Paquete de productos Tensor

En geometría diferencial , el producto tensorial de los fibrados vectoriales E , F (sobre el mismo espacio ) es un fibrado vectorial, denotado por E ⊗ F , cuya fibra sobre un punto es el producto tensorial de los espacios vectoriales E _x ⊗ F _x . ^[1] ${\estilo de visualización X}$ $x\en X$

Ejemplo: Si O es un fibrado de líneas trivial, entonces E ⊗ O = E para cualquier E .

Ejemplo: E ⊗ E ^∗ es canónicamente isomorfo al fibrado endomorfista End( E ), donde E ^∗ es el fibrado dual de E .

Ejemplo: Un fibrado lineal L tiene inverso tensorial: de hecho, L ⊗ L ^∗ es (isomorfo a) un fibrado trivial según el ejemplo anterior, ya que End( L ) es trivial. Por lo tanto, el conjunto de las clases de isomorfismo de todos los fibrados lineales en algún espacio topológico X forma un grupo abeliano llamado grupo de Picard de X .

Variantes

También se puede definir una potencia simétrica y una potencia exterior de un fibrado vectorial de manera similar. Por ejemplo, una sección de es una p -forma diferencial y una sección de es una p -forma diferencial con valores en un fibrado vectorial E . $Estilo de visualización: lambda ^{p}T^{*}M}$ $\Lambda ^{p}T^{*}M\o veces E$

Véase también

Producto tensorial de módulos

Notas

^ Para construir un fibrado tensorial sobre una base paracompacta, primero observe que la construcción es clara para fibrados triviales. Para el caso general, si la base es compacta, elija E ' tal que E ⊕ E ' sea trivial. Elija F ' de la misma manera. Luego sea E ⊗ F el subfibrado de ( E ⊕ E ' ) ⊗ ( F ⊕ F ' ) con las fibras deseadas. Finalmente, use el argumento de aproximación para manejar una base no compacta. Vea Hatcher para un enfoque directo general.

Referencias

Hatcher, paquetes vectoriales y teoría K

[1] Para construir un fibrado tensorial sobre una base paracompacta, primero observe que la construcción es clara para fibrados triviales. Para el caso general, si la base es compacta, elija E ' tal que E ⊕ E ' sea trivial. Elija F ' de la misma manera. Luego sea E ⊗ F el subfibrado de ( E ⊕ E ' ) ⊗ ( F ⊕ F ' ) con las fibras deseadas. Finalmente, use el argumento de aproximación para manejar una base no compacta. Vea Hatcher para un enfoque directo general.