Grupo casi simple

En matemáticas , se dice que un grupo es casi simple si contiene un grupo simple no abeliano y está contenido dentro del grupo de automorfismos de ese grupo simple; es decir, si cabe entre un grupo simple (no abeliano) y su grupo de automorfismos. En símbolos, un grupo${\displaystyle A}$es casi simple si existe un grupo simple (no abeliano) S tal que${\displaystyle S\leq A\leq \operatorname {Aut} (S)}$, donde la inclusión de${\displaystyle S}$en${\displaystyle \mathrm {Aut} (S)}$es la acción por conjugación , que es fiel ya que${\displaystyle S}$tiene un centro trivial . ^{[ 1 ]}

• Trivialmente, los grupos simples no abelianos y el grupo completo de automorfismos son casi simples. Para${\displaystyle n=5}$o${\displaystyle n\geq 7,}$el grupo simétrico${\displaystyle \mathrm {S} _ {n}}$es el grupo de automorfismos del grupo alternante simple${\displaystyle \mathrm {A} _ {n},}$entonces${\displaystyle \mathrm {S} _ {n}}$es casi simple en este sentido trivial.
• Para${\displaystyle n=6}$Hay un ejemplo adecuado, como${\displaystyle \mathrm {S} _ {6}}$se sitúa correctamente entre los simples${\displaystyle \mathrm {A} _ {6}}$y${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{6}),}$debido al excepcional automorfismo externo de${\displaystyle \mathrm {A} _ {6}.}$Otros dos grupos, el grupo Mathieu${\displaystyle \mathrm {M} _ {10}}$y el grupo lineal general proyectivo${\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(9)}$también se asientan correctamente entre${\displaystyle \mathrm {A} _ {6}}$y${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{6}).}$

El grupo de automorfismos completo de un grupo simple no abeliano es un grupo completo (el mapa de conjugación es un isomorfismo al grupo de automorfismos), ^{[ 2 ]} pero los subgrupos propios del grupo de automorfismos completo no tienen por qué ser completos.

Según la conjetura de Schreier , ahora generalmente aceptada como corolario de la clasificación de grupos simples finitos , el grupo de automorfismos externos de un grupo simple finito es un grupo resoluble . Por lo tanto, un grupo casi simple finito es una extensión de un grupo resoluble mediante un grupo simple.

• grupo cuasisimple
• Grupo semisimple

• Grupo casi simple en la wiki de Propiedades del grupo