución al Γ _reducible . Si el átomo mantiene el mismo lugar después de la operación, entonces verifique el eje, si el eje mantiene la misma dirección, la contribución al Γ _reducible es 1; si el eje se invierte a la dirección opuesta, la contribución al Γ _reducible es -1; si el eje rota en un cierto ángulo θ , la contribución es cos θ . Después de calcular todos los ejes de todos los átomos, está el valor de la representación reducible Γ _reducible para esta operación. En este caso, el etileno es el grupo puntual D _2h con ocho operaciones de simetría en la primera línea, cada operación proporciona un Γ _reducible diferente .

E: Simetría de identidad. Todos los átomos permanecen en sus posiciones originales, por lo que todos tienen los mismos ejes x, y y z. Los 18 ejes permanecen en la misma posición, cada uno contribuyendo con uno al número reducible. El número reducible para E es 18.

C ₂ (x), C ₂ (y): A medida que la molécula gira alrededor del eje x o y, cada átomo se mueve y contribuye con cero al reducible. El Γ _reducible total para C2(x) y C2(y) es 0.

C ₂ (z): La molécula rota alrededor del eje z, y solo dos átomos de carbono permanecen en la misma posición. Los ejes x e y de cada átomo de carbono se invierten, pero el eje z mantiene la misma dirección, contribuyendo con -1 de cada átomo. El valor total de Γ _reducible es -2.

i: La molécula es inversa a través del centro. Dado que todos los átomos cambian de lugar, el Γ _{​​reducible} total para i es 0.

σ(xy): La molécula gira a través del plano xy. El Γ _reducible global para σ(xy) es 0, ya que todos los átomos cambian de lugar.

σ(xz): La molécula se desplaza a través del plano xz, pero dos átomos de carbono permanecen en el mismo lugar. Los ejes x y z permanecen inalterados, contribuyendo cada uno a un único número reducible. Sin embargo, el eje y se invierte y contribuye a un Γ _reducible negativo . Por lo tanto, cada carbono contribuye a un Γ _{reducible , y el Γ ​​reducible} total es 2.

σ(yz): Es diferente de otras operaciones. Los seis átomos mantienen sus posiciones originales. Los ejes y y z permanecen iguales, pero el eje x se invierte, lo que resulta en un Γ _reducible para cada átomo. El Γ _reducible total es 6.

Nueva tabla de caracteres para el etileno${\displaystyle \Gamma _{\text{red}}}$

El siguiente paso es calcular la presentación irreducible a partir de la presentación reducible. Aquí está el cálculo.

${\displaystyle N_{A_{g}}={\frac {1}{8}}[(18\times 1\times 1)+0+0+((-2)\times 1\times 1)+0+0+(2\times 1\times 1)+(6\times 1\times 1)]=3}$${\displaystyle N_{B_{1}g}={\frac {1}{8}}[(18\times 1\times 1)+0+0+((-2)\times 1\times 1)+0+0+(2\times 1\times (-1))+(6\times 1\times (-1))]=1}$${\displaystyle N_{B_{2}g}={\frac {1}{8}}[(18\times 1\times 1)+0+0+((-2)\times 1\times (-1))+0+0+(2\times 1\times 1)+(6\times 1\times (-1))]=2}$${\displaystyle N_{B_{3}g}={\frac {1}{8}}[(18\times 1\times 1)+0+0+((-2)\times 1\times (-1))+0+0+(2\times 1\times (-1))+(6\times 1\times 1)]=3}$

${\displaystyle N_{A_{u}}={\frac {1}{8}}[(18\times 1\times 1)+0+0+((-2)\times 1\times 1)+0+0+(2\times 1\times (-1))+(6\times 1\times (-1))]=1}$

${\displaystyle N_{B_{1}u}={\frac {1}{8}}[(18\times 1\times 1)+0+0+((-2)\times 1\times 1)+0+0+(2\times 1\times 1)+(6\times 1\times 1)]=3}$

${\displaystyle N_{B_{2}u}={\frac {1}{8}}[(18\times 1\times 1)+0+0+((-2)\times 1\times (-1))+0+0+(2\times 1\times (-1))+(6\times 1\times 1)]=3}$

${\displaystyle N_{B_{3}u}={\frac {1}{8}}[(18\times 1\times 1)+0+0+((-2)\times 1\times (-1))+0+0+(2\times 1\times 1)+(6\times 1\times (-1))]=2}$

Γ _irreducible = 3 A _g +1 B _1g +2 B _2g +3 B _3g +1 A _u +3 B _1u +3 B _2u +2 B _3u

El movimiento de traslación tiene funciones x, y y z en forma de "funciones lineales, rotaciones". Por lo tanto, Γ _trans = 1 B _1u +1 B _2u +1 B _3u

El movimiento de rotación tiene funciones R _x , R _y y R _z en “funciones lineales, rotaciones”. Por lo tanto, Γ _rot = 1 B _1g +1 B _2g +1 B _3g

Movimiento vibratorio: Γ _vib = Γ _irreducible -Γ _trans -Γ _rot = 3 A _g +1 B _2g +2 B _3g +1 A _u +2 B _1u +2 B _2u +1 B _3u

El último paso consiste en determinar qué vibraciones son activas en infrarrojo o Raman. Esto significa que la operación de simetría puede detectarse mediante el espectro infrarrojo o Raman.

Primero, para que IR funcione, deben tener funciones x, y, y z en "funciones lineales, rotaciones". En Γ _vib , solo 2 B _1u +2 B _2u +1 B _3u son activos en IR.

Para ser activas en Raman, las "funciones cuadráticas" deben incluir funciones ^x² , y² ^, z² ^, xy, xz, yz, x² ⁺ y² ^o x² ^- y² ^{. En Γ} _vib , solo 3A g + 1 B _2g + 2 _B 3g _son activas en Raman.

• Representación irreducible §  Aplicaciones en física teórica y química
• Simetría molecular
• Lista de tablas de caracteres para grupos puntuales 3D químicamente importantes
• Tablas de caracteres de grupos pequeños en GroupNames
• Isaacs, I. Martin (1976). Teoría de caracteres de grupos finitos . Dover Publications.
• Rowland, Todd; Weisstein, Eric W. "Tabla de caracteres" . MathWorld .