Punto isodinámico

En geometría euclidiana , los puntos isodinámicos de un triángulo son puntos asociados con el triángulo, con las propiedades de que una inversión centrada en uno de estos puntos transforma el triángulo dado en un triángulo equilátero , y que las distancias desde el punto isodinámico a los vértices del triángulo son inversamente proporcionales a las longitudes de los lados opuestos del triángulo. Los triángulos que son similares entre sí tienen puntos isodinámicos en ubicaciones correspondientes en el plano, por lo que los puntos isodinámicos son centros de triángulos , y a diferencia de otros centros de triángulos, los puntos isodinámicos también son invariantes bajo las transformaciones de Möbius . Un triángulo que es en sí mismo equilátero tiene un punto isodinámico único, en su centroide (así como su ortocentro , su incentro y su circuncentro , que son concurrentes); cada triángulo no equilátero tiene dos puntos isodinámicos. Los puntos isodinámicos fueron estudiados y nombrados por primera vez por Joseph Neuberg  (1885). ^[1]

Los puntos isodinámicos se definieron originalmente a partir de ciertas igualdades de razones (o equivalentemente de productos) de distancias entre pares de puntos. Si y son los puntos isodinámicos de un triángulo , entonces los tres productos de distancias son iguales. Las igualdades análogas también se cumplen para ^[2] De manera equivalente a la fórmula del producto, las distancias y son inversamente proporcionales a las longitudes de los lados del triángulo correspondientes y${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización S'}$${\estilo de visualización ABC,}$${\displaystyle AS\cdot BC=BS\cdot AC=CS\cdot AB}$${\displaystyle S'.}$${\displaystyle AS,}$ ${\displaystyle BS,}$${\estilo de visualización CS}$${\displaystyle BC,}$ ${\displaystyle CA,}$${\estilo de visualización AB.}$

${\estilo de visualización S}$y son los puntos de intersección comunes de los tres círculos de Apolonio asociados con el triángulo de un triángulo los tres círculos que pasan cada uno por un vértice del triángulo y mantienen una relación constante de distancias a los otros dos vértices. ^[3] Por lo tanto, la línea es el eje radical común para cada uno de los tres pares de círculos de Apolonio. La bisectriz perpendicular del segmento de línea es la línea de Lemoine , que contiene los tres centros de los círculos de Apolonio. ^[4]${\estilo de visualización S'}$${\estilo de visualización ABC,}$${\displaystyle SS'}$${\displaystyle SS'}$

Los puntos isodinámicos y de un triángulo también pueden definirse por sus propiedades con respecto a las transformaciones del plano, y particularmente con respecto a las inversiones y transformaciones de Möbius (productos de múltiples inversiones). La inversión del triángulo con respecto a un punto isodinámico transforma el triángulo original en un triángulo equilátero . ^[5] La inversión con respecto al círculo circunscrito del triángulo deja el triángulo invariante pero transforma un punto isodinámico en el otro. ^[3] De manera más general, los puntos isodinámicos son equivariantes bajo las transformaciones de Möbius : el par desordenado de puntos isodinámicos de una transformación de es igual a la misma transformación aplicada al par Los puntos isodinámicos individuales son fijados por transformaciones de Möbius que mapean el interior del círculo circunscrito de al interior del círculo circunscrito del triángulo transformado, e intercambiados por transformaciones que intercambian el interior y el exterior del círculo circunscrito. ^[6]${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización S'}$${\estilo de visualización ABC}$${\estilo de visualización ABC}$ ${\estilo de visualización ABC}$${\estilo de visualización ABC}$${\displaystyle \{S,S'\}.}$${\estilo de visualización ABC}$

Además de ser las intersecciones de los círculos de Apolonio, cada punto isodinámico es el punto de intersección de otro triple de círculos. El primer punto isodinámico es la intersección de tres círculos a través de los pares de puntos y donde cada uno de estos círculos interseca el círculo circunscrito del triángulo para formar una lente con un ángulo de vértice de 2π/3. De manera similar, el segundo punto isodinámico es la intersección de tres círculos que intersecan el círculo circunscrito para formar lentes con un ángulo de vértice de π/3. ^[6]${\estilo de visualización AB,}$ ${\displaystyle CA,}$${\displaystyle BC,}$${\estilo de visualización ABC}$

Los ángulos formados por el primer punto isodinámico con los vértices del triángulo satisfacen las ecuaciones y Análogamente, los ángulos formados por el segundo punto isodinámico satisfacen las ecuaciones y ^[6]${\displaystyle ASB=ACB+\pi /3,}$ ${\displaystyle ASC=ABC+\pi /3,}$${\displaystyle BSC=BAC+\pi /3.}$${\displaystyle AS'B=ACB-\pi /3,}$ ${\displaystyle AS'C=ABC-\pi /3,}$${\displaystyle BS'C=BAC-\pi /3.}$

El triángulo pedal de un punto isodinámico, el triángulo formado al dejar caer perpendiculares desde cada uno de los tres lados del triángulo es equilátero, ^[5] como lo es el triángulo formado al reflejar a través de cada lado del triángulo. ^[7] Entre todos los triángulos equiláteros inscritos en el triángulo, el triángulo pedal del primer punto isodinámico es el que tiene el área mínima. ^[8]${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización ABC,}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización ABC,}$

Los puntos isodinámicos son los conjugados isogonales de los dos puntos de Fermat del triángulo y viceversa. ^[9]${\estilo de visualización ABC,}$

La cúbica de Neuberg contiene ambos puntos isodinámicos. ^[4]

Si un círculo se divide en tres arcos, el primer punto isodinámico de los extremos del arco es el único punto dentro del círculo con la propiedad de que cada uno de los tres arcos tiene la misma probabilidad de ser el primer arco alcanzado por un movimiento browniano que comienza en ese punto. Es decir, el punto isodinámico es el punto para el cual la medida armónica de los tres arcos es igual. ^[10]

Dado un polinomio univariado cuyos ceros son los vértices de un triángulo en el plano complejo, los puntos isodinámicos de son los ceros del polinomio Nótese que es un múltiplo constante de donde es el grado de Esta construcción generaliza los puntos isodinámicos a polinomios de grado en el sentido de que los ceros del discriminante anterior son invariantes bajo las transformaciones de Möbius. Aquí la expresión es la derivada polar de con polo ^[11]${\displaystyle P(z)=z^{3}+az^{2}+bz+c}$${\estilo de visualización T}$${\estilo de visualización T}$${\displaystyle I(z)=(a^{2}-3b)z^{2}+(ab-9c)z+b^{2}-3ac.}$${\displaystyle I(z)}$${\displaystyle \mathrm {Discriminante} _ {u}(nP(u)+(zu)P'(u)),}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización P.}$${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle nP(u)+(zu)P'(u)}$${\displaystyle P(u)}$${\estilo de visualización z.}$

De manera equivalente, con y definidos como arriba, los puntos isodinámicos (generalizados) de son los valores críticos de Aquí está la expresión que aparece en el método de Newton relajado con parámetro de relajación Existe una construcción similar para funciones racionales en lugar de polinomios. ^[11]${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización P}$${\displaystyle f(z)=z-nP(z)/P'(z).}$${\estilo de visualización f(z)}$${\displaystyle n.}$

El círculo de Apolonio que pasa por el vértice del triángulo se puede construir hallando las dos bisectrices (interior y exterior) de los dos ángulos formados por las líneas y en el vértice e intersectando estas líneas bisectrices con la línea El segmento de línea entre estos dos puntos de intersección es el diámetro del círculo de Apolonio. Los puntos isodinámicos se pueden hallar construyendo dos de estos círculos y hallando sus dos puntos de intersección. ^[3]${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización ABC}$${\estilo de visualización AB}$${\displaystyle AC}$${\estilo de visualización A,}$${\displaystyle AC.}$

Otra construcción con regla y compás implica encontrar la reflexión del vértice a través de la línea (la intersección de círculos centrados en y a través de ), y construir un triángulo equilátero hacia adentro en el lado del triángulo (el vértice de este triángulo es la intersección de dos círculos que tienen como radio ). La línea cruza las líneas construidas de manera similar y en el primer punto isodinámico. El segundo punto isodinámico puede construirse de manera similar pero con los triángulos equiláteros erigidos hacia afuera en lugar de hacia adentro. ^[12]${\estilo de visualización A'}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle BC}$${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle BC}$${\estilo de visualización A''}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle A'A''}$${\estilo de visualización B'B''}$${\estilo de visualización C'C''}$

Alternativamente, la posición del primer punto isodinámico puede calcularse a partir de sus coordenadas trilineales , que son ^[13] El segundo punto isodinámico utiliza coordenadas trilineales con una fórmula similar que implica en lugar de$${\displaystyle \sin(A+\pi /3):\sin(B+\pi /3):\sin(C+\pi /3).}$$${\estilo de visualización -\pi /3}$${\displaystyle \pi /3.}$

• Puntos isodinámicos X(15) y X(16) en la Enciclopedia de centros de triángulos , de Clark Kimberling
• Weisstein, Eric W. "Puntos isodinámicos". MathWorld .