Punto singular de una curva

En geometría , un punto singular en una curva es aquel donde la curva no se define mediante una incrustación suave de un parámetro . La definición precisa de un punto singular depende del tipo de curva que se esté estudiando.

Las curvas algebraicas en el plano pueden definirse como el conjunto de puntos ( x , y ) que satisfacen una ecuación de la forma${\displaystyle f(x,y)=0,}$donde f es una función polinómica .${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} .}$Si f se expandecomo $${\displaystyle f=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\cdots }$$ Si el origen (0, 0) está en la curva, entonces a ₀ = 0. Si b ₁ ≠ 0, entonces el teorema de la función implícita garantiza que hay una función suave h tal que la curva tiene la forma y = h ( x ) cerca del origen. De manera similar, si b ₀ ≠ 0 , entonces hay una función suave k tal que la curva tiene la forma x = k ( y ) cerca del origen. En cualquier caso, hay una aplicación suave de${\displaystyle \mathbb {R} }$al plano que define la curva en la vecindad del origen. Nótese que en el origen $${\displaystyle b_{0}={\frac {\partial f}{\partial x}},\;b_{1}={\frac {\partial f}{\partial y}},}$$ Por lo tanto, la curva es no singular o regular en el origen si al menos una de las derivadas parciales de f es distinta de cero. Los puntos singulares son aquellos puntos de la curva donde ambas derivadas parciales se anulan. $${\displaystyle f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial y}}=0.}$$

Puntos dobles

Si b ₀ y b ₁ son ambos 0 en la expansión anterior, pero al menos uno de c ₀ , c ₁ , c ₂ no es 0, entonces el origen se llama punto doble de la curva. Nuevamente, colocando${\displaystyle y=mx,}$f se puede escribir $${\displaystyle f=(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+(d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3})x^{3}+\cdots .}$$ Los puntos dobles se pueden clasificar según las soluciones de${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}$

Crunodos

Si${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$tiene dos soluciones reales para m , es decir, si${\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}<0,}$entonces el origen se llama cruce . La curva en este caso se cruza a sí misma en el origen y tiene dos tangentes distintas que corresponden a las dos soluciones de${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}$En este caso, la función f tiene un punto de silla en el origen.

ánodos

Si${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$no tiene soluciones reales para m , es decir,${\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}>0,}$entonces el origen se llama ánodo . En el plano real el origen es un punto aislado en la curva; sin embargo, cuando se considera como una curva compleja el origen no está aislado y tiene dos tangentes imaginarias que corresponden a las dos soluciones complejas de${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}$En este caso, la función f tiene un extremo local en el origen.

cúspides

Si${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$tiene una única solución de multiplicidad 2 para m , es decir, si${\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}=0,}$Entonces, el origen se denomina cúspide . En este caso, la curva cambia de dirección en el origen, creando un punto agudo. La curva tiene una única tangente en el origen, que puede considerarse como dos tangentes coincidentes.

Clasificación adicional

El término nodo se utiliza para indicar un crunodo o un acnodo, es decir, un punto doble que no es una cúspide. El número de nodos y el número de cúspides en una curva son dos de las invariantes utilizadas en las fórmulas de Plücker .

Si una de las soluciones de${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$es también una solución de${\displaystyle d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+m^{3}d_{3}=0,}$entonces la rama correspondiente de la curva tiene un punto de inflexión en el origen. En este caso, el origen se llama flecnodo . Si ambas tangentes tienen esta propiedad, entonces${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}}$es un factor de${\displaystyle d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+m^{3}d_{3},}$entonces el origen se llama biflecnodo . ^{[ 2 ]}

Múltiples puntos

En general, si todos los términos de grado menor que k son 0, y al menos un término de grado k no es 0 en f , entonces se dice que la curva tiene un punto múltiple de orden k o un punto k-ple . La curva tendrá, en general, k tangentes en el origen, aunque algunas de estas tangentes pueden ser imaginarias. ^{[ 3 ]}

Una curva parametrizada en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$⁠ se define como la imagen de una función ⁠${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},}$⁠${\displaystyle g(t)=(g_{1}(t),g_{2}(t)).}$Los puntos singulares son aquellos puntos donde $${\displaystyle {\frac {dg_{1}}{dt}}={\frac {dg_{2}}{dt}}=0.}$$

Muchas curvas pueden definirse de cualquiera de las dos maneras, pero las dos definiciones pueden no coincidir. Por ejemplo, la cúspide puede definirse en una curva algebraica ,${\displaystyle x^{3}-y^{2}=0,}$o en una curva parametrizada,${\displaystyle g(t)=(t^{2},t^{3}).}$Ambas definiciones dan un punto singular en el origen. Sin embargo, un nodo como el de${\displaystyle y^{2}-x^{3}-x^{2}=0}$en el origen hay una singularidad de la curva considerada como una curva algebraica, pero si la parametrizamos como${\displaystyle g(t)=(t^{2}-1,t(t^{2}-1)),}$entonces​${\displaystyle g'(t)}$Nunca desaparece, y por lo tanto el nodo no es una singularidad de la curva parametrizada tal como se definió anteriormente.

Se debe tener cuidado al elegir una parametrización. Por ejemplo, la línea recta y = 0 se puede parametrizar mediante${\displaystyle g(t)=(t^{3},0),}$que tiene una singularidad en el origen. Cuando se parametriza por${\displaystyle g(t)=(t,0),}$Es no singular. Por lo tanto, técnicamente es más correcto hablar de puntos singulares de una aplicación suave en lugar de un punto singular de una curva.

Las definiciones anteriores pueden extenderse para cubrir curvas implícitas que se definen como el conjunto cero .${\displaystyle f^{-1}(0)}$de una función suave , y no es necesario considerar únicamente variedades algebraicas. Las definiciones pueden extenderse para abarcar curvas en dimensiones superiores.

Un teorema de Hassler Whitney ^{[ 4 ] [ 5 ]} establece que

Cualquier curva parametrizada también puede definirse como una curva implícita, y la clasificación de los puntos singulares de las curvas puede estudiarse como una clasificación de los puntos singulares de una variedad algebraica .

Algunas de las posibles singularidades son:

• Un punto aislado:${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0,}$un ánodo
• Dos líneas que se cruzan:${\displaystyle x^{2}-y^{2}=0,}$un cruno
• Una cúspide :${\displaystyle x^{3}-y^{2}=0,}$también llamado espinodo
• Un tacnodo :${\displaystyle x^{4}-y^{2}=0}$
• Una cúspide ranfoidea :${\displaystyle x^{5}-y^{2}=0.}$

• Punto singular de una variedad algebraica
• teoría de la singularidad
• teoría de Morse

• Hilton, Harold (1920). "Capítulo II: Puntos singulares". Curvas algebraicas planas . Oxford.