Sección cónica

Una cónica es la curva que se obtiene al intersecar un plano , llamado plano de corte , con la superficie de un cono doble (un cono con dos mantos ). Generalmente se asume que el cono es un cono circular recto para facilitar la descripción, pero esto no es necesario; cualquier cono doble con alguna sección transversal circular es suficiente. Los planos que pasan por el vértice del cono lo intersecan en un punto, una línea o un par de líneas secantes. Estas se denominan cónicas degeneradas y algunos autores no las consideran cónicas. Salvo que se indique lo contrario, en este artículo el término "cónica" se refiere a una cónica no degenerada.

Existen tres tipos de cónicas: la elipse , la parábola y la hipérbola . El círculo es un tipo especial de elipse, aunque históricamente Apolonio lo consideraba un cuarto tipo. Las elipses surgen cuando la intersección del cono y el plano es una curva cerrada . El círculo se obtiene cuando el plano de corte es paralelo al plano de la circunferencia generatriz del cono; para un cono recto, esto significa que el plano de corte es perpendicular al eje. Si el plano de corte es paralelo a exactamente una generatriz del cono, entonces la cónica es ilimitada y se llama parábola . En el caso restante, la figura es una hipérbola : el plano interseca ambas mitades del cono, produciendo dos curvas ilimitadas separadas.

Compárese también la sección esférica (intersección de un plano con una esfera, que produce un círculo o un punto) y la cónica esférica (intersección de un cono elíptico con una esfera concéntrica).

Alternativamente, se puede definir una sección cónica exclusivamente en términos de geometría plana: es el lugar geométrico de todos los puntos P cuya distancia a un punto fijo F (llamado foco ) es un múltiplo constante e (llamado excentricidad ) de la distancia de P a una recta fija L (llamada directriz ). Para 0 < e < 1 obtenemos una elipse, para e = 1 una parábola y para e > 1 una hipérbola.

Un círculo es un caso límite y no se define mediante un foco y una directriz en el plano euclidiano. La excentricidad de un círculo se define como cero y su foco es el centro del círculo, pero su directriz solo puede tomarse como la línea en el infinito en el plano proyectivo. ^{[ 2 ]}

La excentricidad de una elipse puede considerarse una medida de cuánto se desvía la elipse de ser circular. ^{[ 3 ]}

Si el ángulo entre la superficie del cono y su eje es${\displaystyle \beta }$y el ángulo entre el plano de corte y el eje es${\displaystyle \alpha ,}$La excentricidad es${\displaystyle {\frac {\cos \alpha }{\cos \beta }}.}$^{[ 4 ]}

Una prueba de que las curvas anteriores definidas por la propiedad foco-directriz son las mismas que las obtenidas por planos que intersecan un cono se facilita mediante el uso de esferas de Dandelin . ^{[ 5 ]}

Alternativamente, una elipse puede definirse en términos de dos focos, como el lugar geométrico de los puntos para los cuales la suma de las distancias a los dos focos es 2a ; mientras que una hipérbola es el lugar geométrico para el cual la diferencia de distancias es 2a . (Aquí a es el semieje mayor definido más adelante). Una parábola también puede definirse en términos de su foco y su lado recto (paralelo a la directriz y que pasa por el foco): es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al foco más o menos la distancia a la línea es igual a 2a ; más si el punto está entre la directriz y el lado recto, menos en caso contrario.

Además de la excentricidad ( e ), los focos y la directriz, varias características geométricas y longitudes están asociadas a una sección cónica.

El eje principal es la línea que une los focos de una elipse o hipérbola, y su punto medio es el centro de la curva . Una parábola no tiene centro.

La excentricidad lineal ( c ) es la distancia entre el centro y un foco.

El lado recto es la cuerda paralela a la directriz y que pasa por un foco; su mitad de longitud es el semilado recto ( ℓ ).

El parámetro focal ( p ) es la distancia desde un foco hasta la directriz correspondiente.

El eje mayor es la cuerda entre los dos vértices: la cuerda más larga de una elipse, la cuerda más corta entre las ramas de una hipérbola. Su mitad de longitud es el semieje mayor ( a ). Cuando una elipse o hipérbola están en posición estándar como en las ecuaciones siguientes, con focos en el eje x y centro en el origen, los vértices de la cónica tienen coordenadas (−a , 0) y ( a , 0) , con a no negativo.

El eje menor es el diámetro más corto de una elipse, y su mitad es el semieje menor ( b ), cuyo valor es el mismo que en la ecuación estándar que se muestra a continuación. Por analogía, en una hipérbola, el parámetro b de la ecuación estándar también se denomina semieje menor.

Se cumplen las siguientes relaciones: ^{[ 6 ]}

• ${\displaystyle \ \ell =pe}$
• ${\displaystyle \ c=ae}$
• ${\displaystyle \p+c={\frac {a}{e}}}$

Para cónicas en posición estándar, estos parámetros tienen los siguientes valores, tomando${\displaystyle a,b>0}$.

Después de introducir las coordenadas cartesianas , la propiedad foco-directriz se puede usar para producir las ecuaciones que satisfacen los puntos de la sección cónica. ^{[ 7 ]} Mediante un cambio de coordenadas ( rotación y traslación de ejes ) estas ecuaciones se pueden poner en formas estándar . ^{[ 8 ]} Para elipses e hipérbolas una forma estándar tiene el eje x como eje principal y el origen (0,0) como centro. Los vértices son (± a , 0) y los focos (± c , 0) . Definimos b por las ecuaciones c ² = a ² − b ² para una elipse y c ² = a ² + b ² para una hipérbola. Para un círculo, c = 0 por lo que a ² = b ² , con radio r = a = b . Para la parábola, la forma estándar tiene el foco en el eje x en el punto ( a , 0) y la directriz es la recta con ecuación x = -a . En la forma estándar, la parábola siempre pasa por el origen.

Para una hipérbola rectangular o equilátera , cuyas asíntotas son perpendiculares, existe una forma estándar alternativa en la que las asíntotas son los ejes de coordenadas y la recta x = y es el eje principal. Los focos tienen entonces coordenadas ( c , c ) y ( −c , −c ) . ^{[ 9 ]}

• Círculo:

  ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2},}$

• Elipse:

  ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

• Parábola:

  ${\displaystyle y^{2}=4ax,{\text{ con }}a>0,}$

• Hipérbola:

  ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

• Hipérbola rectangular: ^{[ 10 ]}

  ${\displaystyle xy=c^{2}.}$

Las primeras cuatro de estas formas son simétricas con respecto al eje x y al eje y (para el círculo, la elipse y la hipérbola), o solo con respecto al eje x (para la parábola). La hipérbola rectangular, sin embargo, es simétrica con respecto a las líneas y = x e y = − x .

Estas formas estándar se pueden escribir paramétricamente como,

• Círculo :

  ${\displaystyle (a\cos \theta ,a\sin \theta ),}$

• Elipse :

  ${\displaystyle (a\cos \theta ,b\sin \theta ),}$

• Parábola :

  ${\displaystyle (at^{2},2at),}$

• Hipérbola :

  ${\displaystyle (a\sec \theta ,b\tan \theta ),{\text{ o }}(\pm a\cosh \psi ,b\sinh \psi )}$,

• Hipérbola rectangular :

  ${\displaystyle \left(dt,{\frac {d}{t}}\right),{\text{ donde }}d={\frac {c}{\sqrt {2}}}.}$

En el sistema de coordenadas cartesianas , la gráfica de una ecuación cuadrática en dos variables es siempre una sección cónica (aunque puede ser degenerada ), ^{[ a ]} y todas las secciones cónicas surgen de esta manera. La ecuación más general es de la forma ^{[ 11 ].}

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,}$

con todos los coeficientes números reales y A, B, C no todos cero.

In polar coordinates, a conic section with one focus at the origin and, if any, the other at a negative value (for an ellipse) or a positive value (for a hyperbola) on the x-axis, is given by the equation

${\displaystyle r={\frac {l}{1+e\cos \theta }},}$

where e is the eccentricity and l is the semi-latus rectum.

As above, for e = 0, the graph is a circle, for 0 < e < 1 the graph is an ellipse, for e = 1 a parabola, and for e > 1 a hyperbola.

The polar form of the equation of a conic is often used in dynamics; for instance, determining the orbits of objects revolving about the Sun.^[20]

Just as two (distinct) points determine a line, five points determine a conic. Formally, given any five points in the plane in general linear position, meaning no three collinear, there is a unique conic passing through them, which will be non-degenerate; this is true in both the Euclidean plane and its extension, the real projective plane. Indeed, given any five points there is a conic passing through them, but if three of the points are collinear the conic will be degenerate (reducible, because it contains a line), and may not be unique; see further discussion.

Four points in the plane in general linear position determine a unique conic passing through the first three points and having the fourth point as its center. Thus knowing the center is equivalent to knowing two points on the conic for the purpose of determining the curve.^[21]

Furthermore, a conic is determined by any combination of k points in general position that it passes through and 5 – k lines that are tangent to it, for 0≤k≤5.^[22]

Any point in the plane is on either zero, one or two tangent lines of a conic. A point on just one tangent line is on the conic. A point on no tangent line is said to be an interior point (or inner point) of the conic, while a point on two tangent lines is an exterior point (or outer point).

All the conic sections share a reflection property that can be stated as: All mirrors in the shape of a non-degenerate conic section reflect light coming from or going toward one focus toward or away from the other focus. In the case of the parabola, the second focus needs to be thought of as infinitely far away, so that the light rays going toward or coming from the second focus are parallel.^[23][24]

Pascal's theorem concerns the collinearity of three points that are constructed from a set of six points on any non-degenerate conic. The theorem also holds for degenerate conics consisting of two lines, but in that case it is known as Pappus's theorem.

Non-degenerate conic sections are always "smooth". This is important for many applications, such as aerodynamics, where a smooth surface is required to ensure laminar flow and to prevent turbulence.

It is believed that the first definition of a conic section was given by Menaechmus (died 320 BC) as part of his solution of the Delian problem (Duplicating the cube).^[b][25] His work did not survive, not even the names he used for these curves, and is only known through secondary accounts.^[26] The definition used at that time differs from the one commonly used today. Cones were constructed by rotating a right triangle about one of its legs so the hypotenuse generates the surface of the cone (such a line is called a generatrix). Three types of cones were determined by their vertex angles (measured by twice the angle formed by the hypotenuse and the leg being rotated about in the right triangle). The conic section was then determined by intersecting one of these cones with a plane drawn perpendicular to a generatrix. The type of the conic is determined by the type of cone, that is, by the angle formed at the vertex of the cone: If the angle is acute then the conic is an ellipse; if the angle is right then the conic is a parabola; and if the angle is obtuse then the conic is a hyperbola (but only one branch of the curve).^[27]

Se dice que Euclides (activo hacia el 300 a. C.) escribió cuatro libros sobre cónicas, pero estos también se perdieron. ^{[ 28 ]} Se sabe que Arquímedes (fallecido hacia el 212 a. C.) estudió las cónicas, habiendo determinado el área delimitada por una parábola y una cuerda en la Cuadratura de la Parábola . Su principal interés radicaba en la medición de áreas y volúmenes de figuras relacionadas con las cónicas, y parte de este trabajo se conserva en su libro sobre los sólidos de revolución de las cónicas, Sobre conoides y esferoides . ^{[ 29 ]}

El mayor progreso en el estudio de las cónicas por parte de los antiguos griegos se debe a Apolonio de Perga (fallecido hacia el 190 a. C.), cuya obra de ocho volúmenes, Secciones Cónicas o Cónicas, resumió y amplió considerablemente el conocimiento existente. ^{[ 30 ]} El estudio de Apolonio sobre las propiedades de estas curvas permitió demostrar que cualquier plano que corte un cono doble fijo (dos napados), independientemente de su ángulo, producirá una cónica según la definición anterior, lo que condujo a la definición comúnmente utilizada hoy en día. Los círculos, que no se podían construir con el método anterior, también se obtienen de esta manera. Esto podría explicar por qué Apolonio consideraba los círculos un cuarto tipo de sección cónica, una distinción que ya no se hace. Apolonio utilizó los nombres de «elipse», «parábola» e «hipérbola» para estas curvas, tomando prestada la terminología de trabajos pitagóricos anteriores sobre áreas. ^{[ 31 ]}

A Papus de Alejandría (fallecido hacia el año 350 d. C.) se le atribuye la explicación de la importancia del concepto de foco de una cónica y el detalle del concepto relacionado de directriz , incluyendo el caso de la parábola (que no aparece en las obras conocidas de Apolonio). ^{[ 32 ]}

La obra de Apolonio fue traducida al árabe, y gran parte de ella solo se conserva a través de la versión árabe. Los matemáticos islámicos encontraron aplicaciones de la teoría, en particular el matemático y poeta persa Omar Khayyám , ^{[ 33 ]} quien halló un método geométrico para resolver ecuaciones cúbicas mediante secciones cónicas. ^{[ 34 ] [ 35 ]}

Un siglo antes del trabajo más famoso de Khayyam, Abu al-Jud utilizó cónicas para resolver ecuaciones cuárticas y cúbicas, ^{[ 36 ]} aunque su solución no abarcaba todos los casos. ^{[ 37 ]}

Un instrumento para dibujar secciones cónicas fue descrito por primera vez en el año 1000 d. C. por Al-Kuhi . ^{[ 38 ] [ 39 ]}

Johannes Kepler extendió la teoría de las cónicas mediante el " principio de continuidad ", precursor del concepto de límites. Kepler utilizó por primera vez el término "focos" en 1604. ^{[ 40 ]}

Girard Desargues y Blaise Pascal desarrollaron una teoría de las cónicas utilizando una forma temprana de geometría proyectiva , lo que impulsó el estudio de este nuevo campo. En particular, Pascal descubrió un teorema conocido como el hexagrama místico, a partir del cual se pueden deducir muchas otras propiedades de las cónicas.

René Descartes y Pierre Fermat aplicaron su recién descubierta geometría analítica al estudio de las cónicas. Esto tuvo el efecto de reducir los problemas geométricos de las cónicas a problemas de álgebra. Sin embargo, fue John Wallis, en su tratado de 1655, Tractatus de sectionibus conicis, quien definió por primera vez las secciones cónicas como instancias de ecuaciones de segundo grado. ^{[ 41 ]} Escrita antes, pero publicada después, la obra Elementa Curvarum Linearum de Jan de Witt comienza con la construcción cinemática de las cónicas de Kepler y luego desarrolla las ecuaciones algebraicas. Esta obra, que utiliza la metodología de Fermat y la notación de Descartes, ha sido descrita como el primer libro de texto sobre el tema. ^{[ 42 ]} De Witt inventó el término «directriz». ^{[ 42 ]}

En un espacio proyectivo sobre cualquier anillo de división, pero en particular sobre los números reales o complejos, todas las cónicas no degeneradas son equivalentes, y por lo tanto, en geometría proyectiva se habla de "una cónica" sin especificar un tipo. Es decir, existe una transformación proyectiva que mapea cualquier cónica no degenerada a cualquier otra cónica no degenerada. ^{[ 44 ]}

The three types of conic sections will reappear in the affine plane obtained by choosing a line of the projective space to be the line at infinity. The three types are then determined by how this line at infinity intersects the conic in the projective space. In the corresponding affine space, one obtains an ellipse if the conic does not intersect the line at infinity, a parabola if the conic intersects the line at infinity in one double point corresponding to the axis, and a hyperbola if the conic intersects the line at infinity in two points corresponding to the asymptotes.^[45]

In homogeneous coordinates a conic section can be represented as:

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0.}$

Or in matrix notation

${\displaystyle \left({\begin{matrix}x&y&z\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=0.}$

The 3 × 3 matrix above is called the matrix of the conic section.

Some authors prefer to write the general homogeneous equation as

${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dxz+2Eyz+Fz^{2}=0,}$

(or some variation of this) so that the matrix of the conic section has the simpler form,

${\displaystyle M=\left({\begin{matrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\end{matrix}}\right),}$

but this notation is not used in this article.^[c]

If the determinant of the matrix of the conic section is zero, the conic section is degenerate.

As multiplying all six coefficients by the same non-zero scalar yields an equation with the same set of zeros, one can consider conics, represented by (A, B, C, D, E, F) as points in the five-dimensional projective space${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}.}$

Metrical concepts of Euclidean geometry (concepts concerned with measuring lengths and angles) can not be immediately extended to the real projective plane.^[d] They must be redefined (and generalized) in this new geometry. This can be done for arbitrary projective planes, but to obtain the real projective plane as the extended Euclidean plane, some specific choices have to be made.^[46]

Fix an arbitrary line in a projective plane that shall be referred to as the absolute line. Select two distinct points on the absolute line and refer to them as absolute points. Several metrical concepts can be defined with reference to these choices. For instance, given a line containing the points A and B, the midpoint of line segment AB is defined as the point C which is the projective harmonic conjugate of the point of intersection of AB and the absolute line, with respect to A and B.

A conic in a projective plane that contains the two absolute points is called a circle. Since five points determine a conic, a circle (which may be degenerate) is determined by three points. To obtain the extended Euclidean plane, the absolute line is chosen to be the line at infinity of the Euclidean plane and the absolute points are two special points on that line called the circular points at infinity. Lines containing two points with real coordinates do not pass through the circular points at infinity, so in the Euclidean plane a circle, under this definition, is determined by three points that are not collinear.^[47]

It has been mentioned that circles in the Euclidean plane can not be defined by the focus-directrix property. However, if one were to consider the line at infinity as the directrix, then by taking the eccentricity to be e = 0 a circle will have the focus-directrix property, but it is still not defined by that property.^[48] One must be careful in this situation to correctly use the definition of eccentricity as the ratio of the distance of a point on the circle to the focus (length of a radius) to the distance of that point to the directrix (this distance is infinite) which gives the limiting value of zero.

A synthetic (coordinate-free) approach to defining the conic sections in a projective plane was given by Jakob Steiner in 1867.

• Given two pencils ${\displaystyle B(U),B(V)}$ of lines at two points ${\displaystyle U,V}$ (all lines containing ${\displaystyle U}$ and ${\displaystyle V}$ resp.) and a projective but not perspective mapping ${\displaystyle \pi }$ of ${\displaystyle B(U)}$ onto ${\displaystyle B(V)}$. Then the intersection points of corresponding lines form a non-degenerate projective conic section.^{[49][50][51][52]}

A perspective mapping ${\displaystyle \pi }$de un lápiz${\displaystyle B(U)}$sobre un lápiz${\displaystyle B(V)}$es una biyección (correspondencia uno a uno) tal que las líneas correspondientes se intersecan en una línea fija.${\displaystyle a}$, que se denomina eje de la perspectiva${\displaystyle \pi }$.

Una aplicación proyectiva es una secuencia finita de aplicaciones de perspectiva.

Como una aplicación proyectiva en un plano proyectivo sobre un campo ( plano de Papp ) está determinada unívocamente al prescribir las imágenes de tres líneas, ^{[ 53 ]} para la generación de Steiner de una sección cónica, además de dos puntos${\displaystyle U,V}$Solo es necesario proporcionar las imágenes de 3 líneas. Estos 5 elementos (2 puntos, 3 líneas) determinan de forma unívoca la sección cónica.

Según el principio de dualidad en un plano proyectivo, el dual de cada punto es una recta, y el dual de un conjunto de puntos (un conjunto de puntos que satisfacen alguna condición) se denomina envolvente de rectas. Utilizando la definición de cónica de Steiner (este conjunto de puntos se denominará ahora cónica de puntos ) como la intersección de rayos correspondientes de dos haces relacionados, es fácil dualizar y obtener la envolvente correspondiente, que consiste en la unión de puntos correspondientes de dos rangos relacionados (puntos sobre una recta) sobre bases diferentes (las rectas sobre las que se encuentran los puntos). Dicha envolvente se denomina cónica de rectas (o cónica dual).

En el plano proyectivo real, una cónica de punto tiene la propiedad de que toda recta la interseca en dos puntos (que pueden coincidir o ser complejos), y cualquier conjunto de puntos con esta propiedad es una cónica de punto. De ello se deduce que una cónica de línea tiene dos de sus rectas que pasan por cada punto, y cualquier envolvente de rectas con esta propiedad es una cónica de línea. En cada punto de una cónica de punto hay una recta tangente única, y de forma dual, en cada recta de una cónica de línea hay un punto único llamado punto de contacto . Un teorema importante establece que las rectas tangentes de una cónica de punto forman una cónica de línea, y de forma dual, los puntos de contacto de una cónica de línea forman una cónica de punto. ^{[ 54 ]}

Karl Georg Christian von Staudt definió una cónica como el conjunto de puntos formado por todos los puntos absolutos de una polaridad que posee puntos absolutos. Von Staudt introdujo esta definición en Geometrie der Lage (1847) como parte de su intento de eliminar todos los conceptos métricos de la geometría proyectiva.

A polarity, π, of a projective plane P is an involutorybijection between the points and the lines of P that preserves the incidence relation. Thus, a polarity associates a point Q with a line q by π(Q) = q and π(q) = Q. Following Gergonne, q is called the polar of Q and Q the pole of q.^[55] An absolute point (or line) of a polarity is one which is incident with its polar (pole).^[e]

A von Staudt conic in the real projective plane is equivalent to a Steiner conic.^[56]

No continuous arc of a conic can be constructed with straightedge and compass. However, there are several straightedge-and-compass constructions for any number of individual points on an arc.

One of them is based on the converse of Pascal's theorem, namely, if the points of intersection of opposite sides of a hexagon are collinear, then the six vertices lie on a conic. Specifically, given five points, A, B, C, D, E and a line passing through E, say EG, a point F that lies on this line and is on the conic determined by the five points can be constructed. Let AB meet DE in L, BC meet EG in M and let CD meet LM at N. Then AN meets EG at the required point F.^[57] By varying the line through E, as many additional points on the conic as desired can be constructed.

Another method, based on Steiner's construction and which is useful in engineering applications, is the parallelogram method, where a conic is constructed point by point by means of connecting certain equally spaced points on a horizontal line and a vertical line.^[58] Specifically, to construct the ellipse with equation ⁠x²/a²⁠ + ⁠y²/b²⁠ = 1, first construct the rectangle ABCD with vertices A(a, 0), B(a, 2b), C(−a, 2b) and D(−a, 0). Divide the side BC into n equal segments and use parallel projection, with respect to the diagonal AC, to form equal segments on side AB (the lengths of these segments will be ⁠b/a⁠ times the length of the segments on BC). On the side BC label the left-hand endpoints of the segments with A₁ to A_n starting at B and going towards C. On the side AB label the upper endpoints D₁ to D_n starting at A and going towards B. The points of intersection, AA_i ∩ DD_i for 1 ≤ i ≤ n will be points of the ellipse between A and P(0, b). The labeling associates the lines of the pencil through A with the lines of the pencil through D projectively but not perspectively. The sought for conic is obtained by this construction since three points A, D and P and two tangents (the vertical lines at A and D) determinan de forma única la cónica. Si se utiliza otro diámetro (y su diámetro conjugado) en lugar de los ejes mayor y menor de la elipse, se utiliza un paralelogramo que no es un rectángulo en la construcción, dando nombre al método. La asociación de líneas de los haces de puntos puede extenderse para obtener otros puntos de la elipse. Las construcciones para hipérbolas ^{[ 59 ]} y parábolas ^{[ 60 ]} son ​​similares.

Otro método general utiliza la propiedad de polaridad para construir la envolvente tangente de una cónica (una cónica lineal). ^{[ 61 ]}