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Articulo de referencia

Integración mediante fórmulas de reducción

En cálculo integral, la integración mediante fórmulas de reducción es un método que se basa en relaciones de recurrencia . Se utiliza cuando una expresión que contiene un paráme...

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En cálculo integral, la integración mediante fórmulas de reducción es un método que se basa en relaciones de recurrencia . Se utiliza cuando una expresión que contiene un parámetro entero , generalmente en forma de potencias de funciones elementales o productos de funciones trascendentales y polinomios de grado arbitrario , no puede integrarse directamente. Mediante otros métodos de integración, se puede establecer una fórmula de reducción para obtener la integral de la misma expresión o una similar con un parámetro entero menor, simplificando progresivamente la integral hasta que pueda evaluarse. [ 1 ] Este método de integración es uno de los más antiguos utilizados.

Cómo hallar la fórmula de reducción

La fórmula de reducción se puede derivar utilizando cualquiera de los métodos comunes de integración, como la integración por sustitución , la integración por partes , la integración por sustitución trigonométrica , la integración por fracciones parciales , etc. La idea principal es expresar una integral que involucra un parámetro entero (por ejemplo, una potencia) de una función, representado por I n , en términos de una integral que involucra un valor menor del parámetro (una potencia menor) de esa función, por ejemplo I n -1 o I n -2 . Esto convierte a la fórmula de reducción en un tipo de relación de recurrencia . En otras palabras, la fórmula de reducción expresa la integral

Inorte=∫F(incógnita,norte)dincógnita,{\displaystyle I_{n}=\int f(x,n)\,{\text{d}}x,}

en términos de

Ik=∫F(incógnita,k)dincógnita,{\displaystyle I_{k}=\int f(x,k)\,{\text{d}}x,}

dónde

k<norte.{\displaystyle k<n.}

Las obras de referencia contienen las formas generales para la integración recursiva (véase, por ejemplo, Gradshteyn y Ryzhik ).

Cómo calcular la integral

Para calcular la integral, asignamos a n su valor y utilizamos la fórmula de reducción para expresarla en términos de la integral ( n – 1) o ( n – 2). La integral de menor índice se puede usar para calcular las de mayor índice; el proceso se repite hasta llegar a un punto donde se puede calcular la función a integrar, generalmente cuando su índice es 0 o 1. Luego, sustituimos hacia atrás los resultados anteriores hasta calcular I n . [ 2 ]

Ejemplos

A continuación se muestran ejemplos del procedimiento.

Integral del coseno

Por lo general, las integrales como

∫porquenorte⁡incógnitadincógnita,{\displaystyle \int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x,\,\!}

puede evaluarse mediante una fórmula de reducción.

∫porquenorte⁡(incógnita)dincógnita{\displaystyle \int \cos ^{n}(x)\,{\text{d}}x\!}para n = 1, 2 ... 30

Comience por configurar:

Inorte=∫porquenorte⁡incógnitadincógnita.{\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x.\,\!}

Ahora reescríbelo como:

Inorte=∫porquenorte−1⁡incógnitaporque⁡incógnitadincógnita,{\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n-1}x\cos x\,{\text{d}}x,\,\!}

Integrando mediante esta sustitución:

porque⁡incógnitadincógnita=d(pecado⁡incógnita),{\displaystyle \cos x\,{\text{d}}x={\text{d}}(\sin x),\,\!}
Inorte=∫porquenorte−1⁡incógnitad(pecado⁡incógnita).{\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n-1}x\,{\text{d}}(\sin x).\!}

Ahora integrando por partes:

∫porquenorte⁡incógnitadincógnita=∫porquenorte−1⁡incógnitad(pecado⁡incógnita)=porquenorte−1⁡incógnitapecado⁡incógnita−∫pecado⁡incógnitad(porquenorte−1⁡incógnita)=porquenorte−1⁡incógnitapecado⁡incógnita+(norte−1)∫pecado⁡incógnitaporquenorte−2⁡incógnitapecado⁡incógnitadincógnita=porquenorte−1⁡incógnitapecado⁡incógnita+(norte−1)∫porquenorte−2⁡incógnitapecado2⁡incógnitadincógnita=porquenorte−1⁡incógnitapecado⁡incógnita+(norte−1)∫porquenorte−2⁡incógnita(1−porque2⁡incógnita)dincógnita=porquenorte−1⁡incógnitapecado⁡incógnita+(norte−1)∫porquenorte−2⁡incógnitadincógnita−(norte−1)∫porquenorte⁡incógnitadincógnita=porquenorte−1⁡incógnitapecado⁡incógnita+(norte−1)Inorte−2−(norte−1)Inorte,{\displaystyle {\begin{aligned}\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x&=\int \cos ^{n-1}x\,{\text{d}}(\sin x)\!=\cos ^{n-1}x\sin x-\int \sin x\,{\text{d}}(\cos ^{n-1}x)\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \sin x\cos ^{n-2}x\sin x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x\sin ^{2}x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x(1-\cos ^{2}x)\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x\,{\text{d}}x-(n-1)\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n},\end{aligned}}\,}

Resolviendo para I n :

Inorte +(norte−1)Inorte =porquenorte−1⁡incógnitapecado⁡incógnita + (norte−1)Inorte−2,{\displaystyle I_{n}\ +(n-1)I_{n}\ =\cos ^{n-1}x\sin x\ +\ (n-1)I_{n-2},\,}
norteInorte =porquenorte−1⁡(incógnita)pecado⁡incógnita +(norte−1)Inorte−2,{\displaystyle nI_{n}\ =\cos ^{n-1}(x)\sin x\ +(n-1)I_{n-2},\,}
Inorte =1norteporquenorte−1⁡incógnitapecado⁡incógnita +norte−1norteInorte−2,{\displaystyle I_{n}\ ={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}x\sin x\ +{\frac {n-1}{n}}I_{n-2},\,}

Por lo tanto, la fórmula de reducción es:

∫porquenorte⁡incógnitadincógnita =1norteporquenorte−1⁡incógnitapecado⁡incógnita+norte−1norte∫porquenorte−2⁡incógnitadincógnita.{\displaystyle \int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x\ ={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}x\sin x+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}x\,{\text{d}}x.\!}

Para complementar el ejemplo, lo anterior se puede utilizar para evaluar la integral para (por ejemplo) n = 5;

I5=∫porque5⁡incógnitadincógnita.{\displaystyle I_{5}=\int \cos ^{5}x\,{\text{d}}x.\,\!}

Cálculo de índices inferiores:

norte=5,I5=15porque4⁡incógnitapecado⁡incógnita+45I3,{\displaystyle n=5,\quad I_{5}={\tfrac {1}{5}}\cos ^{4}x\sin x+{\tfrac {4}{5}}I_{3},\,}
norte=3,I3=13porque2⁡incógnitapecado⁡incógnita+23I1,{\displaystyle n=3,\quad I_{3}={\tfrac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\tfrac {2}{3}}I_{1},\,}

sustitución inversa:

∵I1 =∫porque⁡incógnitadincógnita=pecado⁡incógnita+do1,{\displaystyle \because I_{1}\ =\int \cos x\,{\text{d}}x=\sin x+C_{1},\,}
∴I3 =13porque2⁡incógnitapecado⁡incógnita+23pecado⁡incógnita+do2,do2 =23do1,{\displaystyle \therefore I_{3}\ ={\tfrac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\tfrac {2}{3}}\sin x+C_{2},\quad C_{2}\ ={\tfrac {2}{3}}C_{1},\,}
I5 =15porque4⁡incógnitapecado⁡incógnita+45[13porque2⁡incógnitapecado⁡incógnita+23pecado⁡incógnita]+do,{\displaystyle I_{5}\ ={\frac {1}{5}}\cos ^{4}x\sin x+{\frac {4}{5}}\left[{\frac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\frac {2}{3}}\sin x\right]+C,\,}

donde C es una constante.

Integral exponencial

Otro ejemplo típico es:

∫incógnitanortemiaincógnitadincógnita.{\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x.\,\!}

Comience por configurar:

Inorte=∫incógnitanortemiaincógnitadincógnita.{\displaystyle I_{n}=\int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x.\,\!}

Integración por sustitución:

incógnitanortedincógnita=d(incógnitanorte+1)norte+1,{\displaystyle x^{n}\,{\text{d}}x={\frac {{\text{d}}(x^{n+1})}{n+1}},\,\!}
Inorte=1norte+1∫miaincógnitad(incógnitanorte+1),{\displaystyle I_{n}={\frac {1}{n+1}}\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n+1}),\!}

Ahora integrando por partes:

∫miaincógnitad(incógnitanorte+1)=incógnitanorte+1miaincógnita−∫incógnitanorte+1d(miaincógnita)=incógnitanorte+1miaincógnita−a∫incógnitanorte+1miaincógnitadincógnita,{\displaystyle {\begin{aligned}\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n+1})&=x^{n+1}e^{ax}-\int x^{n+1}\,{\text{d}}(e^{ax})\\&=x^{n+1}e^{ax}-a\int x^{n+1}e^{ax}\,{\text{d}}x,\end{aligned}}\!}
(norte+1)Inorte=incógnitanorte+1miaincógnita−aInorte+1,{\displaystyle (n+1)I_{n}=x^{n+1}e^{ax}-aI_{n+1},\!}

desplazando los índices hacia atrás en 1 (de modo que n + 1 → n , n → n – 1):

norteInorte−1=incógnitanortemiaincógnita−aInorte,{\displaystyle nI_{n-1}=x^{n}e^{ax}-aI_{n},\!}

Resolviendo para I n :

Inorte=1a(incógnitanortemiaincógnita−norteInorte−1),{\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!}

Por lo tanto, la fórmula de reducción es:

∫incógnitanortemiaincógnitadincógnita=1a(incógnitanortemiaincógnita−norte∫incógnitanorte−1miaincógnitadincógnita).{\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right).\!}

Una forma alternativa de realizar la derivación comienza sustituyendomiaincógnita{\displaystyle e^{ax}}.

Integración por sustitución:

miaincógnitadincógnita=d(miaincógnita)a,{\displaystyle e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {{\text{d}}(e^{ax})}{a}},\,\!}

Inorte=1a∫incógnitanorted(miaincógnita),{\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\int x^{n}\,{\text{d}}(e^{ax}),\!}

Ahora integrando por partes:

∫incógnitanorted(miaincógnita)=incógnitanortemiaincógnita−∫miaincógnitad(incógnitanorte)=incógnitanortemiaincógnita−norte∫miaincógnitaincógnitanorte−1dincógnita,{\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{n}\,{\text{d}}(e^{ax})&=x^{n}e^{ax}-\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n})\\&=x^{n}e^{ax}-n\int e^{ax}x^{n-1}\,{\text{d}}x,\end{aligned}}\!}

lo que da como resultado la fórmula de reducción al sustituir de nuevo:

Inorte=1a(incógnitanortemiaincógnita−norteInorte−1),{\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!}

lo cual es equivalente a:

∫incógnitanortemiaincógnitadincógnita=1a(incógnitanortemiaincógnita−norte∫incógnitanorte−1miaincógnitadincógnita).{\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right).\!}

Otra forma alternativa en la que se podría realizar la derivación es mediante la integración por partes:

Inorte=∫incógnitanorteincógnitamiaincógnitadincógnita,{\displaystyle I_{n}=\int x^{n}xe^{ax}\,{\text{d}}x,\!}
tú=incógnitanorte ,  dv=miaincógnita,{\displaystyle u=x^{n}{\text{ , }}\ dv=e^{ax},}
dtúdincógnita =norteincógnitanorte−1 ,  v=miaincógnitaa {\displaystyle {\frac {du}{dx}}\ =nx^{n-1}{\text{ , }}\ v={\frac {e^{ax}}{a}}\ }
Inorte=incógnitanortemiaincógnitaa −∫norteincógnitanorte−1 miaincógnitaa dincógnita {\displaystyle I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}\ -\int nx^{n-1}\ {\frac {e^{ax}}{a}}\ {\text{d}}x\ }
Inorte=incógnitanortemiaincógnitaa −nortea ∫incógnitanorte−1miaincógnita dincógnita {\displaystyle I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}\ -{\frac {n}{a}}\ \int x^{n-1}e^{ax}\ {\text{d}}x\ }

Recordar:

Inorte−1=∫incógnitanorte−1miaincógnita dincógnita {\displaystyle I_{n-1}=\int x^{n-1}e^{ax}\ {\text{d}}x\ }
∴ Inorte=incógnitanortemiaincógnitaa −nortea Inorte−1{\displaystyle \therefore \ I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}\ -{\frac {n}{a}}\ I_{n-1}}

lo que da como resultado la fórmula de reducción al sustituir de nuevo:

Inorte=1a(incógnitanortemiaincógnita−norteInorte−1),{\displaystyle I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!}

lo cual es equivalente a:

∫incógnitanortemiaincógnitadincógnita=1a(incógnitanortemiaincógnita−norte∫incógnitanorte−1miaincógnitadincógnita).{\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right).\!}

Tablas de fórmulas de reducción integral

Funciones racionales

Las siguientes integrales [ 3 ] contienen:

  • Factores del radical linealaincógnita+b{\displaystyle {\sqrt {ax+b}}\,\!}
  • Factores linealespagincógnita+q{\displaystyle {px+q}\,\!}y el radical linealaincógnita+b{\displaystyle {\sqrt {ax+b}}\,\!}
  • Factores cuadráticosincógnita2+a2{\displaystyle x^{2}+a^{2}\,\!}
  • Factores cuadráticosincógnita2−a2{\displaystyle x^{2}-a^{2}\,\!}, paraincógnita>a{\displaystyle x>a\,\!}
  • Factores cuadráticosa2−incógnita2{\displaystyle a^{2}-x^{2}\,\!}, paraincógnita<a{\displaystyle x<a\,\!}
  • Factores cuadráticos ( irreducibles )aincógnita2+bincógnita+do{\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!}
  • Radicales de factores cuadráticos irreduciblesaincógnita2+bincógnita+do{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\,\!}

Tenga en cuenta que, según las leyes de los índices :

Inorte+12=I2norte+12=∫1(aincógnita2+bincógnita+do)2norte+12dincógnita=∫1(aincógnita2+bincógnita+do)2norte+1dincógnita{\displaystyle I_{n+{\frac {1}{2}}}=I_{\frac {2n+1}{2}}=\int {\frac {1}{(ax^{2}+bx+c)^{\frac {2n+1}{2}}}}\,{\text{d}}x=\int {\frac {1}{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)^{2n+1}}}}\,{\text{d}}x\,\!}

Funciones trascendentales

Las siguientes integrales [ 4 ] contienen:

  • Factores del seno
  • Factores del coseno
  • Factores de productos y cocientes de seno y coseno
  • Productos/cocientes de factores exponenciales y potencias de x
  • Productos de factores exponenciales y seno/coseno

Referencias

  1. ↑ Métodos matemáticos para física e ingeniería, KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
  2. ↑ Análisis elemental adicional, RI Porter, G. Bell & Sons Ltd, 1978, ISBN 0-7135-1594-5
  3. ↑ http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> Lista de integrales indefinidas
  4. ↑ http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> Lista de integrales indefinidas

Bibliografía

  • Anton, Bivens, Davis, Cálculo, 7ª edición.