Ortocentro

El ortocentro de un triángulo , generalmente denotado por H , es el punto donde se intersecan las tres alturas (posiblemente extendidas) . ^{[ 1 ] [ 2 ]} El ortocentro se encuentra dentro del triángulo si y solo si el triángulo es acutángulo . Para un triángulo rectángulo , el ortocentro coincide con el vértice en el ángulo recto. ^{[ 2 ]} Para un triángulo equilátero , todos los centros de los triángulos (incluido el ortocentro) coinciden en su baricentro .

Sean A, B, C los vértices y también los ángulos del triángulo, y sea${\displaystyle a=\left|{\overline {BC}}\right|,}$${\displaystyle b=\left|{\overline {CA}}\right|,}$${\displaystyle c=\left|{\overline {AB}}\right|}$sean las longitudes de los lados. El ortocentro tiene coordenadas trilineales ^{[ 3 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}&\sec A:\sec B:\sec C\\&=\cos A-\sin B\sin C:\cos B-\sin C\sin A:\cos C-\sin A\sin B,\end{aligned}}}$$ y coordenadas baricéntricas$${\displaystyle {\begin{aligned}&(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2}):(a^{2}+b^{2}-c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2}):(a^{2}-b^{2}+c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2})\\&=\tan A:\tan B:\tan C.\end{aligned}}}$$

Dado que las coordenadas baricéntricas son todas positivas para un punto en el interior de un triángulo, pero al menos una es negativa para un punto en el exterior, y dos de las coordenadas baricéntricas son cero para un punto de vértice, las coordenadas baricéntricas dadas para el ortocentro muestran que el ortocentro está en el interior de un triángulo acutángulo , en el vértice recto de un triángulo rectángulo y en el exterior de un triángulo obtusángulo .

En el plano complejo , sean los puntos A, B, C los números z _A , z _B , z _C y supongamos que el circuncentro del triángulo △ ABC se encuentra en el origen del plano. Entonces, el número complejo $${\displaystyle z_{H}=z_{A}+z_{B}+z_{C}}$$ está representado por el punto H , es decir, el ortocentro del triángulo △ ABC . ^{[ 4 ]} A partir de esto, se pueden establecer directamente las siguientes caracterizaciones del ortocentro H mediante vectores libres :$${\displaystyle {\vec {OH}}=\sum \limits _ {\scriptstyle {\rm {cíclico}}}{\vec {OA}},\qquad 2\cdot {\vec {HO}}=\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cíclico}}}{\vec {HA}}.}$$

La primera de las identidades vectoriales anteriores también se conoce como el problema de Sylvester , propuesto por James Joseph Sylvester . ^{[ 5 ]}

Sean D, E, F las alturas desde A, B, C respectivamente. Entonces:

• El producto de las longitudes de los segmentos en que el ortocentro divide una altura es el mismo para las tres alturas: ^{[ 6 ] [ 7 ]}$${\displaystyle {\overline {AH}}\cdot {\overline {HD}}={\overline {BH}}\cdot {\overline {HE}}={\overline {CH}}\cdot {\overline {HF}}.}$$El círculo centrado en H con radio igual a la raíz cuadrada de esta constante es el círculo polar del triángulo . ^{[ 8 ]}
• La suma de las razones en las tres alturas de la distancia del ortocentro a la base por la longitud de la altura es 1: ^{[ 9 ]} (Esta propiedad y la siguiente son aplicaciones de una propiedad más general de cualquier punto interior y las tres cevianas que pasan por él).$${\displaystyle {\frac {\overline {HD}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {HE}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {HF}}{\overline {CF}}}=1.}$$
• La suma de las razones en las tres alturas de la distancia del ortocentro al vértice a la longitud de la altura es 2: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\frac {\overline {AH}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {BH}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {CH}}{\overline {CF}}}=2.}$$
• El conjugado isogonal del ortocentro es el circuncentro del triángulo. ^{[ 10 ]}
• El conjugado isotómico del ortocentro es el punto simediano del triángulo anticomplementario . ^{[ 11 ]}
• Un sistema ortocéntrico o cuadrilátero ortocéntrico se define como un conjunto de cuatro puntos en el plano, uno de los cuales es el ortocentro del triángulo formado por los otros tres.

Denotemos el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo por R. Entonces ^{[ 13 ] [ 14 ]}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+{\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}=12R^{2}.}$$

Además, denotando r como el radio del círculo inscrito del triángulo , r _a , r _b , r _c como los radios de sus círculos excéntricos , y R nuevamente como el radio de su círculo circunscrito, se cumplen las siguientes relaciones con respecto a las distancias del ortocentro a los vértices: ^{[ 15 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{a}+r_{b}+r_{c}+r={\overline {AH}}+{\overline {BH}}+{\overline {CH}}+2R,\\&r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}={\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}+(2R)^{2}.\end{aligned}}}$$

Si cualquier altura, por ejemplo AD , se extiende para intersecar la circunferencia circunscrita en P , de modo que AD sea una cuerda de la circunferencia circunscrita, entonces el pie D biseca el segmento HP : ^{[ 7 ]}$${\displaystyle {\overline {HD}}={\overline {DP}}.}$$

Las directrices de todas las parábolas que son tangentes externamente a un lado de un triángulo y tangentes a las prolongaciones de los otros lados pasan por el ortocentro. ^{[ 16 ]}

Una circunferencia circunscrita que pasa por el ortocentro de un triángulo es una hipérbola rectangular . ^{[ 17 ]}

El ortocentro H , el centroide G , el circuncentro O y el centro N del círculo de nueve puntos se encuentran todos en una sola línea, conocida como la línea de Euler . ^{[ 18 ]} El centro del círculo de nueve puntos se encuentra en el punto medio de la línea de Euler, entre el ortocentro y el circuncentro, y la distancia entre el centroide y el circuncentro es la mitad de la que hay entre el centroide y el ortocentro: ^{[ 19 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\overline {OH}}=2{\overline {NH}},\\&2{\overline {OG}}={\overline {GH}}.\end{aligned}}}$$

El ortocentro está más cerca del incentro I que del centroide, y el ortocentro está más lejos del centroide que el incentro: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {HI}}&<{\overline {HG}},\\{\overline {HG}}&>{\overline {IG}}.\end{aligned}}}$$

En términos de los lados a , b , c , radio de la circunferencia inscrita r y radio de la circunferencia circunscrita R , ^{[ 20 ] [ 21 ] : pág. 449}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {OH}}^{2}&=R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C\\&=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}),\\{\overline {HI}}^{2}&=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C.\end{aligned}}}$$

Si el triángulo △ ABC es oblicuo (no contiene un ángulo recto), el triángulo pedal del ortocentro del triángulo original se denomina triángulo órtico o triángulo de altura . Es decir, los pies de las alturas de un triángulo oblicuo forman el triángulo órtico, △ DEF . Además, el incentro (el centro del círculo inscrito) del triángulo órtico △ DEF es el ortocentro del triángulo original △ ABC . ^{[ 22 ]}

Las coordenadas trilineales de los vértices del triángulo órtico vienen dadas por $${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}D=&0&:&\sec B&:&\sec C\\E=&\sec A&:&0&:&\sec C\\F=&\sec A&:&\sec B&:&0\end{array}}}$$

Los lados extendidos del triángulo órtico se encuentran con los lados extendidos opuestos de su triángulo de referencia en tres puntos colineales . ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 22 ]}

En cualquier triángulo acutángulo , el triángulo inscrito con el perímetro más pequeño es el triángulo órtico. ^{[ 25 ]} Esta es la solución al problema de Fagnano , planteado en 1775. ^{[ 26 ]} Los lados del triángulo órtico son paralelos a las tangentes a la circunferencia circunscrita en los vértices del triángulo original. ^{[ 27 ]}

El triángulo órtico de un triángulo agudo da una ruta de luz triangular. ^{[ 28 ]}

Las líneas tangentes del círculo de nueve puntos en los puntos medios de los lados del triángulo ABC son paralelas a los lados del triángulo órtico, formando un triángulo similar al triángulo órtico. ^{[ 29 ]}

El triángulo órtico está estrechamente relacionado con el triángulo tangente , construido de la siguiente manera: sea L _A la recta tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo △ ABC en el vértice A , y definamos L _B , L _C de forma análoga. Sea${\displaystyle A''=L_{B}\cap L_{C},}$${\displaystyle B''=L_{C}\cap L_{A},}$${\displaystyle C''=L_{C}\cap L_{A}.}$ El triángulo tangente es △ A"B"C" , cuyos lados son tangentes a la circunferencia circunscrita del triángulo △ ABC en sus vértices; es homotético al triángulo órtico. El circuncentro del triángulo tangente y el centro de semejanza de los triángulos órtico y tangente se encuentran en la recta de Euler . ^{[ 21 ] : p. 447}

Las coordenadas trilineales de los vértices del triángulo tangente vienen dadas por $${\displaystyle {\begin{array}{rrcrcr}A''=&-a&:&b&:&c\\B''=&a&:&-b&:&c\\C''=&a&:&b&:&-c\end{array}}}$$ El triángulo de referencia y su triángulo órtico son triángulos ortológicos .

Para obtener más información sobre el triángulo órtico, consulte aquí .

El teorema de que las tres alturas de un triángulo coinciden (en el ortocentro) no se enuncia directamente en los textos matemáticos griegos que se conservan, pero se utiliza en el Libro de Lemas (proposición 5), atribuido a Arquímedes (siglo III a. C.), citando el «comentario al tratado sobre triángulos rectángulos», obra que no se conserva. También fue mencionado por Pappus ( Colección Matemática , VII, 62; c. 340). ^{[ 30 ]} El teorema fue enunciado y demostrado explícitamente por al-Nasawi (siglo XI) en su comentario sobre el Libro de Lemas , y atribuido a al-Quhi ( siglo X ) . ^{[ 31 ]}

Esta demostración en árabe fue traducida como parte de las ediciones latinas (de principios del siglo XVII) del Libro de Lemas , pero no fue ampliamente conocida en Europa, por lo que el teorema fue demostrado varias veces más entre los siglos XVII y XIX. Samuel Marolois lo demostró en su Geometrie (1619), e Isaac Newton lo demostró en un tratado inacabado , Geometry of Curved Lines ( c. 1680). ^{[ 30 ]} Posteriormente, William Chapple lo demostró en 1749. ^{[ 32 ]}

Una demostración particularmente elegante se debe a François-Joseph Servois (1804) e independientemente a Carl Friedrich Gauss (1810): Traza una línea paralela a cada lado del triángulo que pase por el punto opuesto y forma un nuevo triángulo a partir de las intersecciones de estas tres líneas. Entonces, el triángulo original es el triángulo medial del nuevo triángulo, y las alturas del triángulo original son las mediatrices del nuevo triángulo y, por lo tanto, concurren (en el circuncentro del nuevo triángulo). ^{[ 33 ]}

• Centro triangular

• Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952], Geometría universitaria , Dover
• Berele, Allan; Goldman, Jerry (2001), Geometría: Teoremas y construcciones , Prentice Hall, ISBN 0-13-087121-4
• Johnson, Roger A. (2007) [1960], Geometría euclidiana avanzada , Dover, ISBN 978-0-486-46237-0
• Smart, James R. (1998), Geometrías modernas (5.ª  ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3

• Weisstein, Eric W. "Altitud" . MundoMatemático .
• Ortocentro de un triángulo con animación interactiva.
• Demostración animada de la construcción del ortocentro. Compás y regla.
• El problema de Fagnano, por Jay Warendorff, Proyecto de demostraciones de Wolfram .