Teorema de Jacobi (geometría)

En geometría plana , un punto de Jacobi es un punto en el plano euclidiano determinado por un triángulo △ ABC y una terna de ángulos α , β , γ . Esta información es suficiente para determinar tres puntos X, Y, Z tales que $${\displaystyle {\begin{aligned}\angle ZAB&=\angle YAC&=\alpha ,\\\angle XBC&=\angle ZBA&=\beta ,\\\angle YCA&=\angle XCB&=\gamma .\end{aligned}}}$$ Entonces, por un teorema de Karl Friedrich Andreas Jacobi , las líneas AX, BY, CZ son concurrentes , ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} en un punto N llamado punto de Jacobi. ^{[ 3 ]}

El punto de Jacobi es una generalización del punto de Fermat , que se obtiene al hacer α = β = γ = 60° y que el △ ABC no tenga ningún ángulo mayor o igual a 120°.

Si los tres ángulos anteriores son iguales, entonces N se encuentra en la hipérbola rectangular dada en coordenadas de área por

$${\displaystyle yz(\cot B-\cot C)+zx(\cot C-\cot A)+xy(\cot A-\cot B)=0,}$$

que es la hipérbola de Kiepert . Cada elección de tres ángulos iguales determina un centro de triángulo .

El punto de Jacobi se puede generalizar aún más de la siguiente manera: Si los puntos K , L , M , N , O y P se construyen en los lados del triángulo ABC de modo que BK/KC = CL/LB = CM/MA = AN/NC = AO/OB = BP/PA , los triángulos OPD , KLE y MNF se construyen de modo que ∠ DOP = ∠ FNM , ∠ DPO = ∠ EKL , ∠ ELK = ∠ FMN y los triángulos LMY , NOZ y PKX son respectivamente similares a los triángulos OPD , KLE y MNF , entonces DY , EZ y FX son concurrentes. ^{[ 4 ]}

• Una prueba sencilla del teorema de Jacobi   escrita por Kostas Vittas
• Generalización de Fermat-Torricelli en Dynamic Geometry Sketches. El primer boceto interactivo generaliza el punto de Fermat-Torricelli al punto de Jacobi, mientras que el segundo ofrece una generalización adicional del punto de Jacobi.