Triángulo del pedal

En geometría plana , un triángulo pedal se obtiene proyectando un punto sobre los lados de un triángulo .

Más específicamente, considere un triángulo △ ABC , y un punto P que no es uno de los vértices A, B, C . Trace perpendiculares desde P a los tres lados del triángulo (estas pueden necesitar ser producidas, es decir, extendidas ). Etiquete L, M, N las intersecciones de las líneas desde P con los lados BC, AC, AB . El triángulo pedal es entonces △ LMN .

Si △ ABC no es un triángulo obtuso y P es el ortocentro , entonces los ángulos de △ LMN son 180° − 2 A , 180 ° − 2 B y 180° − 2 C. ^[1]

La ubicación del punto elegido P con respecto al triángulo elegido △ ABC da lugar a algunos casos especiales:

• Si P es el ortocentro , entonces △ LMN es el triángulo órtico .
• Si P es el incentro , entonces △ LMN es el triángulo en contacto .
• Si P es el circuncentro , entonces △ LMN es el triángulo medial .
• Si P está en el círculo circunscrito del triángulo, △ LMN colapsa en una línea (la línea pedal o línea de Simson ).

Los vértices del triángulo pedal de un punto interior P , como se muestra en el diagrama superior, dividen los lados del triángulo original de tal manera que satisfacen el teorema de Carnot : ^[2]

$${\displaystyle |AN|^{2}+|BL|^{2}+|CM|^{2}=|NB|^{2}+|LC|^{2}+|MA|^{2}.}$$

Si P tiene coordenadas trilineales p  : q  : r , entonces los vértices L, M, N del triángulo pedal de P están dados por $${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}L&=&0&:&q+p\cos C&:&r+p\cos B\\[2pt]M&=&p+q\cos C&:&0&:&r+q\cos A\\[2pt]N&=&p+r\cos B&:&q+r\cos A&:&0\end{array}}}$$

Un vértice, L' , del triángulo antípedo de P es el punto de intersección de la perpendicular a BP a través de B y la perpendicular a CP a través de C. Sus otros vértices, M' y N' , se construyen de manera análoga. Las coordenadas trilineales se dan por $${\displaystyle {\begin{array}{ccrcrcr}L'&=&-(q+p\cos C)(r+p\cos B)&:&(r+p\cos B)(p+q\cos C)&:&(q+p\cos C)(p+r\cos B)\\[2pt]M'&=&(r+q\cos A)(q+p\cos C)&:&-(r+q\cos A)(p+q\cos C)&:&(p+q\cos C)(q+r\cos A)\\[2pt]N'&=&(q+r\cos A)(r+p\cos B)&:&(p+r\cos B)(r+q\cos A)&:&-(p+r\cos B)(q+r\cos A)\end{array}}}$$

Por ejemplo, el triángulo excentral es el triángulo antipedal del incentro.

Supóngase que P no se encuentra en ninguno de los lados extendidos BC, CA, AB y sea P ⁻¹ el conjugado isogonal de P . El triángulo pedal de P es homotético al triángulo antipedal de P ⁻¹ . El centro homotético (que es un centro de triángulo si y solo si P es un centro de triángulo) es el punto dado en coordenadas trilineales por

$${\displaystyle ap(p+q\cos C)(p+r\cos B)\ :\ bq(q+r\cos A)(q+p\cos C)\ :\ cr(r+p\cos B)(r+q\cos A)}$$

El producto de las áreas del triángulo pedal de P y el triángulo antipedal de P ⁻¹ es igual al cuadrado del área de △ ABC .

El círculo pedal se define como el círculo circunscrito del triángulo pedal. Nótese que el círculo pedal no está definido para los puntos que se encuentran en el círculo circunscrito del triángulo.

Para cualquier punto P que no esté sobre la circunferencia circunscrita del triángulo, se sabe que P y su conjugado isogonal P* tienen una circunferencia pedal común, cuyo centro es el punto medio de estos dos puntos. ^[3]

• Mathworld: Triángulo pedal
• Línea Simson
• Triángulo pedal y conjugación isogonal
• Triángulo de pedales y círculo de pedales: ilustración interactiva