Napoleón señala

Sea △ ABC un triángulo plano cualquiera . Sobre los lados BC , CA y AB del triángulo, construyamos triángulos equiláteros trazados hacia afuera : △ DBC , △ ECA y △ FAB, respectivamente. Sean X, Y y Z los centroides de estos triángulos, respectivamente. Entonces _, las líneas AX, BY y CZ son concurrentes . El punto de concurrencia N₁ es el primer punto de Napoleón, o punto de Napoleón exterior, del triángulo △ ABC .

El triángulo △ XYZ se llama triángulo exterior de Napoleón de △ ABC . El teorema de Napoleón afirma que este triángulo es un triángulo equilátero .

En la Enciclopedia de Centros Triangulares de Clark Kimberling , el primer punto de Napoleón se denota por X (17). ^{[ 3 ]}

• Las coordenadas trilineales de N ₁ :$${\displaystyle {\begin{aligned}&\csc(A+{\tfrac {\pi }{6}}):\csc(B+{\tfrac {\pi }{6}}):\csc(C+{\tfrac {\pi }{6}})\\[2pt]=\ &\sec(A-{\tfrac {\pi }{3}}):\sec(B-{\tfrac {\pi }{3}}):\sec(C-{\tfrac {\pi }{3}})\end{aligned}}}$$
• Las coordenadas baricéntricas de N ₁ :$${\displaystyle a\csc(A+{\tfrac {\pi }{6}}):b\csc(B+{\tfrac {\pi }{6}}):c\csc(C+{\tfrac {\pi }{6}})}$$

Sea △ ABC un triángulo plano cualquiera . Sobre los lados BC, CA y AB del triángulo, construyamos triángulos equiláteros trazados hacia adentro : △ DBC , △ ECA y △ FAB, respectivamente. Sean X, Y y Z los centroides de estos triángulos, respectivamente. Entonces _, las líneas AX, BY y CZ son concurrentes. El punto de concurrencia N₂ es el segundo punto de Napoleón, o punto de Napoleón interior, de △ ABC .

El triángulo △ XYZ se denomina triángulo de Napoleón interior del triángulo △ ABC . El teorema de Napoleón afirma que este triángulo es equilátero.

En la Enciclopedia de Centros Triangulares de Clark Kimberling, el segundo punto de Napoleón se denota por X (18). ^{[ 3 ]}

• Las coordenadas trilineales de N ₂ :$${\displaystyle {\begin{aligned}&\csc(A-{\tfrac {\pi }{6}}):\csc(B-{\tfrac {\pi }{6}}):\csc(C-{\tfrac {\pi }{6}})\\[2pt]=\ &\sec(A+{\tfrac {\pi }{3}}):\sec(B+{\tfrac {\pi }{3}}):\sec(C+{\tfrac {\pi }{3}})\end{aligned}}}$$
• Las coordenadas baricéntricas de N ₂ :$${\displaystyle a\csc(A-{\tfrac {\pi }{6}}):b\csc(B-{\tfrac {\pi }{6}}):c\csc(C-{\tfrac {\pi }{6}})}$$

Dos puntos estrechamente relacionados con los puntos de Napoleón son los puntos de Fermat-Torricelli ( X (13) y X (14) del ETC). Si en lugar de trazar líneas que unan los centroides de los triángulos equiláteros con sus respectivos vértices, ahora se trazan líneas que unan los vértices de los triángulos equiláteros con sus respectivos vértices, las tres líneas resultantes son nuevamente concurrentes. Estos puntos de concurrencia se denominan puntos de Fermat-Torricelli, a veces denotados como _F₁ y F₂ . La intersección de la línea de Fermat (es decir, la línea que une los dos puntos _de Fermat-Torricelli) y la línea de Napoleón (es decir, la línea que une los dos puntos de Napoleón) es el punto simediano del triángulo ( X (6) del ETC ).

Esta generalización afirma lo siguiente: ^{[ 4 ]}

Si los tres triángulos △ XBC , △ YCA , △ ZAB , construidos sobre los lados del triángulo dado △ ABC como bases, son semejantes , isósceles y están situados de forma similar, entonces las líneas AX , BY , CZ concurren en un punto N .

Si el ángulo base común es θ , entonces los vértices de los tres triángulos tienen las siguientes coordenadas trilineales. $${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}X=&-\sin \theta &:&\sin(C+\theta )&:&\sin(B+\theta )\\Y=&\sin(C+\theta )&:&-\sin \theta &:&\sin(A+\theta )\\Z=&\sin(B+\theta )&:&\sin(A+\theta )&:&-\sin \theta \end{array}}}$$

Las coordenadas trilineales de N son $${\displaystyle \csc(A+\theta):\csc(B+\theta):\csc(C+\theta)}$$

Algunos casos especiales resultan interesantes.

Además, el lugar geométrico de N cuando el ángulo base θ varía entre − π /2 y π /2 es la cónica.

$${\displaystyle {\frac {\sin(BC)}{x}}+{\frac {\sin(CA)}{y}}+{\frac {\sin(AB)}{z}}=0.}$$

Esta cónica es una hipérbola rectangular y se llama hipérbola de Kiepert en honor a Ludwig Kiepert (1846–1934), el matemático que descubrió este resultado. ^{[ 4 ]} Esta hipérbola es la única cónica que pasa por los cinco puntos A, B, C, G, O.

Los tres triángulos △ XBC , △ YCA , △ ZAB erigidos sobre los lados del triángulo △ ABC no necesitan ser isósceles para que las tres líneas AX, BY, CZ sean concurrentes. ^{[ 5 ]}

Si se construyen triángulos semejantes △ XBC , △ AYC , △ ABZ hacia afuera en los lados de cualquier triángulo △ ABC entonces las líneas AX, BY, CZ son concurrentes.

La concurrencia de las líneas AX, BY, CZ se mantiene incluso en condiciones mucho más laxas. El siguiente resultado establece una de las condiciones más generales para que las líneas AX, BY, CZ sean concurrentes. ^{[ 5 ]}

Si los triángulos △ XBC , △ YCA , △ ZAB se construyen hacia afuera en los lados de cualquier triángulo △ ABC de tal manera que

$${\displaystyle \angle CBX=\angle ABZ,\quad \angle ACY=\angle BCX,\quad \angle BAZ=\angle CAY;}$$

Entonces las líneas AX, BY, CZ son concurrentes.

El punto de concurrencia se conoce como punto de Jacobi .