Multiplete

Para aplicaciones a la física teórica, podemos restringir nuestra atención a la teoría de la representación de un puñado de grupos físicamente importantes. Muchos de ellos tienen una teoría de la representación bien comprendida:

• ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$: Parte del grupo de gauge del Modelo Estándar y del grupo de gauge para las teorías del electromagnetismo. Las Irrep son todas unidimensionales y están indexadas por números enteros.${\displaystyle \mathbb {Z} }$, dado explícitamente por${\displaystyle \rho _{n}:{\text{U}}(1)\rightarrow {\text{GL}}(\mathbb {C} );e^{i\theta }\mapsto e^{in\theta }}$El índice puede entenderse como el número de vueltas del mapa.
• ${\displaystyle {\text{SU}}(2)\cong {\text{Spin}}(3)}$: Parte del grupo de calibre del modelo estándar. Las Irreps se indexan mediante enteros no negativos en${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{\geq 0}}$, con${\displaystyle n}$que describe la dimensión de la representación o, con la normalización adecuada, el peso máximo de la representación. En física, es convención común etiquetarlos con semi-enteros. Véase Teoría de la representación de SU(2) .
• ${\displaystyle {\text{SO}}(3)}$: El grupo de rotaciones del espacio 3D. Las Irreps son las irreps de dimensión impar de${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$
• ${\displaystyle {\text{SU}}(3)}$: Parte del grupo de calibre del modelo estándar. Las Irreps son pares indexados de enteros no negativos.${\displaystyle (m,n)}$, que describe el peso más alto de la representación. Véanse los coeficientes de Clebsch-Gordan para SU(3) .
• ${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$El grupo de Lorentz , las simetrías lineales del espaciotiempo plano. Todas las representaciones surgen como representaciones de su grupo de espín correspondiente. Véase Teoría de la representación del grupo de Lorentz .
• ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\cong {\text{Spin}}(1,3)}$: El grupo de espín de${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$Las expresiones irregulares se indexan mediante pares de números enteros no negativos.${\displaystyle (\mu ,\nu )}$, indexando la dimensión de la representación.
• ${\displaystyle {\text{E}}(1,3)\cong \mathbb {R} ^{1,3}\rtimes {\text{SO}}(1,3)}$: El grupo de Poincaré de isometrías del espaciotiempo plano. Esto puede entenderse en términos de la teoría de la representación de los grupos anteriores. Véase la clasificación de Wigner .

Todos estos grupos aparecen en la teoría del modelo estándar. Para teorías que extienden estas simetrías, se podría considerar la teoría de representación de otros grupos:

• Simetría conforme: Para el espacio pseudoeuclidiano, las simetrías se describen mediante el grupo conforme.${\displaystyle {\text{Conf}}(p,q)\cong O(p,q)/\mathbb {Z} _{2}}$.
• Supersimetría: Simetría descrita por un supergrupo.
• Teorías de gran unificación: Grupos de gauge que contienen el grupo de gauge del modelo estándar como subgrupo. Los candidatos propuestos incluyen:${\displaystyle {\text{SU}}(5),{\text{SO}}(10)}$y${\displaystyle {\text{E}}_{6}}$.

En física cuántica, la noción matemática se aplica generalmente a representaciones del grupo de gauge . Por ejemplo, un${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$La teoría de gauge tendrá multipletes que son campos cuya representación de${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$está determinado por un único número semi-entero${\displaystyle s=:n/2}$, el isospín. Dado que es irreducible${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$Las representaciones son isomorfas a la${\displaystyle n}$potencia simétrica de la representación fundamental, cada campo tiene${\displaystyle n}$índices internos simetrizados.

Los campos también se transforman bajo las representaciones del grupo de Lorentz.${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$, o más generalmente su grupo de espín${\displaystyle {\text{Giro}}(1,3)}$que se puede identificar con${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$debido a un isomorfismo excepcional . Ejemplos incluyen campos escalares , comúnmente denotados${\displaystyle \phi }$, que transforman en la representación trivial, campos vectoriales${\displaystyle A_{\mu }}$(estrictamente, esto podría denominarse con mayor precisión un campo covectorial), que se transforma como un 4-vector y campos espinoriales.${\displaystyle \psi _{\alpha }}$tales como los espinores de Dirac o Weyl que se transforman en representaciones de${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$. Un espinor de Weyl diestro se transforma en la representación fundamental,${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$, de${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$.

Tenga en cuenta que, además del grupo de Lorentz, un campo puede transformarse bajo la acción de un grupo de gauge. Por ejemplo, un campo escalar.${\displaystyle \phi (x)}$, dónde${\displaystyle x}$es un punto espaciotemporal, podría tener un estado de isospín que toma valores en la representación fundamental${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$de${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$. Entonces${\displaystyle \phi (x)}$es una función vectorial del espacio-tiempo, pero aún se la denomina campo escalar, ya que se transforma trivialmente bajo transformaciones de Lorentz.

En la teoría cuántica de campos, las distintas partículas se corresponden biunívocamente con campos calibrados que se transforman en representaciones irreducibles del grupo interno y del grupo de Lorentz. De este modo, un multiplete también se utiliza para describir un conjunto de partículas subatómicas descritas por estas representaciones.

En espectroscopia, particularmente en espectroscopia gamma y espectroscopia de rayos X , un multiplete es un grupo de líneas espectrales relacionadas o irresolubles . Cuando el número de líneas no resueltas es pequeño, a menudo se las denomina picos doblete o triplete, mientras que el término multiplete se utiliza para describir grupos de picos de cualquier número.