Grupo completo

En matemáticas , se dice que un grupo G es completo si cada automorfismo de G es interno y no tiene centro; es decir, tiene un grupo de automorfismos externos trivial y un centro trivial .

De forma equivalente, un grupo es completo si el mapa de conjugación , G → Aut( G ) (que envía un elemento g a la conjugación por g ), es un isomorfismo : la inyectividad implica que solo la conjugación por el elemento identidad es el automorfismo identidad, lo que significa que el grupo no tiene centro, mientras que la sobreyectividad implica que no tiene automorfismos externos.

Como ejemplo, todos los grupos simétricos , S _n , son completos excepto cuando n ∈ {2, 6 }. Para el caso n = 2 , el grupo tiene un centro no trivial, mientras que para el caso n = 6 , hay un automorfismo exterior .

El grupo de automorfismos de un grupo simple es un grupo casi simple ; para un grupo simple no abeliano G , el grupo de automorfismos de G es completo.

Un grupo completo siempre es isomorfo a su grupo de automorfismos (mediante la conjugación de un elemento con dicho elemento), aunque no necesariamente se cumple lo contrario: por ejemplo, el grupo diedral de 8 elementos es isomorfo a su grupo de automorfismos, pero no es completo. Para más información, véase ( Robinson 1996 , sección 13.5) .

Supongamos que un grupo G es una extensión de grupo dada como una secuencia exacta corta de grupos.

1 ⟶ N ⟶ G ⟶ G ′ ⟶ 1

con núcleo , N , y cociente, G ′ . Si el núcleo, N , es un grupo completo, entonces la extensión se divide: G es isomorfo al producto directo , N × G ′ . Una demostración usando homomorfismos y sucesiones exactas se puede dar de manera natural: La acción de G (por conjugación ) sobre el subgrupo normal , N , da lugar a un homomorfismo de grupo, φ  : G → Aut( N ) ≅ N. Como Out( N ) = 1 y N tiene centro trivial, el homomorfismo φ es sobreyectivo y tiene una sección obvia dada por la inclusión de N en G. El núcleo de φ es el centralizador C _G ( N ) de N en G , y por lo tanto G es al menos un producto semidirecto , C _G ( N ) ⋊ N , pero la acción de N sobre C _G ( N ) es trivial, y por lo tanto el producto es directo.

Esto se puede reformular en términos de elementos y condiciones internas: Si N es un subgrupo normal y completo de un grupo G , entonces G = C _G ( N ) × N es un producto directo. La demostración se deduce directamente de la definición: N no tiene centro, lo que hace que C _G ( N ) ∩ N sea trivial. Si g es un elemento de G , entonces induce un automorfismo de N por conjugación, pero N = Aut( N ) y esta conjugación debe ser igual a la conjugación por algún elemento n de N. Entonces la conjugación por gn ⁻¹ es la identidad en N y por lo tanto gn ⁻¹ está en C _G ( N ) y cada elemento, g , de G es un producto ( gn ⁻¹ ) n en C _G ( N ) N .

• Robinson, Derek John Scott (1996), Un curso de teoría de grupos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94461-6
• Rotman, Joseph J. (1994), Introducción a la teoría de grupos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94285-8(capítulo 7, en particular los teoremas 7.15 y 7.17).

• Joel David Hamkins : ¿Qué altura tiene la torre de automorfismos de un grupo?