potencial newtoniano

En matemáticas , el potencial newtoniano , o potencial de Newton , es un operador del cálculo vectorial que actúa como el inverso del laplaciano negativo en funciones suaves que decaen con suficiente rapidez en el infinito. Por ello, constituye un objeto de estudio fundamental en la teoría del potencial . En su naturaleza general, es un operador integral singular , definido por la convolución con una función que presenta una singularidad matemática en el origen, el núcleo newtoniano.${\displaystyle \Gamma }$que es la solución fundamental de la ecuación de Laplace . Recibe su nombre de Isaac Newton , quien la descubrió y demostró que era una función armónica en el caso especial de tres variables , donde servía como potencial gravitatorio fundamental en la ley de gravitación universal de Newton . En la teoría del potencial moderna, el potencial newtoniano se considera un potencial electrostático .

El potencial newtoniano de una función integrable con soporte compacto${\displaystyle f}$se define como la convolución

$${\displaystyle u(x)=\Gamma *f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\Gamma (xy)f(y)\,dy}$$

donde el núcleo newtoniano${\displaystyle \Gamma }$en dimensión${\displaystyle d}$se define por

$${\displaystyle \Gamma (x)={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}\log {|x|},&d=2,\\{\frac {1}{d(2-d)\omega _{d}}}|x|^{2-d},&d\neq 2.\end{cases}}}$$

Aquí${\displaystyle \omega _{d}}$es el volumen de la unidad d -bola (a veces las convenciones de signos pueden variar; compárese ( Evans 1998 ) y ( Gilbarg y Trudinger 1983 ) ). Por ejemplo, para${\displaystyle d=3}$tenemos${\displaystyle \Gamma (x)=-1/(4\pi |x|)}$.

El potencial newtoniano${\displaystyle w}$de${\displaystyle f}$es una solución de la ecuación de Poisson

$${\displaystyle \Delta w=f,}$$

lo cual quiere decir que la operación de tomar el potencial newtoniano de una función es una inversa parcial del operador de Laplace. Entonces${\displaystyle w}$será una solución clásica, es decir, dos veces diferenciable, si${\displaystyle f}$es acotada y localmente continua de Hölder , como demostró Otto Hölder . Era una cuestión abierta si la continuidad por sí sola también era suficiente. Henrik Petrini demostró que esto era erróneo al dar un ejemplo de una continua${\displaystyle f}$para qué${\displaystyle w}$no es dos veces diferenciable. La solución no es única, ya que la suma de cualquier función armónica a${\displaystyle w}$no afectará a la ecuación. Este hecho puede utilizarse para demostrar la existencia y unicidad de soluciones al problema de Dirichlet para la ecuación de Poisson en dominios suficientemente regulares y para funciones suficientemente bien comportadas.${\displaystyle f}$Primero se aplica un potencial newtoniano para obtener una solución, y luego se ajusta añadiendo una función armónica para obtener los datos de contorno correctos.

El potencial newtoniano se define de forma más amplia como la convolución

$${\displaystyle \Gamma *\mu (x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\Gamma (xy)\,d\mu (y)}$$

cuando${\displaystyle \mu }$es una medida de Radon con soporte compacto . Satisface la ecuación de Poisson.

$${\displaystyle \Delta w=\mu }$$

en el sentido de las distribuciones . Además, cuando la medida es positiva , el potencial newtoniano es subarmónico en${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$.

Si${\displaystyle f}$es una función continua con soporte compacto (o, más generalmente, una medida finita) que es invariante bajo rotación , entonces la convolución de${\displaystyle f}$con${\displaystyle \Gamma }$satisface para${\displaystyle x}$fuera del apoyo de${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f*\Gamma (x)=\lambda \Gamma (x),\quad \lambda =\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(y)\,dy.}$$

En dimensión${\displaystyle d=3}$Esto se reduce al teorema de Newton que establece que la energía potencial de una masa pequeña fuera de una distribución de masa esféricamente simétrica mucho mayor es la misma que si toda la masa del objeto más grande estuviera concentrada en su centro.

Cuando la medida${\displaystyle \mu }$está asociada a una distribución de masa en una hipersuperficie suficientemente lisa.${\displaystyle S}$(una superficie de Lyapunov de clase Hölder${\displaystyle C^{1,\alpha }}$) que divide${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$en dos regiones${\displaystyle D_{+}}$y${\displaystyle D_{-}}$, entonces el potencial newtoniano de${\displaystyle \mu }$Se denomina potencial de capa simple . Los potenciales de capa simple son continuos y resuelven la ecuación de Laplace excepto en${\displaystyle S}$Aparecen de forma natural en el estudio de la electrostática en el contexto del potencial electrostático asociado a una distribución de carga en una superficie cerrada. Si${\displaystyle \mathrm {d} \mu =f\mathrm {d} H}$es el producto de una función continua en${\displaystyle S}$con el${\displaystyle (d-1)}$medida de Hausdorff -dimensional , entonces en un punto${\displaystyle y}$de${\displaystyle S}$, la derivada normal sufre una discontinuidad de salto${\displaystyle f(y)}$al cruzar la capa. Además, la derivada normal de${\displaystyle w}$es una función continua bien definida en${\displaystyle S}$Esto hace que las capas simples sean particularmente adecuadas para el estudio del problema de Neumann para la ecuación de Laplace.

• Potencial de doble capa
• La función de Green
• Potencial de Riesz
• Función de Green para la ecuación de Laplace de tres variables

• Evans, LC (1998), Ecuaciones diferenciales parciales , Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2.
• Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , Nueva York: Springer, ISBN 3-540-41160-7.
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Potencial de Newton" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Potencial de capa simple" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Potencial de superficie" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press