Conjugado isogonal

En geometría , el conjugado isogonal de un punto P con respecto a un triángulo △ ABC se construye reflejando las líneas PA, PB, PC alrededor de las bisectrices de los ángulos A, B, C respectivamente. Estas tres líneas reflejadas concurren en el conjugado isogonal de P. (Esta definición se aplica solo a puntos que no están en una línea lateral del triángulo △ ABC ). Este es un resultado directo de la forma trigonométrica del teorema de Ceva .

El conjugado isogonal de un punto P se denota a veces por P* . El conjugado isogonal de P * es P.

El conjugado isogonal del incentro I es él mismo. El conjugado isogonal del ortocentro H es el circuncentro O. El conjugado isogonal del baricentro G es (por definición) el punto simediano K. Los conjugados isogonales de los puntos de Fermat son los puntos isodinámicos y viceversa. Los puntos de Brocard son conjugados isogonales entre sí.

En coordenadas trilineales , si es un punto que no está en una línea lateral del triángulo △ ABC , entonces su conjugado isogonal es Por esta razón, el conjugado isogonal de X a veces se denota por X ^–1 . El conjunto S de centros de triángulos bajo el producto trilineal, definido por ${\displaystyle X=x:y:z}$${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}:{\tfrac {1}{y}}:{\tfrac {1}{z}}.}$

${\displaystyle (p:q:r)*(u:v:w)=pu:qv:rw,}$

es un grupo conmutativo , y la inversa de cada X en S es X ^–1 .

Como la conjugación isogonal es una función , tiene sentido hablar de conjugado isogonal de conjuntos de puntos, como líneas y círculos. Por ejemplo, el conjugado isogonal de una línea es una circuncónica ; específicamente, una elipse , parábola o hipérbola según que la línea intersecta la circunferencia circunscrita en 0, 1 o 2 puntos. El conjugado isogonal de la circunferencia circunscrita es la línea en el infinito . Varias cúbicas conocidas (por ejemplo, la cúbica de Thompson , la cúbica de Darboux, la cúbica de Neuberg ) son autoisogonales-conjugadas, en el sentido de que si X está en la cúbica, entonces X ^–1 también está en la cúbica.

Para un punto dado P en el plano del triángulo △ ABC , sean las reflexiones de P en las líneas laterales BC, CA, AB P _a , P _b , P _c . Entonces el centro del círculo 〇P _a P _b P _c es el conjugado isogonal de P . ^[1]

El conjugado isogonal del incentro del triángulo △ ABC es el incentro mismo.

El conjugado isogonal del punto simediano es el tercer centroide , y el conjugado isogonal del ortocentro es el circuncentro .

Los conjugados isogonales de rectas son circuncónicos y, a la inversa, los conjugados isotómicos de circuncónicos son rectas. Esta propiedad también se cumple para el conjugado isotómico .

En mayo de 2021, Dao Thanh Oai dio una generalización de la conjugación isogonal de la siguiente manera: ^[2] Sea △ ABC un triángulo, P un punto en su plano y Ω una circuncónica arbitraria de △ ABC . Las líneas AP, BP, CP cortan nuevamente a Ω en A', B', C' respectivamente, y las líneas paralelas a través de estos puntos hasta BC, CA, AB cortan nuevamente a Ω en A", B", C" respectivamente. Entonces las líneas AA", BB", CC" son concurrentes .

Si las coordenadas baricéntricas del centro X de Ω son y , entonces D , el punto de intersección de AA", BB", CC" es:${\displaystyle X=x:y:z:}$${\displaystyle P=p:q:r}$${\displaystyle D=D(X,P)=x*(xyz)*q*r::}$

El punto D anterior se llama conjugado X -Dao de P , este conjugado es una generalización de todos los tipos conocidos de conjugaciones: ^[2]

• Cuando Ω es el círculo circunscrito de ABC , el conjugado de Dao se convierte en el conjugado isogonal de P.
• Cuando Ω es la circunelipse de Steiner de ABC , el conjugado de Dao se convierte en el conjugado isotómico de P.
• Cuando Ω es la circuncónica de ABC con centro X = X(1249), el conjugado de Dao se convierte en el conjugado polar de P.

• Conjugado isotómico
• Conjugado polar
• Centro del triangulo
• Línea central (geometría)

• Subprograma interactivo de Java que ilustra el conjugado isogonal y sus propiedades
• MundoMatemático
• Triángulo pedal y conjugación isogonal